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- 2021-07-01 发布
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第章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性)
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)
(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)
a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性)
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；(单向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1b⇔ac2>bc2． ( )
(2)a>b>0，c>d>0⇒>． ( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0． ( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]
3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc B．＜
C．a2＞b2 D．a3＞b3
D [取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D．]
4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A．]
5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]
不等式的性质及应用
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
B [由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，
∴－＞－，
∴＜，故选B．]
2．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A．－>0 B．sin x－sin y>0
C．－ <0 D．ln x＋ln y>0
C [函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时， <，即－ <0，故C正确；函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，由x>y>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0ln(xy)>0 ln x＋ln y＞0，故D错误．]
3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
A [因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A．]
4．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．
(－π，2π) [设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则
解得
从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，
又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]
[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法
(1)利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：
一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．
(2)比较大小常用的方法
①作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断，
②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，
③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量．
(3)由a0的解集为________．(用区间表示)
(1) (2)(－4,1) [(1)方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，则不等式2x2－x－3＞0的解集为.
(2)由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
►考法2 含参数的一元二次不等式
【例2】 (1)解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a＜0.
[解] 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，
当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)．
(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，
解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.
综上所述，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为.
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
(1)使一端为0且把二次项系数化为正数；
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；
(3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|20的解集是x
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