宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试数学（理）试题 Word版含解析 20页

- 1 - 2020 年石嘴山市高三年级适应性测 数学试卷（理科） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考 生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀． 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 { 0 3}  ∣A x x ，  2log 1 ∣B x x ，则 A B  （ ）. A. (2,3) B. (0,3) C. (1,2) D. (0,1) 【答案】A 【解析】 【分析】 先解对数不等式求得集合 B，再运用集合的交集运算可得选项. 【详解】由已知得    2log 1 2B x x    ∣ ， ，所以 A B  (2,3) . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，对数不等式的求解，属于基础题. 2. 设复数 z 满足  1 3i z i   ，则 z  （ ） A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 5 【答案】D 【解析】 - 2 - 分析：先根据复数除法得 z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为 1 3i z i   ，所以 3 1 (3 )(1 ) 21 2 iz i i ii       , 因此 5,z  选 D. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ( )( ) ( ) ( ) ,( , , . )      a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如 复数 ( , )a bi a b R  的实部为 a 、虚部为b 、模为 2 2a b 、对应点为 ( , )a b 、共轭为 .a bi 3. 已知实数1, ,9m 成等比数列，则椭圆 2 2 1x ym   的离心率为 A. 6 3 B. 2 C. 6 3 或 2 D. 2 2 或 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由 1，m，9 构成一个等比数列，得到 m=±3．当 m=3 时，圆锥曲线是椭圆；当 m=﹣3 时，圆 锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率． 【详解】∵1，m，9 构成一个等比数列， ∴m2=1×9， 则 m=±3． 当 m=3 时，圆锥曲线 2x m +y2=1 是椭圆，它的离心率是 2 3 = 6 3 ； 当 m=﹣3 时，圆锥曲线 2x m +y2=1 是双曲线，故舍去， 则离心率为 6 3 ． 故选 A． 【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用， - 3 - 注意分类讨论思想的灵活运用． 4. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BAD   ， E 是 BC 的中点，则 AC AE   A. 3 3 3  B. 9 2 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 选取向量 ,BA BC   为基底，用基底表示 ,AC AE   ，然后计算． 【详解】由题意 120ABC   ， 2 2 cos120 2BA BC        ， 1( ) ( ) ( ) ( )2AC AE BC BA BE BA BC BA BC BA                  2 21 3 2 2BC BA BC BA       2 21 32 ( 2) 2 92 2        ． 故选 D． 【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基 底表示． 5. 由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信 行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应， 间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据， 对今后几年的 5G 经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ） - 4 - A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】C 【解析】 【分析】 由柱状图观察信息服务商逐年增长并在后续 2029 年开始超过设备制造商 GDP. 【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服 务商处于领先地位，故 C 项表达错误． 故选：C 【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题. 6. 已知函数 ( )f x 的图像如图所示，则 ( )f x 可以为（ ）． A. | | 3( ) x xf x e  B. ( ) x x xf x e e  C. ( ) x xf x e  D. | |( ) xf x xe 【答案】A 【解析】 【分析】 观察函数的图像，根据函数的的性质，利用排除法可得选项. 【详解】由函数的图像可以看出，当 0x  时，函数 ( )f x 有意义，排除 B； 函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由 ( ) x xf x e  为非奇非偶函数，排除 C； 由函数图像可知， x   时，   0f x  ， 对于 D， | |( ) xf x xe ，当 x   时，  f x   ，排除 D， - 5 - 故选：A 【点睛】本题考查了由函数图像选解析式，考查了函数的性质，属于基础题. