高中数学第二章平面解析几何2-6-1双曲线的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册 43页

2 . 6 . 1 　 双曲线的标准方程 核心 素养 1 . 结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 . ( 逻辑推理、数学抽象 ) 2 . 掌握双曲线的标准方程及其求法 . ( 数学运算 ) 3 . 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题 . ( 数学运算 ) 4 . 与椭圆的标准方程进行比较 , 并加以区分 . ( 逻辑推理 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 如图 ① 所示 , 取一条拉链 , 拉开它的一部分 , 在拉开的两边上各选择一点 , 分别固定在点 F 1 , F 2 上 , 把笔尖放在点 M 处 , 随着拉链逐渐拉开或者闭拢 , 笔尖所经过的点就画出一条曲线 , 这就是双曲线的一支 . 把两个固定点的位置交换 , 如图 ② 所示 , 类似可以画出双曲线的另一支 . 这两条曲线合起来叫做双曲线 . 双曲线上的点到两定点 F 1 , F 2 的距离有何特点 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 双曲线的 定义 激趣诱思 知识点拨 名师点析 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉 , 则点 P 的轨迹为双曲线的一支 , 具体是哪一支 , 取决于 |PF 1 | 与 |PF 2 | 的大小 . (1) 若 |PF 1 |>|PF 2 | , 则 |PF 1 |-|PF 2 |> 0, 点 P 的轨迹是靠近定点 F 2 的那一支 ; (2) 若 |PF 1 |<|PF 2 | , 则 |PF 2 |-|PF 1 |> 0, 点 P 的轨迹是靠近定点 F 1 的那一支 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 在双曲线的定义中 , 若去掉条件 0 < 2 a<|F 1 F 2 | , 则点的轨迹是怎样的 ? 提示 : ① 当 2 a 等于 |F 1 F 2 | 时 , 动点的轨迹是以 F 1 , F 2 为端点的两条方向相反的射线 ( 包括端点 ) . ② 当 2 a 大于 |F 1 F 2 | 时 , 动点的轨迹不存在 . ③ 当 2 a 等于零时 , 动点轨迹为线段 F 1 F 2 的垂直平分线 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 平面内到两定点的距离的差等于常数 ( 小于两定点间距离 ) 的点的轨迹是双曲线 . ( 　　 ) (2) 平面内到点 F 1 (0,4), F 2 (0, - 4) 的距离之差等于 5 的点的轨迹是双曲线 . ( 　　 ) (3) 平面内到点 F 1 (0,4), F 2 (0, - 4) 的距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3)× 激趣诱思 知识点拨 2 . 双曲线的标准 方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 ( a>0,b>0) ( a>0,b>0) 焦点 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) F 1 (0,-c),F 2 (0,c) a,b,c 的 关系 b 2 =c 2 -a 2 激趣诱思 知识点拨 名师点析 双曲线与椭圆的 比较   椭圆 双曲线 定义 |MF 1 |+|MF 2 |=2a (2a>|F 1 F 2 |) ||MF 1 |-|MF 2 ||=2a (0<2a<|F 1 F 2 |) a,b,c 的 关系 b 2 =a 2 -c 2 b 2 =c 2 -a 2 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 激趣诱思 知识点拨 微 练习 激趣诱思 知识点拨 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 微思考 在双曲线的标准方程中 , 怎样判断焦点在哪条坐标轴上 ? 提示 : 如果含 x 2 项的系数是正的 , 那么焦点在 x 轴上 ; 如果含 y 2 项的系数是正的 , 那么焦点在 y 轴上 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求双曲线的标准方程 例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 . ( 2) 可设双曲线方程为 mx 2 -ny 2 = 1, 代入点的坐标 , 得到方程组 , 解方程组即可得到 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似 , 可以先根据其焦点位置设出标准方程 , 然后用待定系数法求出 a , b 的值 . 若焦点位置不确定 , 可按焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论求解 , 此方法思路清晰 , 但过程复杂 . 