【数学】2019届理科一轮复习北师大版第10章第3节二项式定理教案 7页

第三节　二项式定理 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ ‎(对应学生用书第173页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)‎ 二项展开式的通项公式 ‎ Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)0≤r≤n时，C与C的关系是.‎ ‎(2)二项式系数先增大后减中间项最大 当n为偶数时，第－1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和.‎ ‎(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，‎ C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎[知识拓展]　二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项押次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．应为第k＋1项．‎ ‎(2)错误．当a，b中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项．‎ ‎(3)正确．二项式系数只与n和项数有关．‎ ‎(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)二项式的展开式中，常数项的值是(　　)‎ A．240　　　　　　 B．60‎ C．192 D．180‎ A　[二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C＝16×＝240.]‎ ‎3．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(　　)‎ A．180 B．－180‎ C．45 D．－45‎ A　[由题意得a8＝C22(－1)8＝180.]‎ ‎4．(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.‎ ‎4　[(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意得9C＝54，解得n＝4.]‎ ‎5．在的展开式中，x2的系数是________，各项系数之和为________．(用数字作答)‎ ‎10　243　[x2的系数为C×2＝10；令x＝1，得各项系数之和为(1＋2)5＝243.]‎ ‎(对应学生用书第173页)‎ 二项展开式中的特定项或特定项的系数 ‎◎角度1　求展开式中的某一项 ‎　(2018·合肥二测)在的展开式中，常数项为________．‎ ‎－5　[由题知，二项式展开式为C·(－1)0＋C·(－1)＋‎ C·(－1)2＋C·(－1)3＋C·(－1)4，则常数项为C·C－C·C＋C＝6－12＋1＝－5.]‎ ‎◎角度2　求展开式中的项的系数或二项式系数 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15　　　　　　 B．20‎ C．30 D．35‎ C　[对于(1＋x)6，若要得到x2项，可以在中选取1，此时(1＋x)6中要选取含x2的项，则系数为C；当在中选取时，(1＋x)6中要选取含x4的项，即系数为C，所以，展开式中x2项的系数为C＋C＝30，故选C.]‎ ‎◎角度3　由已知条件求n的值或参数的值 ‎　(2018·云南二检)在(－2－1x)n的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n＝(　　)‎ A．9 B．8‎ C．7 D．6‎ B　[由题意，得C＝－7，解得n＝8，故选B.]‎ ‎[规律方法]　求二项展开式中的特定项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n).‎ (1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；‎ (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；‎ (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.‎ 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.‎ (4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40‎ C．40 D．80‎ ‎(2)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　) ‎ ‎【导学号：79140347】‎ A．－7 B．7‎ C．－28 D．28‎ ‎(3)(2018·西宁检测(一))若的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则a的值为________．‎ ‎(1)C　(2)B　(3)－4或2　[(1)因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.‎ 故选C.‎ ‎(2)由题意知＋1＝5，解得n＝8，的展开式的通项Tk＋1＝C ＝(－1)k2k－8Cx.‎ 令8－＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.‎ ‎(3)由二项式系数和为64得2n＝64，解得n＝6.令x＝1，得所有项的系数和为(1＋a)6＝729，解得a＝2或a＝－4.]‎ 二项式系数的和或各项系数和 ‎　(1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212　　 B．211　　　　C．210　　　　D．29‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ ‎(1)D　(2)3　[(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，‎ ‎∴C＝C，解得n＝10.‎ 从而C＋C＋C＋…＋C＝210，‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.‎ 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]‎ ‎[规律方法]　赋值法的应用 ‎(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则 ‎(a＋bx)n展开式中各项的系数的和为g(1)，‎ ‎(a＋bx)n展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，‎ ‎(a＋bx)n展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·合肥一检)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5‎ 项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6展开式所有项系数之和为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．32 D．64‎ ‎(2)(2018·杭州质检)若的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝________；展开式中的常数项是________．‎ ‎(1)D　(2)6　240　[(1)由题意可得 解得或则(ax＋b)6＝(x－3)6，令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D.‎ ‎(2)由的展开式中所有二次项系数和为64，得2n＝64，n＝6，则展开式第r＋1项是Tr＋1＝C(2x)6－r＝C·26－r×(－1)rx6－3r，当r＝2时为常数项，则常数项是C×24×(－1)2＝15×16＝240.]‎ 二项式定理的应用 ‎　(1)(2017·豫东名校模拟)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)‎ A．i B．－i ‎ C．－1＋i D．－1－i ‎(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．11 D．12‎ ‎(1)C　(2)D　[(1)x＝＝－1＋i，‎ Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017‎ ‎＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.‎ ‎(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝‎ C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011＋‎ C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C·52·(－1)2 011能被13整除．‎ 且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．‎ 因此a可取值12.]‎ ‎[规律方法]　1.逆用二项式定理的关键 根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.‎ ‎2.利用二项式定理解决整除问题的思路 (1)观察除式与被除式间的关系.‎ (2)将被除式拆成二项式.‎ (3)余数是非负整数. ‎ (4)结合二项式定理得出结论.‎ ‎[跟踪训练]　1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) ‎ ‎【导学号：79140348】‎ ‎1.172　[1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.]‎