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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版理科第三章第2节第2课时利用导数研究函数的极值、最值学案

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第2课时 利用导数研究函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值(多维探究)‎ 命题角度1 已知函数求极值(点)‎ ‎【例1-1】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ 解 (1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.‎ 又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,‎ 得f′(1)=0,即1-=0,解得a=e.‎ ‎(2)f′(x)=1-,‎ ‎①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.‎ ‎②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=ln a,‎ 当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,‎ 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,‎ 在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.‎ 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;‎ 当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.‎ 命题角度2 已知极值(点),求参数的值或取值范围 ‎【例1-2】 已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).‎ ‎(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;‎ ‎(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,任意x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.‎ 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=a-=,‎ 当a≤0时,f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;‎ 当a>0时,由f′(x)<0得00得x>,‎ ‎∴f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.‎ ‎∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点,当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.‎ ‎(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,‎ ‎∴a=1,∴f(x)≥bx-2⇒1+-≥b,‎ 令g(x)=1+-,则g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+∞)上递增,‎ ‎∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-,即实数b的取值范围为.‎ 规律方法 函数极值的两类热点问题 ‎(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为:‎ ‎①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.‎ ‎(2)由函数极值求参数的值或范围.‎ 讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号.‎ ‎【训练1】 (2016·山东卷改编)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x(常数a>0).‎ ‎(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;‎ ‎(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)由f′(x)=ln x-2ax+2a,‎ 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).‎ 所以g′(x)=-2a=.‎ 又a>0,‎ 当x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,‎ 当x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.‎ ‎∴函数y=g(x)的单调增区间为,单调减区间为.‎ ‎(2)由(1)知,f′(1)=0.‎ ‎①当01,由(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x∈(0,1)时,‎ f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增.‎ 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.‎ ‎③当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ 所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.‎ 综上可知,实数a的取值范围为.‎ 考点二 利用导数研究函数的最值 ‎【例2】 (2018·山西三区八校模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值.‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.‎ 解 (1)因为f(x)=ln x+ax2+bx,所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+b,‎ 因为函数f(x)=ln x+ax2+bx在x=1处取得极值,‎ 所以f′(1)=1+2a+b=0,‎ 又a=1,所以b=-3,则f′(x)=,‎ 令f′(x)=0,得x1=,x2=1.‎ f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)由(1)知f′(x)==(x>0),‎ 令f′(x)=0,得x1=1,x2=,‎ 因为f(x)在x=1处取得极值,所以x2=≠x1=1,‎ 若<0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,‎ 所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1),令f(1)=1,解得a=-2,‎ 当a>0时,x2=>0,‎ 若<1时,f(x)在,[1,e]上单调递增,在上单调递减,所以最大值可能在x=或x=e处取得,而f =ln +a-(2a+1)=ln --1<0,‎ 所以f(e)=ln e+ae2-(2a+1)e=1,解得a=,‎ 若1<0.‎ ‎(1)记f(x)的极小值为g(a),求g(a)的最大值;‎ ‎(2)若对任意实数x,恒有f(x)≥0,求f(a)的最值范围.‎ 解 (1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.‎ 令f′(x)=0,得x=ln a,‎ 易知当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,‎ 所以函数f(x)在x=ln a处取极小值,g(a)=f(x)极小值=f(ln a)=eln a-aln a=a-aln a.