若双曲线过两定点 , 可设其方程为 mx 2 +ny 2 = 1( mn< 0), 通过解方程组即可确定 m , n , 避免了讨论 , 从而简化求解过程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 根据下列条件 , 求双曲线的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线定义的应用 例 2 已知 双曲线 - y 2 = 1 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , P 为双曲线右支上一点 , 点 Q 的坐标为 ( - 2,3), 则 |PQ|+|PF 1 | 的最小值为 　　　　　 .   分析 由双曲线方程求出 a 及 c 的值 , 利用双曲线定义把 |PQ|+|PF 1 | 转化为 |PQ|+|PF 2 |+ 2 a , 连接 QF 2 交双曲线右支于 P , 则此时 |PQ|+|PF 2 | 最小等于 |QF 2 | , 由两点间的距离公式求出 |QF 2 | , 则 |PQ|+|PF 1 | 的最小值可求 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16, 求点 M 到另一个焦点的距离 ; (2) 如图 , 若 P 是双曲线左支上的点 , 且 |PF 1 | · |PF 2 |= 32, 试求 △ F 1 PF 2 的面积 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 由双曲线的定义得 ||MF 1 |-|MF 2 ||= 2 a= 6, 又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16, 假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x , 则 | 16 -x|= 6, 解得 x= 10 或 x= 22 . 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 将 |PF 2 |-|PF 1 |= 2 a= 6 两边平方得 |PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 - 2 |PF 1 | · |PF 2 |= 36, 则 |PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 = 36 + 2 |PF 1 | · |PF 2 |= 36 + 2×32 = 100 . 在 △ F 1 PF 2 中 , 由余弦定理得 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略 (1) 数形结合 利用双曲线的定义 , 弄清 |PF 1 | , |PF 2 | , |F 1 F 2 | 三者之间满足的关系式 , 一般常用到三角变换和解三角形的知识 , 如例 3(2) 中进行面积的讨论中 , 就用到了余弦定理、面积公式等知识 . (2) 化归思想 将原问题等价转化为易解决的问题 , 在双曲线中 , 尤其要注意特殊图形的性质和双曲线的定义 , 如例 2 中将 |PQ|+|PF 1 | 进行等价转化是问题的核心 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 求解与双曲线有关的点的轨迹问题 , 常见的方法有两种 : (1) 列出等量关系 , 化简得到方程 ; (2) 寻找几何关系 , 由双曲线的定义 , 得出对应的方程 . 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意 : (1) 双曲线的焦点所在的坐标轴 ; (2) 检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 将例 3 中的条件 “ |PF 1 | · |PF 2 |= 32” 改为 “ ∠ F 1 PF 2 = 60 ° ”, 求 △ F 1 PF 2 的面积 . 由 双曲线的定义和余弦定理得 |PF 2 |-|PF 1 |= 6, |F 1 F 2 | 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 - 2 |PF 1 ||PF 2 | cos 60 ° , 所以 10 2 = ( |PF 1 |-|PF 2 | ) 2 +|PF 1 | · |PF 2 | , 所以 |PF 1 | · |PF 2 |= 64 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 一动圆 P 过定点 M ( - 4,0), 且与已知圆 N :( x- 4) 2 +y 2 = 16 相切 , 则动圆圆心 P 的轨迹方程是 ( 　　 ) ( 2) 已知双曲线 x 2 -y 2 = 1, F 1 , F 2 分别为其左、右两个焦点 , P 为双曲线上一点 , 若 PF 1 ⊥ PF 2 , 则 |PF 1 |+|PF 2 | 的值为 　　　　　 .   解析 : (1) 动圆圆心为 P , 半径为 r , 已知圆圆心为 N , 半径为 4 . 由题意知 , |PM|=r , |PN|=r+ 4 或 r- 4, 所以 ||PN|-|PM||= 4, 即动点 P 到两定点的距离之差的绝对值为常数 4, P 在以 M , N 为焦点的双曲线上 , 且 2 a= 4,2 c= 8 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 不妨设点 P 在双曲线的右支上 , 因为 PF 1 ⊥ PF 2 , 所以 |F 1 F 2 | 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 = ( 2 ) 2 , 又 |PF 1 |-|PF 2 |= 2, 所以 ( |PF 1 |-|PF 2 | ) 2 = 4, 可得 2 |PF 1 | · |PF 2 |= 4, 则 ( |PF 1 |+|PF 2 | ) 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 + 2 |PF 1 | · |PF 2 |= 12, 所以 |PF 1 |+|PF 2 |= 2 . 