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲 方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成 边长为 5 寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆， 则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A. 125 216 B. 8 27 C. 4 9 D. 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个，由正 方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 6×16 ＝96 个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率． 【详解】有一块棱长为 3 尺的正方体方木，要把它作成边长为 5 寸的正方体枕头，可作 216 个， 由正方体的结构及锯木块的方法， 可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那 16 块，共有 6×16＝96 个， ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 96 4 216 9   ． 故选 C． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使 得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“ 0 0x  ， 0 02 sinx x ”的否定形式是“ 0x  ， 2 sinx x ” B. 若平面 ，  ， ，满足  ，   则 //  C. 随机变量 服从正态分布  21,N  （ 0  ），若 (0 1) 0.4P    ，则 ( 0) 0.8P    - 6 - D. 设 x 是实数，“ 0x  ”是“ 1 1x  ”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 由特称命题的否定是全称命题可判断选项 A； ,  可能相交，可判断 B 选项；利用正态分布 的性质可判断选项 C； 1 1x   0x  或 1x  ，利用集合间的包含关系可判断选项 D. 【详解】命题“ 0 0x  ， 0 02 sinx x ”的否定形式是“ 0x  ，2 sinx x ”，故 A 错误；  ，   ，则 ,  可能相交，故 B 错误；若 (0 1) 0.4P    ，则 (1 2) 0.4P    ，所以 1 0.4 0.4( 0) 0.12P      ，故 ( 0) 0.9P    ，所以 C 错误；由 1 1x  ，得 0x  或 1x  ， 故“ 0x  ”是“ 1 1x  ”的充分不必要条件，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、 充分条件与必要条件等，是一道容易题. 9. 将函数     2sin 2 0f x x       的图象向左平移 6  个单位后得到函数  y g x 的图象，若函数  y g x 为偶函数，则函数  y f x 在 0, 2      的值域为（ ）． A.  1,1 B.  1,2 C. 3,2   D. 3, 3   【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数  y g x 的解析式为   2sin 2 3g x x       ，由函数  y g x 为偶函数求得 6 π ，可得出   2sin 2 6f x x      ，由 0 2x   求得 726 6 6x     ，利用正弦函 - 7 - 数的基本性质可求得函数  y f x 在 0, 2      的值域. 【详解】由题意可得   2sin 2 2sin 26 6 3g x f x x x                             ， 由于函数  y g x 为偶函数，则  3 2 k k Z      ，得  6 k k Z    ， 0    ， 0k  ， 6 π ，则   2sin 2 6f x x      ， 当 0 2x   时， 726 6 6x     ，则 1 sin 2 12 6x        ，此时  1 2f x   ， 因此，函数  y f x 在 0, 2      的值域为 1,2 . 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上值域的求解，同时也考查了利用正弦型含税的奇偶性 求参数以及利用三角函数图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 10. 若双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线与函数 ( ) ln( 1)f x x  的图象相切，则该 双曲线离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数 ( ) ln( 1)f x x  在  0,0 的切线斜率,继而得 出 ,a b 的关系求解离心率即可. 【 详 解 】 由 题 可 知 , 切 点 为 原 点 . 又 ( ) ln( 1)f x x  的 导 函 数 1'( ) 1f x x   , 故 1'(0) 10 1f   . 故 2 2 2 2 21 1 2 2b c a c ea a a        . 故选：A - 8 - 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题. 11. 