‎ g′(a)=1-(1+ln a)=-ln a,‎ 当00,g(a)在(0,1)上单调递增;‎ 当a>1时,g′(a)<0,g(a)在(1,+∞)上单调递减.‎ 所以a=1是函数g(a)在(0,+∞)上的极大值点,也是最大值点,所以g(a)max=g(1)=1.‎ ‎(2)显然,当x≤0时,ex-ax≥0(a>0)恒成立.‎ 当x>0时,由f(x)≥0,即ex-ax≥0,得a≤.‎ 令h(x)=,x∈(0,+∞),‎ 则h′(x)==,‎ 当01时,h′(x)>0,‎ 故h(x)的最小值为h(1)=e,所以a≤e,‎ 故实数a的取值范围是(0,e].‎ f(a)=ea-a2,a∈(0,e],f′(a)=ea-2a,‎ 易知ea-2a≥0对a∈(0,e]恒成立,‎ 故f(a)在(0,e]上单调递增,所以f(0)=10).‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.‎ 解 (1)由f(x)=xln x(x>0),得f′(x)=1+ln x,‎ 令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得00),则g′(x)=,‎ 由g′(x)>0⇒x>1,由g′(x)<0⇒00,-22时,‎ f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.‎ 答案 D ‎2.函数f(x)=x2-ln x的最小值为(  )‎ A. B.1 C.0 D.不存在 解析 f′(x)=x-==,因为x>0,所以令f′(x)>0,得x>1.令f′(x)<0,得0-1‎ C.a>- D.a<- 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.‎ ‎∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,‎ 则方程y′=ex+a=0有大于零的解,‎ ‎∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.‎ 答案 A ‎5.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.‎ 令f′(x)=-a=0,得x=,‎ 当00;当x>时,f′(x)<0.‎ ‎∴f(x)max=f =-ln a-1=-1,解得a=1.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.(2017·新乡模拟)设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<20时,f′(x)=,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数单调递减,x ‎∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数单调递增,∴x=1时,函数取得极小值即最小值,为e-1,∴由已知条件得h(x)的最大值为1-e.‎ 答案 1-e ‎8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是________.‎ 解析 因为f(x)的定义域为(0,+∞),又因为f′(x)=4x-,所以由f′(x)=0解得x=,由题意得解得1≤k<.‎ 答案  三、解答题 ‎9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(a>0,r>0).‎ ‎(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.‎ 解 (1)由题意可知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).‎ f(x)==,‎ f′(x)==.‎ 所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0;‎ 当-r0.‎ 因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);‎ f(x)的单调递增区间为(-r,r).‎ ‎(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.‎ 因此,x=r是f(x)的极大值点,‎ 所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100,f(x)在(0,+∞)内无极小值;‎ 综上,f(x)在(0,+∞)内极大值为100,无极小值.‎ ‎10.设函数f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在上的最大值.‎ 解 (1)f′(x)=-2bx,‎ ‎∵函数f(x)在x=1处与直线y=-相切,‎ ‎∴解得 ‎(2)由(1)知,f(x)=ln x-x2,‎ f′(x)=-x=,‎ 当≤x≤e时,令f′(x)>0,得≤x<1,‎ 令f′(x)<0,得10),∴f′(x)=ln x+1-aex(x>0),由已知函数f(x)有两个极值点可得y=a和g(x)=在(0,+∞)上有两个交点,‎ g′(x)=(x>0),令h(x)=-ln x-1,‎ 则h′(x)=--<0,‎ ‎∴h(x)在(0,+∞)上单调递减且h(1)=0,‎ ‎∴当x∈(0,1]时,h(x)≥0,即g′(x)≥0,g(x)在(0,1]上单调递增,g(x)≤g(1)=,‎ 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,‎ 故g(x)max=g(1)=,‎ 而x→0时,g(x)→-∞,x→+∞时,g(x)→0;‎ 若y=a和g(x)在(0,+∞)上有两个交点,只需00时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在(0,+∞)上存在极值点,且极值大于ln 4+2,求a的取值范围.‎ 解 (1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),‎ 而f′(x)=ex+,‎ 当a>0时,f′(x)>0,‎ 故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递减区间.‎ ‎(2)当a≥0时,由(1)知f′(x)>0,f(x)无极值点;‎ 当a<0时,令g(x)=f′(x)=ex+,‎ 则g′(x)=ex-.‎ g′(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立,‎ 故g(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.‎ 当01时,ex∈(e,+∞),∈(a,0),-∈(0,-a),‎ 故在(1,+∞)上存在实数t,使得et>-a>-,‎ 从而在(0,+∞)上存在实数t使得g(t)>0.‎ 因此g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,设为x0.‎ 于是当x∈(0,x0)时,f′(x)=g(x)<0,x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,‎ 从而f(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点,‎ 且极值f(x0)=ex0-.‎ 由g(x0)=0知a=-xex0,‎ 因此f(x0)=ex0-=(x0+1)ex0,‎ 令φ(x)=(x+1)ex,则φ′(x)=(x+2)ex,‎ 故φ(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 而f(x0)=(x0+1)ex0>ln 4+2=2(ln 2+1)‎ ‎=(ln 2+1)eln 2,‎ 所以x0>ln 2.‎ 令ω(x)=-x2ex,则ω′(x)=-(x2+2x)ex,‎ 故x0>ln 2时,ω′(x)=-(x2+2x)ex<0,‎ ω(x)=-x2ex单调递减.‎ 从而a<-(ln 2)2eln 2=-2(ln 2)2,‎ 故所求a的取值范围是(-∞,-2(ln 2)2).‎