- 194.50 KB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考试要求 1.同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α(B级要求);2.±α,π±α,-α的正弦、余弦的诱导公式(B级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈ ),则sin α=.( )
解析 (1)对于α∈R,sin(π+α)=-sin α都成立.
(4)当k为奇数时,sin α=,当k为偶数时,sin α=-.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(必修4P23习题11改编)已知tan α=2,则的值为________.
解析 原式===3.
答案 3
3.(2017·苏北四市摸底)已知sin=,那么cos α=________.
解析 ∵sin=sin=cos α,∴cos α=.
答案
4.(2018·南通调研)已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ=________.
解析 ∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=.
又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
∴sin θ-cos θ=或-.
又∵θ∈,∴sin θ-cos θ=-.
答案 -
5.(2017·泰兴中 检测)已知3sin α+4cos α=5,则tan α=________.
解析 由3sin α+4cos α=5,
两边平方得9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25,
即9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25(sin2α+cos2α),
从而16sin2α-24sin αcos α+9cos2α=0.
故(4sin α-3cos α)2=0,
所以4sin α=3cos α,
故tan α=.
答案
知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈ )
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin__α
-sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
-cos__α
cos__α
-cos__α
sin__α
-sin__α
正切
tan α
tan__α
-tan__α
-tan__α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
注:诱导公式记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”.
考点一 同角三角函数基本关系式及其应用
【例1】 (1)(教材改编)已知cos θ=,且<θ<2π,那么tan θ的值为________.
(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为________.
解析 (1)因为θ为第四象限角,所以tanθ<0,sin θ<0,
sin θ=-=-,所以tan θ==-.
(2)∵<α<,
∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,
∴cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴cos α-sin α=.
答案 (1)- (2)
规律方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α
=1-sin2α.
【训练1】 (1)(2017·盐城调研)若3sin α+cos α=0,则=________.
(2)(2018·苏州模拟)已知θ是第三象限角,且sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ=________.
解析 (1)3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-,
====.
(2)由sin θ-2cos θ=-及sin2θ+cos2θ=1得:
(2cos θ-)2+cos2θ=1⇒5cos2θ-cos θ-=0⇒cos θ=或cos θ=
-,因为θ是第三象限角,所以cos θ=-,从而sin θ=-,∴sin θ+cos θ=-.
答案 (1) (2)-
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)(2018·连云港模拟)计算:sin π+cos π=________.
(2)(2017·宿迁模拟)已知f(x)=,则f(-)=________.
解析 (1)∵sin π=sin=-sin =-,
cos π=cos=cos =-,
∴sin π+cos π=-1.
(2)f(x)==-tan2 x,
f =-tan2=-tan2π=-1.
答案 (1)-1 (2)-1
规律方法 (1)诱导公式的两个应用
①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将
2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
【训练2】 (1)(2018·扬州中 开 考试)角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则cos(π-α)的值是________.
(2)(2017·南通一模)已知sin=,则sin+sin2(-x)的值是________.
解析 (1)由已知及三角函数定义可得cos α=,
由cos(π-α)=-cos α得cos(π-α)=-.
(2)因为sin=,
所以sin+sin2=sin+sin2
=-sin+1-sin2=-+1-=.
答案 (1)- (2)
【例3】 (1)(2018·泰兴模拟)设tan(5π+α)=m,则的值为________;
(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos=________.
解析 (1)由tan(5π+α)=m,得tan α=m,
∴===.
(2)因为+=,
所以cos=sin=sin.
因为-π<α<-,所以-<α+<-.
又cos=>0,所以-<α+<-,
所以sin=-=-=-.
答案 (1) (2)-
规律方法 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响,注意常见互余与互补的角:①常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.
②常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.
【训练3】 (1)(2017·南通调研)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin=________.
(2)(教材改编)化简:
+=________.
解析 (1)由题意知,cos=cos=-cos=-a.
sin=sin=cos=a,
∴cos+sin=0.
(2)因为tan(3π-α)=-tan α,sin(π-α)=sin α,
sin=-cos α,sin(2π-α)=-sin α,
cos=cos=-sin α,
sin=-cos α,cos(2π+α)=cos α.
所以原式=+
=-===1.
答案 (1)0 (2)1
一、必做题
1.(2017·镇江期末)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=________.
解析 因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α==,
故tan α==-.
答案 -
2.已知tan α=,且α∈,则sin α=________.
解析 ∵tan α=>0,且α∈,
∴sin α<0,
∴sin2α====,
∴sin α=-.
答案 -
3.(必修4P19例1改编)sin(-585°)的值为________.
解析 sin(-585°)=-sin 585°=-sin(360°+225°)=-sin 225°
=-sin(180°+45°)=sin 45°=.
答案
4.(教材改编)已知tan α=1,则=________.
解析 原式===.
答案
5.(2017·泰州模拟)已知tan α=3,则的值是________.
解析 原式=
=====2.
答案 2
6.(2017·如东中 期中)若sin α=2cos α,则sin2α+2cos2α的值为________.
解析 由sin α=2cos α得tan α=2,
因此sin2α+2cos2α====.
答案
7.若f(cos x)=cos 3x,那么f(sin 30°)的值为________.
解析 因为sin 30°=sin(90°-60°)=cos 60°,
所以f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos(3×60°)=cos 180°=-1.
答案 -1
8.(2018·扬州中 质检)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos=________.
解析 ∵a=,b=(cos α,1),且a∥b,
∴×1-tan αcos α=0,∴sin α=,
∴cos=-sin α=-.
答案 -
9.(1)化简:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°);
(2)求值:
设f(α)=(1+2sin α≠0),求
f 的值.
解 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1.
(2)∵f(α)=
===,
∴f====.
10.(2016·淮阴中 期中)已知tan α是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且α是第三象限角.
(1)求的值;
(2)求cos α+sin α的值.
解 ∵2x2-x-1=0,∴x1=-,x2=1,∴tan α=-或tan α=1,又α是第三象限角,所以tan α=1.
(1)===.
(2)∵且α是第三象限角,
∴
∴sin α+cos α=-.
二、选做题
11.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 019)的值为________.
解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,
∴f(2 019)=asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asin α-bcos β=-3.
答案 -3
12.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为________.
解析 由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ·cos θ=.
又=1+2sin θcos θ,
∴=1+,解得m=1±.
又Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案 1-