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  • 2021-07-01 发布

江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题

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南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷 数 学 注意事项及说明:本卷考试时间为120分钟,全卷满分为150分.‎ 公式:球体积,随机变量的方差 一、单项选择题:(本题共8小题.每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎1.设,,则=‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若,则z=‎ A.1–i B.1+i C.–i D.i ‎3.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有 A.24 B.36 ‎ C.48 D.64‎ ‎4.如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AB=2BB1,P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为( )‎ A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎5甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投2次,则两人投中次数不等的概率是( )‎ A. 0.6076 B. 0.7516 C. 0.3924 D. 0.2484‎ ‎6.是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎7.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位:天)的Logisic模型:,其中为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为()( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设函数的导函数为,若是奇函数,则曲线在点处切线的斜率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ 二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎9.为了对变量与的线性相关性进行检验,由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为,那么下面说法中错误的有( )‎ A. 若所有样本点都直线上,则 B. 若所有样本点都在直线上,则 C. 若越大,则变量与的线性相关性越强 D. 若越小,则变量与的线性相关性越强 ‎10. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则(  )‎ A. 渐近线方程为y=±x B. 渐近线方程为y=±x C. ∠MAN=60° D. ∠MAN=120°‎ ‎11.已知函数的图象的一个最高点为,与之相邻的一个对称中心为,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则( )‎ A.为偶函数 B.的一个单调递增区间为 C.为奇函数 D.在上只有一个零点 ‎ ‎ ‎12.若,,则下面有几个结论正确的有( )‎ A. 若,,则 B. ‎ C. 若,则 D. 若,则 三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.以此类推,假设n个月后共有老鼠只,则_____.‎ ‎14.函数且的图象恒过定点A,若点A在直线上(其中m,n>0),则的最小值等于__________.‎ ‎15.已知椭圆的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆相切,则圆O的半径为___________‎ ‎16.棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三楼锥E—BCD的体积为_______,该正三棱锥内切球的半径为_______.‎ 四、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎17.在①,②,③三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.‎ 已知的内角,,所对的边分别是,,,若______,且,,成等差数列,则是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由,‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎18记是正项数列的前项和,是和的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和.‎ ‎19.根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》,为提高学生审美素养,提升学生的综合素质,江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度,将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度,某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试,并将问卷得分绘制频数分布表如下:‎ 得分 ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 男性人数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ 女性人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎(1)将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关?‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎(2)以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长,设这3名家长中“比较了解”的人数为,求的概率分布和数学期望.‎ 附:,.‎ 临界值表:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程;‎ ‎(2)当时,求函数在上的最大值.‎ ‎22.已知点在椭圆:上,是椭圆的一个焦点。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆C上不与点重合的两点,关于原点O对称,直线,分别交轴 于,两点。求证:以为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎ 南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷(答案)‎ 数 学 一、单项选择题:(本题共8小题.每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎1.设,,则=‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎2.若,则z=‎ A.1–i B.1+i C.–i D.i ‎【答案】D ‎3.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有 A.24 B.36 ‎ C.48 D.64‎ ‎【答案】B ‎4.如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AB=2BB1,P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为( )‎ A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎5甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投2次,则两人投中次数不等的概率是( )‎ A. 0.6076 B. 0.7516 C. 0.3924 D. 0.2484‎ ‎【答案】A ‎6.是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎7.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位:天)的Logisic模型:,其中为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为()( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎8.设函数的导函数为,若是奇函数,则曲线在点处切线的斜率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】D 二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎9.