如图，在四棱锥C ABOD 中，CO  平面 , // ,ABOD AB OD OB OD ，且 2 12, 6 2AB OD AD   ，异面直线 CD 与 AB 所成角为 30°，点 , , ,O B C D 都在同一 个球面上，则该球的半径为 （ ） A. 3 2 B. 4 2 C. 21 D. 42 【答案】C 【解析】 由条件可知 AB OD∥ ，所以， CDO 为异面直线 CD 与 AB 所成角，故 30CDO   ， 而 6OD  ，故 tan30 2 3OC OD   ，在直角梯形 ABOD 中，易得 6OB  ，以 , ,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 R 即为所求的球的 半径，由    22 2 22 2 3 6 6 84R     ，故 21R  . 本题选择 C 选项. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切 点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点 均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12. 已知函数   2 ln 2 , 0 3 , 02 x x x x f x x x x      的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 1y   的 对称点在 1y kx  的图像上，则实数 k 的取值范围是（ ） A. 1 ,12      B. 1 3,2 4      C. 1 ,13      D. 1 ,22      【答案】A 【解析】 【分析】 - 9 - 可将问题转化，求直线 1y kx  关于直线 1y   的对称直线，再分别讨论两函数的增减性， 结合函数图像，分析临界点，进一步确定 k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx  关于直线 1y   的对称直线为 1y mx   m k  ， 当 0x  时，   ln 2f x x x x  ，  ' ln 1f x x  ，当 x e 时，  ' 0f x  ，则当  0,x e 时，  ' 0f x  ，  f x 单减，当  ,x e  时，  ' 0f x  ，  f x 单增； 当 0x  时，   2 3 2f x x x  ，   3' 2 2f x x  ，当 3 4x   ，  ' 0f x  ,当 3 4x   时，  f x 单减，当 3 04 x   时，  f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图： 当 1y mx  与   2 3 2f x x x  （ 0x  ）相切时，得 0  ，解得 1 2m   ； 当 1y mx  与   ln 2f x x x x  （ 0x  ）相切时，满足 ln 2 1 ln 1 y x x x y mx m x         ， 解得 1, 1x m   ，结合图像可知 11, 2m       ，即 11, 2k        ， 1 ,12k     故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题 的关键，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． - 10 - 13. 5 2 12x x     的展开式中，含 4x 项的系数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】 求出二项展开式的通项，利用 x 的指数为 4 ，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结 果. 【详解】 5 2 12x x     的展开式通项为  52 5 10 3 1 5 5 12 2 k kk k k k kT C x C xx              ， 令10 3 4k  ，得 2k  ，因此， 5 2 12x x     的展开式中，含 4x 项的系数为 3 5 2 2 80C   . 故答案为：80 . 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 14. 在各项均为正数的等比数列 na 中， 1 2a  ，且 2a ， 4 2a  ， 5a 成等差数列，记 nS 是数 列 na 的前 n 项和，则 6S  ________. 【答案】126 【解析】 【分析】 设等比数列 na 公比为 q,再根据 2a , 4 2a  , 5a 成等差数列以及基本量法求解 q,再根据等比 数列求和公式求 6S 即可. 【详解】设等比数列 na 公比为 q,因为 2a , 4 2a  , 5a 成等差数列,故  4 2 52 2a a a   ,又 1 2a  ,故  3 42 2 2 2 2q q q    ,即   4 3 32 2 0 1 2 =0q q q q q       ,因为 0q  , 故 2q = .故  6 6 2 1 2 1261 2S    . 故答案为：126 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式 等.属于中档题 . - 11 - 15. 已知直线 l 经过点 P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 截得的弦长为 8，则直线 l 的方程是________． 【答案】x＋4＝0 和 4x＋3y＋25＝0 【解析】 由已知条件知圆心(－1，－2)，半径 r＝5，弦长 m＝8. 设弦心距是 d，则由勾股定理得 r2＝d2＋ 2，解得 d＝3.若 l 的斜率不存在，则直线 l 的 方程为 x＝－4，圆心到直线的距离是 3，符合题意．若 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方 程为 y＋3＝k(x＋4)，即 kx－y＋4k－3＝0，则 d＝ ＝3，即 9k2－6k＋1＝9k2＋9， 解得 k＝－ ，则直线 l 的方程为 4x＋3y＋25＝0.所以直线 l 的方程是 x＋4＝0 和 4x＋3y＋25＝ 0. 16. 