答案 : (1)C 　 ( 2)2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线在生活中的应用 例 4 “ 神舟 ” 九号飞船返回舱顺利到达地球后 , 为了及时将航天员安全救出 , 地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心 ( 记 A , B , C ), A 在 B 的正东方向 , 相距 6 千米 , C 在 B 的北偏西 30 °方向 , 相距 4 千米 , P 为航天员着陆点 . 某一时刻 , A 接收到 P 的求救信号 , 由于 B , C 两地比 A 距 P 远 , 在此 4 秒后 , B , C 两个救援中心才同时接收到这一信号 . 已知该信号的传播速度为 1 千米 / 秒 , 求在 A 处发现 P 的方位角 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 因为 |PC|=|PB | , 所以 P 在线段 BC 的垂直平分线上 . 又因为 |PB|-|PA|= 4 < 6 =|AB| , 所以 P 在以 A , B 为焦点的双曲线的右支上 . 以线段 AB 的中点为坐标原点 , AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴 , 正东方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系 , 如图所示 . 则 A (3,0), B ( - 3,0), C ( - 5,2 ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下 : (1) 建立适当的坐标系 ; (2) 求出双曲线的标准方程 ; (3) 根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题 . 2 . 注意事项 : (1) 解答与双曲线有关的应用问题时 , 除要准确把握题意 , 了解一些实际问题的相关概念 , 同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用 . (2) 实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 一块面积为 12 公顷的三角形形状的农场 . 如图所示 △ PEF , 已知 tan ∠ PEF = , tan ∠ PFE=- 2, 试建立适当直角坐标系 , 求出分别以 E , F 为左、右焦点且过点 P 的双曲线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 以 E , F 所在直线为 x 轴 , EF 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 , 如图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因忽略双曲线方程中含有的字母的符号而致错 案例 已知双曲线 8 kx 2 -ky 2 = 8 的一个焦点为 (0,3), 求 k 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知两定点 F 1 ( - 5,0), F 2 (5,0), 动点 P 满足 |PF 1 |-|PF 2 |= 2 a , 则当 a= 3 和 5 时 , P 点的轨迹为 ( 　　 ) A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和一条射线 C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线 解析 : 当 a= 3 时 , 根据双曲线的定义及 |PF 1 |>|PF 2 | 可推断出其轨迹是双曲线的一支 . 当 a= 5 时 , 方程 y 2 = 0, 可知其轨迹与 x 轴重合 , 舍去在 x 轴负半轴上的一段 , 又因为 |PF 1 |-|PF 2 |= 2 a , 说明 |PF 1 |>|PF 2 | , 所以应该是起点为 (5,0), 与 x 轴重合向 x 轴正方向延伸的射线 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知 双曲线 ( a> 0, b> 0), F 1 , F 2 为其两个焦点 , 若过焦点 F 1 的直线与双曲线的同一支相交 , 且所得弦长 |AB|=m , 则 △ ABF 2 的周长为 ( 　　 ) A.4 a B.4 a-m C.4 a+ 2 m D.4 a- 2 m 解析 : 不妨设 |AF 2 |>|AF 1 | , 由双曲线的定义 , 知 |AF 2 |-|AF 1 |= 2 a , |BF 2 |-|BF 1 |= 2 a , 所以 |AF 2 |+|BF 2 |= ( |AF 1 |+|BF 1 | ) + 4 a=m+ 4 a , 于是 △ ABF 2 的周长 l=|AF 2 |+|BF 2 |+|AB|= 4 a+ 2 m. 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A.( - 1, +∞ ) B .(2, +∞ ) C.( -∞ , - 1) ∪ (2, +∞ ) D.( - 1,2) 解 得 - 1