高考数学复习练习试题8_5立体几何的综合应用 4页

‎§8.5　立体几何的综合应用 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示三个平面，下列命题中正确的是__________．‎ ‎①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；‎ ‎②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β＝l，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则m∥n；‎ ‎④若m∥α，n∥α，则m∥n.‎ ‎2．如图，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，P是侧面BB‎1C1C内一动点，若P 到 直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是__________．‎ ‎3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则命题：‎ ‎①若m⊂β，α⊥β则m⊥α；‎ ‎②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；‎ ‎③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；‎ ‎④若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎4．已知直线a，b，c和平面α，β，给出下列命题：‎ ‎①若a，b与α成等角，则a∥b；‎ ‎②若α∥β，c⊥α，则c⊥β；‎ ‎③若a⊥b，a⊥α，则b∥α；‎ ‎④α⊥β，a∥α，则a⊥β.‎ 其中错误命题的序号是________．‎ ‎5．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________________条件．‎ ‎6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．‎ ‎7．如图， ABCD—A1B‎1C1D1为正方体，有下面结论：‎ ‎①BD∥平面CB1D1；‎ ‎②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.其中正确命题的序号是________．‎ ‎8．已知a，b，c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的序号是________．‎ ‎9．(2010·南京模拟)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是______________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的点．‎ 求证：(1)PA∥平面BDF；‎ ‎(2)平面PAC⊥平面BDF.‎ ‎11.(16分)如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥ 平面ABCD，PB＝AB＝2MA.‎ 求证：(1)平面AMD∥平面BPC；‎ ‎ (2)平面PMD⊥平面PBD ‎12．(16分)如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.‎ ‎(1)求证：EF⊥平面BCE；‎ ‎(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.‎ 答案 ‎1．②③ 2．抛物线 3．③ 4．①③④ 5．必要不充分 ‎6．48 7．①②③ 8．② 9. ‎10．证明　(1)连结AC，交BD于点O，连结OF.‎ ‎ 因为ABCD是菱形，‎ ‎ 所以O是AC的中点．‎ ‎ 因为点F为PC的中点，‎ ‎ 所以OF∥PA.‎ ‎ 因为OF⊂平面BDF，‎ ‎ PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF.‎ ‎ (2)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎ 所以PA⊥AC.因为OF∥PA，所以OF⊥AC.‎ ‎ 因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD.‎ ‎ 因为OF∩BD＝O，且OF，BD⊂平面BDF，‎ ‎ 所以AC⊥平面BDF.‎ ‎ 因为AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BDF.‎ ‎11．证明　(1)∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴PB∥MA.‎ ‎ ∵PB⊂平面BPC，MA⊄平面BPC，∴MA∥平面BPC.‎ ‎ 同理可证DA∥平面BPC.‎ ‎ ∵MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，‎ ‎ ∴平面AMD∥平面BPC. ‎ ‎(2)连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，‎ ‎ 连结EF，MF.‎ ‎ ∵ABCD为正方形，‎ ‎ ∴E为BD中点．‎ ‎ ∵F为PD中点，∴EF PB.‎ ‎ ∵AM PB，∴AMEF，‎ ‎ 即AEFM为平行四边形．‎ ‎ ∴MF∥AE.‎ ‎ ∵PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ ‎ ∴PB⊥AE.∴MF⊥PB.‎ ‎ ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD.‎ ‎ ∴MF⊥BD.‎ ‎ 又∵PB∩BD＝B且PB，BD⊂平面PBD ‎ ∴MF⊥平面PBD.‎ ‎ 又MF⊂平面PMD，‎ ‎ ∴平面PMD⊥平面PBD.‎ ‎12．证明　(1)∵平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平 面ABCD＝AB，‎ ‎∴BC⊥平面ABEF.∴BC⊥EF.‎ ‎∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，‎ ‎∴∠AEB＝45°.‎ 又∵∠AEF＝45°，‎ ‎∴∠FEB＝90°，即EF⊥BE.‎ ‎∵BC⊂平面BCE，‎ BE⊂平面BCE，‎ BC∩BE＝B，‎ ‎∴EF⊥平面BCE.‎ ‎(2)取BE的中点N，连结CN、MN，‎ 则MNABPC.‎ ‎∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN.‎ ‎∵CN⊂平面BCE，PM⊄平面BCE，‎ ‎∴PM∥平面BCE.‎