已知 ( )f x 是奇函数并且是 R 上的单调函数,若函数    2 2 2y f x f x m     只有一 个零点,则函数 4( ) ( 1)1g x mx xx    的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据 ( )f x 是奇函数并且是R上的单调函数,求解    2 2 2 0f x f x m     中 m 的值,再利 用基本不等式求解 4( ) ( 1)1g x mx xx    的最小值即可. 【详解】由题,    2 2 2 0f x f x m     只有一个零点,故    2 2 2f x f x m     , 又 ( )f x 是奇函数并且是 R 上的单调函数, 故    2 2 2f x f x m   , 2 22 2 2 2 0x x m x x m        仅有一个零点. 故    22 4 2 0 1m m        . 又 1x  ,故  4 4 4( ) 1 1 2 1 1 51 1 1g x x x xx x x              ,当且仅当 41 31x xx     时取得等号. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用以及基本不等式的用法.属于中档题. - 12 - 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17. 如图，在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AA  平面 ABCD ，底面 ABCD 满足 AD ∥BC， 且 1 2 2 2.AB AD AA BD DC    ， (Ⅰ)求证: AB  平面 1 1ADD A ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 1 1B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ) 6 6 【解析】 【分析】 (Ⅰ)证明 1AA AB ，根据 2 2 2AB AD BD  得到 AB AD ，得到证明. (Ⅱ) 如图所示，分别以 1, ,AB AD AA 为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面 1 1B CD 的法向量  1,1,2n  ，  2,0,0AB  ，计算向量夹角得到答案. 【详解】(Ⅰ) 1AA  平面 ABCD ， AB Ì平面 ABCD ，故 1AA AB . 2AB AD  ， 2 2BD  ，故 2 2 2AB AD BD  ，故 AB AD . 1AD AA A  ，故 AB  平面 1 1ADD A . (Ⅱ)如图所示：分别以 1, ,AB AD AA 为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系， - 13 - 则  0,0,0A ，  2,0,0B ，  1 2,0,2B ，  2,4,0C ，  1 0,2,2D . 设平面 1 1B CD 的法向量  , ,n x y z ，则 1 1 1 0 0 n B C n B D        ，即 4 2 0 2 2 0 y z x y      ， 取 1x  得到  1,1,2n  ，  2,0,0AB  ，设直线 AB 与平面 1 1B CD 所成角为 故 2 6sin cos , 62 6 n AB n AB n AB              【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 18. 在 ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 , ,a b c 若 2 cos cos cosc A a B b A  . （1）求角 A； （2）若 2a b c  ，且 ABC 的外接圆半径为 1，求 ABC 的面积. 【答案】（1） 3A  （2） 3 3 4 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简 2 cos cos cosc A a B b A  求解即可. (2)根据正弦定理与 ABC 的外接圆半径为 1,结合(1)中 3A  可得 3a  ,再根据余弦定理 结合 2a b c  可得 3bc  ,再根据面积公式求解即可. 【详解】解：  1 因为 2 cos cos cosc A a B b A  . 由正弦定理得 2sin cos sin cos sin cosC A A B B A  ,从而可得 2sin cos sinC A C , - 14 - 又 C 为三角形的内角,所以 sin 0C  ,于是 1cos 2A  , 又 A 为三角形内角,因此 3A  . （2）设的外接圆半径为 R,则 1R  , 2 sin 3a R A  , 由余弦定理得 2 2 2 22 cos ( ) 33a b c b b c bc      ,即 3 12 3bc  , 所以 3bc  .所以 ABC 的面积为： 1 3 3sin2 4S bc A  . 【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,属于中档题. 19. 