为了对变量与的线性相关性进行检验,由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为,那么下面说法中错误的有( )‎ A. 若所有样本点都直线上,则 B. 若所有样本点都在直线上,则 C. 若越大,则变量与的线性相关性越强 D. 若越小,则变量与的线性相关性越强 ‎【答案】ABD ‎10. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则(  )‎ A. 渐近线方程为y=±x B. 渐近线方程为y=±x C. ∠MAN=60° D. ∠MAN=120°‎ ‎【答案】BC ‎ ‎11.已知函数的图象的一个最高点为,与之相邻的一个对称中心为,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则( )‎ A.为偶函数 B.的一个单调递增区间为 C.为奇函数 D.在上只有一个零点 ‎【答案】BD ‎ ‎12.若,,则下面有几个结论正确的有( )‎ A. 若,,则 B. ‎ C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】BCD 三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.以此类推,假设n个月后共有老鼠只,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎14.函数且的图象恒过定点A,若点A在直线上(其中m,n>0),则的最小值等于__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎15.已知椭圆的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆相切,则圆O的半径为___________‎ ‎【答案】1‎ ‎16.棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上,则正三楼锥E—BCD的体积为_______,该正三棱锥内切球的半径为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ 四、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.)‎ ‎17.在①,②,③三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.‎ 已知的内角,,所对的边分别是,,,若______,且,,成等差数列,则是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由,‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎【解析】选①‎ ‎∵,∴,‎ 即,解得(舍去)或.‎ ‎∵∴或,又∵,,成等差数列,∴,∴不是三角形中最大的边,即,由,得,即,‎ 故是等边三角形.‎ 选②‎ 由正弦定理可得,‎ 故.整理得.‎ ‎∵,∴.即.∵.∴.‎ 又∵,,成等差数列.∴.由余弦定理.可得,即.故是等边三角形.‎ 选③‎ 由正弦定理得,∵,∴.‎ 即,∵,∴,即,可得.‎ 由余弦定理.可得,即.故是等边三角形.‎ ‎18记是正项数列的前项和,是和的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)因为是和的等比中项,‎ 所以①,当时,②,‎ 由①②得:,‎ 化简得,即或者(舍去),‎ 故,数列为等差数列,‎ 因为,解得,‎ 所以数列是首项为、公差为的等差数列,.‎ ‎(2)因为,‎ 所以.‎ ‎19.根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》,为提高学生审美素养,提升学生的综合素质,江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度,将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度,某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试,并将问卷得分绘制频数分布表如下:‎ 得分 ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 男性人数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ 女性人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎(1)将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关?‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎(2)以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长,设这3名家长中“比较了解”的人数为,求的概率分布和数学期望.‎ 附:,.‎ 临界值表:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解析】(1)由题意得列联表如下:‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 ‎25‎ ‎33‎ ‎58‎ 女性 ‎5‎ ‎37‎ ‎42‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 的观测值 因为11.29>10.828,‎ 所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关.‎ ‎(2)由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为,‎ ‎,,,‎ 即的概率分布如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎20.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,‎ ‎∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC,又DC∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,‎ ‎∵DC∥EB,DC=EB,∴四边形DCBE是平行四边形,∴DE∥BC,∴DE⊥平面ACD,‎ 又DE⊂平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE.‎ ‎(2)当C点为半圆的中点时,AC=BC=2,‎ 以C为原点,以CA,CB,CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示:‎ 则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0),‎ ‎∴(﹣2,2,0),(0,0,1),(0,2,0),(2,0,﹣1),‎ 设平面DAE的法向量为(x1,y1,z1),平面ABE的法向量为(x2,y2,z2),‎ 则,,即,,‎ 令x1=1得(1,0,2),令x2=1得(1,1,0).‎ ‎∴cos.‎ ‎∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角,‎ ‎∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程;‎ ‎(2)当时,求函数在上的最大值.‎ ‎【解析】(1)设切点坐标为,当时,,‎ 则 所以切线方程为,‎ 又过原点(0,0),所以,‎ ‎,解得或,‎ 当时,切线方程为﹔‎ 当时,切线方程为.‎ ‎(2)因,‎ 所以,‎ 令,得,,‎ i)当,即时,在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以.‎ 因,‎ ‎,‎ 所以,所以.‎ ⅱ)当,即时,在上单调递增,在上单调递减,‎ 在上单调递增,所以.‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ 综上可得:.‎ ‎22.已知点在椭圆:上,是椭圆的一个焦点。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)椭圆C上不与点重合的两点,关于原点O对称,直线,分别交轴 于,两点。求证:以为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎ ‎【解析】(1)依题意,椭圆的另一个焦点为,且。‎ 因为,所以,, ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎(2)证明:由题意可知,两点与点P不重合.‎ 因为,两点关于原点对称,所以设,,‎ 设以MN为直径的圆与直线交于两点,‎ 所以 直线:。当时,,所以。‎ 直线:。当时,,所以。‎ 所以,, ‎ 因为,所以, 所以 因为,即,, 所以,所以,‎ 所以,, 所以。‎ 所以以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