2021届高考数学一轮复习第六章数列第2节等差数列及其前n项和课件新人教A版 34页

第 2 节　等差数列及其前 n 项和 考试要求　 1. 理解等差数列的概念； 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4. 了解等差数列与一次函数的关系 . 知 识 梳 理 1. 等差数列的概念 (1) 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 ______________ ，那么这个数列就叫做等差数列 . 数学语言表达式： a n ＋ 1 － a n ＝ d ( n ∈ N * ， d 为常数 ). (2) 若 a ， A ， b 成等差数列，则 A 叫做 a ， b 的等差中项，且 A ＝ _______ . 同一个常数 2. 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1) 若等差数列 { a n } 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则其通项公式为 a n ＝ _____________ . (2) 前 n 项和公式： S n ＝ __________________ ＝ __________________ . a 1 ＋ ( n － 1) d 3. 等差数列的性质 ( n － m ) d a k ＋ a l ＝ a m ＋ a n md [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ pn ＋ q ( 其中 p ， q 为常数 ) ，则数列 { a n } 一定是等差数列，且公差为 p . 2. 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＞ 0 ， d ＜ 0 ，则 S n 存在最大值；若 a 1 ＜ 0 ， d ＞ 0 ，则 S n 存在最小值 . 3. 等差数列 { a n } 的单调性：当 d ＞ 0 时， { a n } 是递增数列；当 d ＜ 0 时， { a n } 是递减数列；当 d ＝ 0 时， { a n } 是常数列 . 4. 数列 { a n } 是等差数列 ⇔ S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ). 5. 用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词： “ 从第 2 项起 ”“ 每一项与它的前一项的差 ”“ 同一个常数 ”. 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N * ，都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 .( 　　 ) (2) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的 .( 　　 ) (3) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数 .( 　　 ) (4) 等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 .( 　　 ) 解析　 (3) 若公差 d ＝ 0 ，则通项公式不是 n 的一次函数 . (4) 若公差 d ＝ 0 ，则前 n 项和不是二次函数 . 答案　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 老教材必修 5P46AT2 改编 ) 设数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ，若 a 6 ＝ 2 且 S 5 ＝ 30 ，则 S 8 等于 ( 　　 ) A.31 B.32 C.33 D.34 答案　 B 3. ( 老教材必修 5P68T8 改编 ) 在等差数列 { a n } 中 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 6 ，则 S 7 ＝ ( 　　 ) A.8 B.12 C.14 D.18 答案　 C 4. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， a 1 ＝ 2 ，则 a 5 ＝ ( 　　 ) A. － 12 B. － 10 C.10 D.12 答案　 B 5. (2020· 上饶模拟 ) 已知等差数列 { a n } ， a 10 ＝ 10 ，其前 10 项和 S 10 ＝ 70 ，则公差 d ＝ ( 　　 ) 答案　 D 考点一　等差数列基本量的运算 【例 1 】 (1) ( 一题多解 )(2019· 江苏卷 ) 已知数列 { a n }( n ∈ N * ) 是等差数列， S n 是其前 n 项和 . 若 a 2 a 5 ＋ a 8 ＝ 0 ， S 9 ＝ 27 ，则 S 8 的值是 ________. 法二 　同法一得 a 5 ＝ 3. 又 a 2 a 5 ＋ a 8 ＝ 0 ⇒ 3 a 2 ＋ a 8 ＝ 0 ⇒ 2 a 2 ＋ 2 a 5 ＝ 0 ⇒ a 2 ＝－ 3. (2) 设首项为 a 1 ，公差为 d . 答案　 (1)16 　 (2)A 规律方法　 1. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ， S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题 . 2. 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a 1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 . 【训练 1 】 (2019· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 9 ＝－ a 5 . (1) 若 a 3 ＝ 4 ，求 { a n } 的通项公式； (2) 若 a 1 >0 ，求使得 S n ≥ a n 的 n 的取值范围 . 由 a 3 ＝ 4 得 a 1 ＋ 2 d ＝ 4. 于是 a 1 ＝ 8 ， d ＝－ 2. 因此 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 10 － 2 n . 即 n 2 － 11 n ＋ 10 ≤ 0 ，解得 1 ≤ n ≤ 10 ， 所以 n 的取值范围是 { n |1 ≤ n ≤ 10 ， n ∈ N }. 考点二　等差数列的判定与证明　 典例迁移 (1) 证明　 当 n ≥ 2 时，由 a n ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0 ， 【迁移 1 】 本例条件不变，判断数列 { a n } 是否为等差数列，并说明理由 . 