2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下: (Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分 布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每 组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以 上的概率大于 90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出 m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5 万；(Ⅱ)分布列见解析，   3 4E X  ；(Ⅲ) 4 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案. (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2 ，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. - 15 - (Ⅲ) 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 10 1 20 2p   ，故 1 1 90%2 m      ，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80 分以上的有 2 人，故人数为： 2 50 520   万人. (Ⅱ) 8 名男生中，测试成绩在 70 分以上的有3 人， X 的可能取值为： 0,1,2 .   2 5 2 8 50 14 Cp X C    ，   1 1 5 3 2 8 151 28 C Cp X C    ，   2 3 2 8 33 28 Cp X C    . 故分布列为： X 0 1 2 p 5 14 15 28 3 28   5 15 3 30 1 214 28 28 4E X        . (Ⅲ) 英语测试成绩在 70 分以上的概率为 10 1 20 2p   ，故 1 1 90%2 m      ，故 4m≥ . 故 m 的最小值为 4 . 【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应 用能力. 20. 已知 1F ， 2F 分别是椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b   ＞ ＞ 的左，右焦点，点 2( 1, )2P  在椭圆 E 上，且抛物线 2 4y x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点． （1）求 a ,b 的值： （2）过点 2F 作不与 x 轴重合的直线 l ，设l 与圆 2 2 2 2x y a b   相交于 A，B 两点，且与椭圆 E 相交于 C，D 两点，当 1 1 1F A F B   时，求△ 1FCD 的面积． 【答案】（1） 2, 1a b  ；（2） 4 6 7 . 【解析】 【分析】 （1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出 a ，b ； - 16 - （2）设直线 l 方程为 1x ty  ，联立直线与圆的方程可以求出 2t ，再联立直线和椭圆的方程 化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】（1） 2 4y x＝ 焦点为 F（1，0），则 F1（1，0），F2（1，0）， 1 22 PF + PF 2 2a＝ ＝ ，解得 2a  ， c ＝1，b ＝1， （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为 1x ty  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 联立 2 2 1 3 x ty x y      得 2 2( 1) 2 2 0t y ty    ，易知△＞0，则 1 2 2 1 2 2 2t t +1 2 t +1 y y y y        1 1 F A F B  ＝ 11 2 2( 1)( 1)x x y y   ＝ 1 2 1 2(ty +2)(ty +2)+y y ＝ 2 2 1 2 1 2 2 2- 2tt +1 y y + 2t y + y + 4 t +1 （ ） （ ） ＝ 因为 1 1 1F A F B   ，所以 2 2 2-2t t +1 ＝1，解得 2 1t 3 ＝ 联立 2 2 1 12 x ty x y   ＝ ＝ ，得 2 2t +2 y +2ty-1 0（ ） ＝ ，△＝8 2t +1（ ）＞0 设 3 3 4 4C , ), ( , )x y B x y（ ，则 3 4 2 3 4 2 2ty +y t +2 1y y 2t      ＝ ＝ 1 2 F CD 1 2 3 4 2 481 8 1+t 4 63S F F y -y 72 t +2 7 3    （ ）＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解 决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力． 21. 已知 21( ) ln2 xf x x ae x   ． （1）设 1 2x  是 ( )f x 的极值点，求实数 a 的值，并求 ( )f x 的单调区间； - 17 - （2）当 0a  时，求证： 1( ) 2f x  ． 【答案】（1） 3 2 ea e  ；单调递增区间为 1 ,2     ，单调递减区间为 10, 2      ； （2）证明见 解析. 【解析】 【分析】 （1）求得 1( ) xf x x ae x     ，利用 1 21 1( ) 2 02 2f ae     ．求得 3 2 ea e  ．再求 ( )f x 的单调 区间． （2）由（1）可得 0a  时， 0 (0,1)x  使得 0( ) 0f x  ，即 0 0 0 1 0xx ae x    ． 02 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) ( ) 2 2 x minf x f x x ae lnx x x lnxx         ， 0(0 1)x  令 21 1( ) (0 1)2g x x x lnx xx       ．利用导数可得 1( ) 2f x  ． 【详解】（1）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ． 又 1( ) xf x x ae x     ， 1 2x  是 ( )f x 的极值点， 1 21 1( ) 2 02 2f ae      ． 3 2 ea e   ． ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，且 1( ) 02f   ． ( ) 0f x   时， 1 2x  ， ( ) 0f x  时， 1 2x  ． ( )f x 的递减区间为 1(0, )2 ，递增区间为 1(2 ， ) ． （2）由（1）可得 0a  时， 1( ) xf x x ae x     在 (0, ) 上单调递增． 又因为 f  （1） 1 1 0ae ae     ，当 x 趋近于 0 时， ( )f x 趋近于  ． 0 (0,1)x  使得 0( ) 0f x  ，即 0 0 0 1 0xx ae x    ． 当 0(0, )x x 时， 0( ) 0f x  ， 0(x x ， ) 时， 0( ) 0f x  ． ( )f x 在 0(0, )x 递减，在 0(x ， ) 递增． - 18 - 02 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) ( ) 2 2 x minf x f x x ae lnx x x lnxx          ， 0(0 1)x  令 21 1( ) (0 1)2g x x x lnx xx       ． 2 1( ) 1 xg x x x     ，在 (0,1) 上 ( ) 0g x  ， ( )g x  单调递减， 1( ) (1) 2g x g  ． 当 0a  时， 1( ) 2f x  ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查 转化思想，是一道综合题． （二）选考题：共 10 分．请考生在 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按 所做的第一题记分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 0x y 中，曲线 1C 的参数方程为 cos (sin x t ty t      为参数且 0t  ， [0a ， )) ， 曲线 2C 的参数方程为 cos (1 sin x y       为参数），以O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 3C 的极坐标方程为 4cos  ． （1）求 2C 的普通方程及 3C 的直角坐标方程； （2）若曲线 1C 与曲线 2 3C C 分别交于点 A ， B ，求| |AB 的最大值． 【答案】（1） 2C ： 22 ( 1) 1yx    ， 3C ： 2 2( 2) 4x y   ；（2） 2 5 【解析】 【分析】 （1）在曲线 2C 的参数方程中消去参数可得出曲线 2C 的普通方程，在曲线 3C 的极坐标方程两 边同时乘以  ，并代入 2 2 2 cos x y x         可得出曲线 3C 的直角坐标方程； （2）由曲线 1C 的参数方程得出其极坐标方程为  ，并设点 A 、B 的极坐标分别为 1,  、  2 ,  ，将曲线 1C 的极坐标方程分别代入曲线 2C 、 3C 的表达式，求出 1 、 2 - 19 - 关于 的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出 1 2AB    的最 大值． 【详解】（1）由 cos 1 sin x y       消去参数 得 2C 的普通方程为： 22 ( 1) 1yx    ； 由 4cos  得 2 4 cos   ，得 3C 的直角坐标方程为： 2 2 4x y x  ， 即 2 2( 2) 4x y   ． （2） 1C 的极坐标方程为：  ， 2C 的极坐标方程为： 2sin  将  分别代入 2C ， 3C 的极坐标方程得： 2sinA  ， 4cosB  ， | | | | | 2sin 4cos | | 2 5sin( ) | 2 5A BAB             „ ． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用， 弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来 求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23. 已知函数 ( ) | 2 | | 3| ( )f x x a x a R     . （1）若 1a   ，求不等式 ( ) 1 0f x   的解集； （2）已知 0a  ，若 ( ) 3 2f x a  对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1） | 1x x   或 1x  ；（2） (2, ) . 【解析】 【分析】 （1） 1a   时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式. （2） 0a  时，分类讨论去绝对值，得到  f x 解析式，由函数的单调性可得  f x 的最小值， 通过恒成立问题，得到关于 a 的不等式，得到 a 的取值范围. - 20 - 【详解】（1）因为 1a   ，所以   12, 2 13 4, 32 2, 3 x x f x x x x x             ， 所以不等式   1 0f x   等价于 1 2 2 1 0 x x       或 1 32 3 4 1 0 x x        或 3 2 1 0 x x      ， 解得 1x   或 1x  . 所以不等式   1 0f x   的解集为 | 1x x   或 1x  . （2）因为 0a  ，所以   3, 2 3 3, 32 3, 3 ax a x af x x a x x a x                  ， 根据函数的单调性可知函数  f x 的最小值为 32 2 a af        ， 因为   3 2f x a  恒成立，所以 3 3 22 a a    ，解得 2a  . 所以实数 a 的取值范围是 2, . 【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.