【数学】2019届理科一轮复习北师大版选修4－4第1节坐标系教案 8页

选修4－4　坐标系与参数方程 第一节　坐标系 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ ‎(对应学生用书第198页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎2．极坐标与极坐标系的概念 图1‎ 在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ 当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ρ2＝x2＋y2 ‎ tan θ＝(x≠0)‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin θ＝b(0＜θ＜π)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，‎ ‎∴ρ＝.]‎ ‎3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．‎ ‎1　[由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.‎ ‎∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．‎ 又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.]‎ ‎4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为______．‎ 　[由2ρsin＝，得 ‎2ρ＝，‎ ‎∴y－x＝1.‎ 由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．‎ ‎∴点A到直线l的距离d＝＝.]‎ ‎5．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎[解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程可化为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎(对应学生用书第199页)‎ 平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．‎ ‎[解]　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：得 ‎∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.‎ ‎∴点A′的坐标为(1，－1)．‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．‎ 由伸缩变换φ： 得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎∴y＝x即为所求直线l′的方程．‎ ‎[规律方法]　伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程.‎ 易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x′，y′).‎ ‎[跟踪训练]　求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程. ‎ ‎【导学号：79140385】‎ ‎[解]　由得①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，‎ 即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎　(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎[规律方法]　1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点．‎ ‎(2)以x轴的非负半轴为极轴．‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位．‎ ‎2．极坐标与直角坐标互化的策略 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎[跟踪训练]　(2018·合肥二检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′.若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值．‎ ‎[解]　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0，‎ 即圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)直线l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，而AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，‎ 故≤2，解得－2－≤m≤－2，‎ 所以实数m的最大值为－2.‎ 极坐标方程的应用 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎[规律方法]　在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·太原市质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离. ‎ ‎【导学号：79140386】‎ ‎[解]　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.‎ ‎∴ρsin＝.‎ 曲线C2化为＋＝1.(*)‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