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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第19讲学案

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第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求 1.同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α(B级要求);2.±α,π±α,-α的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(  )‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(  )‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.(  )‎ ‎(4)若sin(kπ-α)=(k∈ ),则sin α=.(  )‎ 解析 (1)对于α∈R,sin(π+α)=-sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时,sin α=,当k为偶数时,sin α=-.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(必修4P23习题11改编)已知tan α=2,则的值为________.‎ 解析 原式===3.‎ 答案 3‎ ‎3.(2017·苏北四市摸底)已知sin=,那么cos α=________.‎ 解析 ∵sin=sin=cos α,∴cos α=.‎ 答案  ‎4.(2018·南通调研)已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ=________.‎ 解析 ∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=.‎ 又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,‎ ‎∴sin θ-cos θ=或-.‎ 又∵θ∈,∴sin θ-cos θ=-.‎ 答案 - ‎5.(2017·泰兴中 检测)已知3sin α+4cos α=5,则tan α=________.‎ 解析 由3sin α+4cos α=5,‎ 两边平方得9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25,‎ 即9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25(sin2α+cos2α),‎ 从而16sin2α-24sin αcos α+9cos2α=0.‎ 故(4sin α-3cos α)2=0,‎ 所以4sin α=3cos α,‎ 故tan α=.‎ 答案  知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+α ‎(k∈ )‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sin α ‎-sin__α ‎-sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎-cos__α ‎ cos__α ‎ ‎-cos__α ‎ sin__α ‎-sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎-tan__α ‎-tan__α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 注:诱导公式记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”.‎ 考点一 同角三角函数基本关系式及其应用 ‎【例1】 (1)(教材改编)已知cos θ=,且<θ<2π,那么tan θ的值为________.‎ ‎(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为________.‎ 解析 (1)因为θ为第四象限角,所以tanθ<0,sin θ<0,‎ sin θ=-=-,所以tan θ==-.‎ ‎(2)∵<α<,‎ ‎∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,‎ ‎∴cos α-sin α>0.‎ 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,‎ ‎∴cos α-sin α=.‎ 答案 (1)- (2) 规律方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α ‎=1-sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·盐城调研)若3sin α+cos α=0,则=________.‎ ‎(2)(2018·苏州模拟)已知θ是第三象限角,且sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ=________.‎ 解析 (1)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-,‎ ====.‎ ‎(2)由sin θ-2cos θ=-及sin2θ+cos2θ=1得:‎ ‎(2cos θ-)2+cos2θ=1⇒5cos2θ-cos θ-=0⇒cos θ=或cos θ=‎ ‎-,因为θ是第三象限角,所以cos θ=-,从而sin θ=-,∴sin θ+cos θ=-.‎ 答案 (1) (2)- 考点二 诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)(2018·连云港模拟)计算:sin π+cos π=________.‎ ‎(2)(2017·宿迁模拟)已知f(x)=,则f(-)=________.‎ 解析 (1)∵sin π=sin=-sin =-,‎ cos π=cos=cos =-,‎ ‎∴sin π+cos π=-1.‎ ‎(2)f(x)==-tan2 x,‎ f =-tan2=-tan2π=-1.‎ 答案 (1)-1 (2)-1‎ 规律方法 (1)诱导公式的两个应用 ‎①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 ‎2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·扬州中 开 考试)角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则cos(π-α)的值是________.‎ ‎(2)(2017·南通一模)已知sin=,则sin+sin2(-x)的值是________.‎ 解析 (1)由已知及三角函数定义可得cos α=,‎ 由cos(π-α)=-cos α得cos(π-α)=-.‎ ‎(2)因为sin=,‎ 所以sin+sin2=sin+sin2 ‎=-sin+1-sin2=-+1-=.‎ 答案 (1)- (2) ‎【例3】 (1)(2018·泰兴模拟)设tan(5π+α)=m,则的值为________;‎ ‎(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos=________.‎ 解析 (1)由tan(5π+α)=m,得tan α=m,‎ ‎∴===.‎ ‎(2)因为+=,‎ 所以cos=sin=sin.‎ 因为-π<α<-,所以-<α+<-.‎ 又cos=>0,所以-<α+<-,‎ 所以sin=-=-=-.‎ 答案 (1) (2)- 规律方法 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响,注意常见互余与互补的角:①常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.‎ ‎②常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·南通调研)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin=________.‎ ‎(2)(教材改编)化简:‎ +=________.‎ 解析 (1)由题意知,cos=cos=-cos=-a.‎ sin=sin=cos=a,‎ ‎∴cos+sin=0.‎ ‎(2)因为tan(3π-α)=-tan α,sin(π-α)=sin α,‎ sin=-cos α,sin(2π-α)=-sin α,‎ cos=cos=-sin α,‎ sin=-cos α,cos(2π+α)=cos α.‎ 所以原式=+ ‎=-===1.‎ 答案 (1)0 (2)1‎ 一、必做题 ‎1.(2017·镇江期末)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=________.‎ 解析 因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α==,‎ 故tan α==-.‎ 答案 - ‎2.已知tan α=,且α∈,则sin α=________.‎ 解析 ∵tan α=>0,且α∈,‎ ‎∴sin α<0,‎ ‎∴sin2α====,‎ ‎∴sin α=-.‎ 答案 - ‎3.(必修4P19例1改编)sin(-585°)的值为________.‎ 解析 sin(-585°)=-sin 585°=-sin(360°+225°)=-sin 225°‎ ‎=-sin(180°+45°)=sin 45°=.‎ 答案  ‎4.(教材改编)已知tan α=1,则=________.‎ 解析 原式===.‎ 答案  ‎5.(2017·泰州模拟)已知tan α=3,则的值是________.‎ 解析 原式= ‎=====2.‎ 答案 2‎ ‎6.(2017·如东中 期中)若sin α=2cos α,则sin2α+2cos2α的值为________.‎ 解析 由sin α=2cos α得tan α=2,‎ 因此sin2α+2cos2α====.‎ 答案  ‎7.若f(cos x)=cos 3x,那么f(sin 30°)的值为________.‎ 解析 因为sin 30°=sin(90°-60°)=cos 60°,‎ 所以f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos(3×60°)=cos 180°=-1.‎ 答案 -1‎ ‎8.(2018·扬州中 质检)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos=________.‎ 解析 ∵a=,b=(cos α,1),且a∥b,‎ ‎∴×1-tan αcos α=0,∴sin α=,‎ ‎∴cos=-sin α=-.‎ 答案 - ‎9.(1)化简:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°);‎ ‎(2)求值:‎ 设f(α)=(1+2sin α≠0),求 f 的值.‎ 解 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)‎ ‎=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1.‎ ‎(2)∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f====.‎ ‎10.(2016·淮阴中 期中)已知tan α是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且α是第三象限角.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求cos α+sin α的值.‎ 解 ∵2x2-x-1=0,∴x1=-,x2=1,∴tan α=-或tan α=1,又α是第三象限角,所以tan α=1.‎ ‎(1)===.‎ ‎(2)∵且α是第三象限角,‎ ‎∴ ‎∴sin α+cos α=-.‎ 二、选做题 ‎11.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 019)的值为________.‎ 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,‎ ‎∴f(2 019)=asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)‎ ‎=-asin α-bcos β=-3.‎ 答案 -3‎ ‎12.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为________.‎ 解析 由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ·cos θ=.‎ 又=1+2sin θcos θ,‎ ‎∴=1+,解得m=1±.‎ 又Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0或m≥4,∴m=1-.‎ 答案 1-