【数学】2018届一轮复习北师大版坐标系与参数方程教案 12页

第1讲　坐标系与参数方程 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　极坐标方程及其应用 共研典例　类题通法 ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M(a，)，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过点M(b，)且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化方法 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎ (2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎【解】　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程的一般思路 曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．‎ ‎(2)解决极坐标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎2．(2016·唐山模拟)在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ ‎[解] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎3．(1)(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ ‎(2)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程．‎ ‎[解] (1)由2ρsin＝，得2ρ＝，所以y－x＝1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝＝.即点A到直线l的距离为.‎ ‎(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2中，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r.‎ 所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　参数方程及其应用 共研典例　类题通法 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心为(0，0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆 中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 其中φ是参数．‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t为参数．‎ ‎ (2016·长沙模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎【解】　(1)曲线C的普通方程：(x－1)2＋(y－2)2＝16，‎ 直线l的参数方程：(t为参数)．‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，‎ 设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，‎ 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.‎ 参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用 ‎(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2016·呼和浩特模拟)过点P(－1，0)作倾斜角为α的直线，与曲线＋＝1相交于M，N两点．‎ ‎(1)写出直线MN的参数方程；‎ ‎(2)求|PM|·|PN|的最小值．‎ ‎[解] (1)因为直线MN过点P(－1，0)，且倾斜角为α，‎ 所以直线MN的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将直线MN的参数方程代入曲线＋＝1中得，‎ ‎2(－1＋tcos α)2＋3(tsin α)2＝6，整理得，‎ ‎(3－cos2α)t2－4cos α·t－4＝0，‎ Δ＝16 cos2α－4×(－4)×(3－cos2α)＝48＞0.‎ 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝，‎ 所以当cos α＝0时，|PM|·|PN|取得最小值.‎ ‎2．已知直线C1：(t为参数)，圆C2： ‎(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎[解] (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，‎ C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程组 解得C1与C2的交点坐标为(1，0)，.‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)，‎ P点轨迹的普通方程为＋y2＝.‎ 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．‎ ‎3．(2016·洛阳统考)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ 为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．‎ ‎[解] (1)由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入上面方程，‎ 得x2＋y2＝2x，‎ 即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)|MC2|min－1≤|MN|≤|MC2|max＋1.‎ ‎|MC2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin2φ＝7cos2φ－8cos φ＋10，‎ 当cos φ＝－1时，|MC2|＝25，|MC2|max＝5；当cos φ＝时，‎ ‎|MC2|＝，|MC2|min＝.‎ 所以－1≤|MN|≤5＋1，‎ 即|MN|的取值范围是.‎ ‎　　　　　　　　　　　极坐标方程与参数方程的综合应用 共研典例　类题通法 对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解，这样思路会更加清晰．‎ ‎ (2016·河南六市联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎【解】　(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得 ρ2sin2θ＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.‎ 由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝8，t1t2＝7，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，‎ 因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，‎ 所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.‎ 解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点 ‎(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．(2016·郑州市第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．‎ ‎[解] (1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，‎ 即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，‎ 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，‎ 所以t1t2＝m2－2m，‎ 由题意得|m2－2m|＝1，‎ 解得m＝1或m＝1＋或m＝1－.‎ ‎2．(2016·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ ‎[解] (1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin(θ－)＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎ ‎3．(2016·郑州质检)在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin ＝t(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．‎ ‎[解] (1)由x＝cos α＋sin α得x2＝(cos α＋sin α)2‎ ‎＝2cos2α＋2sin αcos α＋1，‎ 所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－2，2]，‎ 由ρsin＝t得ρsin θ＋ρcos θ＝t，‎ 所以ρsin θ＋ρcos θ＝t，‎ 所以曲线N可化为x＋y＝t.‎ ‎(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2，3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，‎ 联立 得x2＋x－1－t＝0，‎ 由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，‎ 解得t＝－.‎ 综上可求得t的取值范围是－≤t≤5.‎ 课时作业 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－)(a>0)．‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ ‎[解] (1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，联立，‎ 解得或(舍去)，‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为(，)．‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．‎ 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.‎ ‎2．(2016·山西高三考前质量检测)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎[解] (1)C1：ρsin(θ＋)＝，C2：ρ2＝.‎ ‎(2)因为M(，0)，N(0，1)，所以P，‎ 所以OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ 所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎3．(2016·贵阳市监测考试)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．‎ ‎[解] (1)证明：依题意|OA|＝4cos φ，|OB|＝4cos ，|OC|＝4cos ，则|OB|＋|OC|＝4cos ＋4cos ＝2(cos φ－sin φ)＋2(cos φ＋sin φ)＝4cos φ＝|OA|.‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为B(1，)、C(3，－)，所以经过点B、C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m，0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.‎ ‎4．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ ‎[解] (1)由题意可得C2：＋y2＝1，l：(t为参数)．‎ ‎(2)将代入＋y2＝1，整理得5t2＋4t－4＝0.‎ 设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，‎ 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2，又|AB|＝2|OA|cos 30°＝，‎ 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.‎ ‎5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ ‎[解] (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)设z＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得 ‎(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.‎ 将代入z＝x＋y，得z＝－t，‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2，2]．‎ ‎6．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若α∈，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得：‎ ‎()2＝ρ2＋()2－2ρ××cos，‎ 整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.‎ ‎(2)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－1＝0.‎ 将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：‎ ‎(2＋tcos α)2＋(2＋tsin α)2－2(2＋tcos α)－2(2＋tsin α)－1＝0，‎ 整理得t2＋(2cos α＋2sin α)t－1＝0，‎ 设t1，t2为该方程的两根，‎ 所以t1＋t2＝－2cos α－2sin α，t1·t2＝－1，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝，‎ 因为α∈，‎ 所以2α∈，‎ 所以|AB|∈[2，2)．‎