• 189.50 KB
  • 2021-07-01 发布

2020年高中数学第三章空间向量的正交分解及其坐标表示

  • 7页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎3.1.4‎‎ 空间向量的正交分解及其坐标表示 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组 基础巩固]‎ ‎1.下列说法中正确的是(  )‎ A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}的基向量对应相等 解析:只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底,基底不唯一,因此A,B,D均不正确,C正确,故选C. ‎ 答案:C ‎2.O,A,B,C为空间四个点,又{,,}为空间的一个基底,则(  )‎ A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C四点不共面 解析:由于{,,}为空间的一个基底,‎ 所以,,不共面,‎ 因此,O,A,B,C四点一定不共面,故选D.‎ 答案:D ‎3.如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在上,且=2,N为BC的中点,=xa+yb+zc,则x,y,z分别为(  )‎ A.,-, B.-,, C.,,- D.,,- 解析:=++ ‎=+(-)+ ‎=+(-)+(-)‎ 6‎ ‎=-++,‎ ‎∴x=-,y=,z=,‎ 故选B.‎ 答案:B ‎4.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(  )‎ A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量-的坐标相同 解析:因为A点不一定为坐标原点,‎ 所以A不正确;B,C都不正确;‎ 由于=-,‎ 所以D正确,故选D.‎ 答案:D ‎5.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:B(1,1,0),E(1,,1),‎ ‎∴=(1,,1)-(1,1,0)‎ ‎=(0,-,1).‎ 答案:C ‎6.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=________,‎ 6‎ y=________.‎ 解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有 解得 答案:1 -1‎ ‎7.正方体ABCDA1B‎1C1D1中,点E,F分别是底面A‎1C1和侧面CD1的中点,若+λ=0(λ∈R),则λ=________.‎ 解析:如图,连接A‎1C1,C1D,则E在A‎1C1上,F在C1D上易知EF綊A1D,‎ ‎∴=,‎ 即-=0,‎ ‎∴λ=-.‎ 答案:- ‎8.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,‎ m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为________.‎ 解析:∵A,B,C三点共线,‎ ‎∴存在实数k,使=k,即-=k(-),‎ 即-(k+1)+k=0,∴1-(k+1)+k=0,‎ 故λ+m+n=0.‎ 答案:0‎ ‎9.若{a,b,c}是空间的一个基底,判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底.‎ 解析:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a),‎ ‎∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c.‎ ‎∵{a,b,c}为基底,‎ ‎∴a,b,c不共面,∴此方程组无解.‎ ‎∴a+b,b+c,c+a不共面.‎ ‎∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间一个基底.‎ 6‎ ‎10.棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F,G分别为棱DD1,D‎1C1,BC的中点,以{,,}为基底,求下列向量的坐标:‎ ‎(1),,;‎ ‎(2),,.‎ 解析:(1)=+=+ ‎=+=,‎ =+=+=,‎ =++=++=.‎ ‎(2)=-=(++)-=+=.‎ =-=- ‎=--=,‎ =-=+- ‎=-=.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,且a=-2i+2j-2k,‎ b=i+4j-6k,c=xi-8j+8k,若向量a,b,c共面,则向量c的坐标为(  )‎ A.(8,-8,8) B.(-8,8,8)‎ C.(-8,-8,-8) D.(-8,8,-8)‎ 解析:∵a,b,c共面,∴可设c=λa+μb,故 ‎∴xi-8j+8k=λ(-2i+2j-2k)+μ(i+4j-6k),‎ 由此可得 解得x=8.‎ 故向量c的坐标为(8,-8,8).‎ 答案:A ‎2.如图,在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=‎ 6‎ a,=b,=c,则=(  )‎ A.a+b-c B.-a+b-c C.a-b-c D.-a-b+c 解析:=- ‎=(+)-(+)‎ ‎=-+- ‎=-a+b-c.‎ 答案:B ‎3.如图,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,用,,作为基向量,则=________.‎ 解析:2=2+2+2 ‎=(+)+(+)+(+)‎ ‎=++,‎ ‎∴=(++).‎ 答案:(++)‎ ‎4.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=________.‎ 解析:∵=++,‎ 又=x+2y+3z,‎ ‎∴x=1,2y=1,3z=1,‎ 即x=1,y=,z=,‎ 6‎ 故x+y+z=1++=.‎ 答案: ‎5.在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.‎ ‎ (1)用向量a,b,c表示,;‎ ‎(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.‎ 解析:(1)如图,=+=-+-=a-b-c,‎ =+=+=-(+)+(+)=(a-c).‎ ‎(2)=(+)‎ ‎=(-+-)‎ ‎=(-+--)‎ ‎=(a-c-b-c)‎ ‎=a-b-c,‎ ‎∴x=,y=-,z=-1.‎ ‎6.已知正四面体ABCD棱长为a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.‎ 解析:过点A作AG垂直于平面BCD,‎ 由于AB=AC=AD,‎ 所以点G为△BCD的中心,‎ 过点G作GF∥CD,E为CD的中点,‎ 以G为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为△BCD的边长为a,则BE=a,GE=a,‎ 又=,所以GF=×a=a,‎ 又BG=a,所以AG==a,‎ 6‎ 所以A,B,C,D.‎ 6‎