解　因为 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) ， a n ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0 ，所以 S n － S n － 1 ＋ 2 S n S n － 1 ＝ 0( n ≥ 2). 所以当 n ≥ 2 时， a n ＋ 1 － a n 的值不是一个与 n 无关的常数，故数列 { a n } 不是等差数列 . 规律方法　 1. 证明数列是等差数列的主要方法： (1) 定义法：对于 n ≥ 2 的任意自然数，验证 a n － a n － 1 为同一常数 . (2) 等差中项法：验证 2 a n － 1 ＝ a n ＋ a n － 2 ( n ≥ 3 ， n ∈ N * ) 都成立 . 2. 判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1) 通项公式： a n ＝ pn ＋ q ( p ， q 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . (2) 前 n 项和公式： S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数 ) ⇔ { a n } 是等差数列 . 问题的最终判定还是利用定义 . 【训练 2 】 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 考点三　等差数列的性质及应用 【例 3 】 (1) (2019· 安阳联考 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 2 ＋ a 8 ＝ 8 ，则 ( a 3 ＋ a 7 ) 2 － a 5 ＝ ( 　　 ) A.60 B.56 C.12 D.4 (2) 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 ＝ 9 ， S 6 ＝ 36 ，则 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 等于 ( 　　 ) A.63 B.45 C.36 D.27 解析　 (1) ∵ 在等差数列 { a n } 中， a 2 ＋ a 8 ＝ 8 ， ∴ a 2 ＋ a 8 ＝ a 3 ＋ a 7 ＝ 2 a 5 ＝ 8 ，解得 a 5 ＝ 4 ， 所以 ( a 3 ＋ a 7 ) 2 － a 5 ＝ 8 2 － 4 ＝ 60. (2) 由 { a n } 是等差数列，得 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 为等差数列， 即 2( S 6 － S 3 ) ＝ S 3 ＋ ( S 9 － S 6 ) ， 得到 S 9 － S 6 ＝ 2 S 6 － 3 S 3 ＝ 45 ， 所以 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 45. 答案　 (1)A 　 (2)B 规律方法　 1. 项的性质：在等差数列 { a n } 中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q . 2. 和的性质：在等差数列 { a n } 中， S n 为其前 n 项和，则 (1) S 2 n ＝ n ( a 1 ＋ a 2 n ) ＝ … ＝ n ( a n ＋ a n ＋ 1 ) ； (2) S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n . 答案　 (1)C 　 (2)A 考点四　等差数列的最值问题　 多维探究 角度 1 　等差数列前 n 项和的最值 【例 4 － 1 】 (2019· 北京卷 ) 设 { a n } 是等差数列， a 1 ＝－ 10 ，且 a 2 ＋ 10 ， a 3 ＋ 8 ， a 4 ＋ 6 成等比数列 . (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 记 { a n } 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值 . 解　 (1) 设 { a n } 的公差为 d . 因为 a 1 ＝－ 10 ， 所以 a 2 ＝－ 10 ＋ d ， a 3 ＝－ 10 ＋ 2 d ， a 4 ＝－ 10 ＋ 3 d . 因为 a 2 ＋ 10 ， a 3 ＋ 8 ， a 4 ＋ 6 成等比数列 ， 所以 ( a 3 ＋ 8) 2 ＝ ( a 2 ＋ 10)( a 4 ＋ 6). 所以 ( － 2 ＋ 2 d ) 2 ＝ d ( － 4 ＋ 3 d ). 解得 d ＝ 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 n － 12. (2) 由 (1) 知 ， a n ＝ 2 n － 12. 则当 n ≥ 7 时 ， a n >0 ； 当 n ＝ 6 时 ， a n ＝ 0 ， 当 n <6 时 ， a n <0 ； 所以 S n 的最小值为 S 5 ＝ S 6 ＝－ 30. 规律方法　 求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： (1) 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2) 利用公差不为零的等差数列的前 n 项和 S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A ， B 为常数， A ≠ 0) 为二次函数，通过二次函数的性质求最值 . 角度 2 　等差数列项的最值 【例 4 － 2 】 (2020· 淮北模拟 ) S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和， S 2 020 < S 2 018 ， S 2 019 < S 2 020 ，则 S n <0 时 n 的最大值是 ( 　　 ) A.2 019 B.2 020 C.4 037 D.4 038 答案　 D 规律方法　 本题借助等差数列的性质求出 S n <0 中 n 的取值范围，从而求出 n 的最大值，这种题型要与 S n 的最值区别开来 . 【训练 4 】 (1) ( 角度 1) 等差数列 { a n } 中，已知 | a 6 | ＝ | a 11 | ，且公差 d >0 ，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为 ( 　　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 (2) ( 角度 2) 设等差数列 { a n } 满足 a 3 ＋ a 7 ＝ 36 ， a 4 a 6 ＝ 275 ，且 a n a n ＋ 1 有最小值，则这个最小值为 ________. 答案　 (1)C 　 (2) － 12