【数学】2019届高考一轮复习北师大版理8-8关注立体几何中的动态问题学案 3页

‎　　　　　　　　　　　　　关注立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等．‎ 一、常见题目类型 ‎ (2018·金华十校高考模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆的一部分　　　　　　　 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 ‎【解析】　把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，‎ 因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，‎ 所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B.‎ ‎【答案】　B ‎ (2018·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2.ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为(　　)‎ A.　　　　B. C.π　　　　D.π ‎【解析】　根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图1所示，则B(2，1，0)，C(0，2，0)，设M(x，0，z)，易知直线MB，MC与平面ADEF所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，且∠AMB＝∠DMC，所以sin∠AMB＝sin∠DMC⇒＝，即2MB＝MC，因此2＝，整理得＋z2＝，由此可得，点M在正方形ADEF内的轨迹是以点O为圆心，半径为的圆弧M1M2，如图2所示，易知圆心角∠M1OM2＝，所以lM1M2＝×＝π.故选C.‎ ‎【答案】　C ‎ (2018·杭州市高考模拟)‎ 在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是(　　)‎ A．线段NO为定长 B．|CO|∈[1，)‎ C．∠AMO＋∠ADB>180° D．点O的轨迹是圆弧 ‎【解析】　如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON＝AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO＝1，CO＝1，所以|CO|∈[1，)，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C.‎ ‎【答案】　C 求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹．　 ‎ 二、巩固提高 ‎(1)(2018·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________．(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)‎ ‎(2)(2018·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________．‎ 解析：(1)如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝，‎ 此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|＝2π×＝π.‎ ‎(2)过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E.‎ 因为矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，‎ 所以AE＝，CE＝.‎ 所以A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．∠A′EA为二面角ABDA′的平面角．‎ 以E为原点，以EB，EA′所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz，设∠A′EA＝θ，‎ 则A，C，‎ 所以AC＝＝，‎ 所以≤ ≤，解得0≤cos θ≤，‎ 所以60°≤θ≤90°，所以A点轨迹的圆心角为30°，‎ 所以A点轨迹的长度为·＝.‎ 答案：(1)π　(2) π