【数学】2019届一轮复习苏教版计数原理学案 13页

专题13 计数原理 一、两个基本计数原理 ‎1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有种不同的方法 完成这件事共有种不同的方法 注意：区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．‎ ‎2．两个计数原理的区别与联系 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 二、排列 ‎1．排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ ‎2．排列数、排列数公式 从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：‎ 假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现．‎ 根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法．‎ 这样，我们就得到公式，其中，且．这个公式叫做排列数公式．‎ n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示．所以n个不同元素的全排列数公式可以写成．另外，我们规定1．‎ 于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且．‎ 注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．‎ 三、组合 ‎1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．‎ ‎2．组合数、组合数公式 从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．‎ ‎，其中，且．这个公式叫做组合数公式．‎ 因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且．另外，我们规定．‎ ‎3．组合数的性质 性质1：．‎ 性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系．‎ 性质2：．‎ 性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合．‎ 四、二项式定理 ‎，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫二项式系数．‎ 二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．学 ‎ 注意：二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是．当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．‎ 五、二项式系数的性质 ‎（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎（2）增减性与最大值．当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大．‎ ‎（3）各二项式系数的和．已知．令，则．也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为．‎ ‎（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即．‎ ‎【必记结论】（1）是展开式的第 ＋1项，而不是第 项；（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒；（3）通项公式中含有a，b，n， ，T ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”．‎ ‎1．若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=________________．‎ ‎2．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是________________．‎ ‎3．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________________．(结果用最简分数表示)‎ ‎4．已知(+)n展开式中的各项系数的和与其各个二项式系数的和之比为128，则n=________________．‎ ‎5．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为________________．‎ ‎6．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有________________种．‎ ‎7．被49除所得的余数是________________．‎ ‎8．在二项式(x-)n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________________．‎ ‎9．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________________种．‎ ‎10．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________________种．‎ ‎11．为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________________．(用数字作答)‎ ‎12．若(x+)9的展开式的常数项为-672，则其所有项的系数和为________________．‎ ‎13．若(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6，则a1+a3+a5=________________．(用数字作答)‎ ‎14．若(x2-a)(x+)10的展开式中x6的系数为30，则a等于________________．‎ ‎15．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每个地区1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有________________种．‎ ‎16．（1）求的值；‎ ‎（2）设m，nN ，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）．‎ ‎（1）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．‎ ‎（2）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事；②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法；③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．‎ ‎（3）组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法．用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少 ‎”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏．‎ ‎（4）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求 ，再将 的值代回通项求解，注意 的取值范围（）．‎ ‎17．在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________________．‎ ‎18．在“心连心”活动中，5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访，每个村子至少安排1名党员参加，且A，B两名党员必须在同一个村子，则不同分配方法的种数为________________．‎ ‎19．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12，则log2(a1+a3+a5+…+a11)=________________．‎ ‎20．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有________________种．‎ ‎21．在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a2+an-5=0，则自然数n的值是________________．‎ ‎22．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则不同的涂色方法有________________种．‎ ‎23．已知集合，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________________．‎ ‎24．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法种数共有________________．‎ ‎25．(x2+2x-3y)5的展开式中，x5y的系数为________________．‎ ‎26．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为________________．学 ‎ ‎27．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，‎ 要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________________．‎ ‎28．从A，B，C，D，E五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有________________种．‎ ‎1．【答案】-1‎ ‎【解析】由题意得|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1．‎ ‎4．【答案】7‎ ‎【解析】令x=1，得(+)n的展开式中的各项系数的和为(1+3)n=4n，‎ 又(+)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n，所以=128，所以2n=128，解得n=7．‎ ‎5．【答案】9‎ ‎【解析】若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；‎ 若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；‎ 若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3种，‎ 所以共有3+3+3=9种不同的安排种数．‎ ‎6．【答案】720‎ ‎【解析】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；‎ 第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．‎ 根据分步乘法计数原理得，共有30×24=720种不同的选法．‎ ‎7．【答案】0‎ ‎【解析】由题可得，=+‎ ‎+，所以被49整除，所以余数为0．‎ ‎8．【答案】-56‎ ‎【解析】因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以n=8，所以二项展开式的通项公式为Tr+1=x8-r(-x-1)r=(-1)rx8-2r，令8-2r=2得r=3，所以展开式中含x2项的系数是(-1)3=-56．‎ ‎9．【答案】12‎ ‎【解析】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1=12种不同的排列方法．‎ ‎10．【答案】12‎ ‎【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．若选ABCD和A1B1C1D1两个面，另一个面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个，有4种．同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有4×3=12(种)．‎ ‎11．【答案】24‎ ‎【解析】若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2=12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2=12(种)方案，所以共有24种推荐方案．‎ ‎12．【答案】-1‎ ‎【解析】(x+)9的展开式的通项Tr+1=·x9-r·()r=·x9-3r·ar，令9-3r=0，得r=3，‎ 故·a3=-672，得a=-2．令x=1，则(x+)9=(1-2)9=-1，故(x+)9的所有项的系数和为-1．‎ ‎13．【答案】364‎ ‎【解析】令x=2，得(2×2-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=729，‎ 令x=0，得(-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=1，两式相减，得2(a1+a3+a5)=728，所以a1+a3+a5=364．‎ ‎15．【答案】600‎ ‎【解析】依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有=240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有=360(种)．因此，满足题意的选派方案共有240+360=600(种)．‎ ‎16．【答案】（1）0；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）当时，结论显然成立，当时，‎ 又因为所以 因此 ‎17．【答案】135‎ ‎【解析】因为在的展开式中，各二项式系数之和为64，即2n=64，所以n=6，‎ 二项展开式的通项，令，则展开式中的常数项为 ‎18．【答案】36‎ ‎【解析】把A，B两名党员看作一个整体，则5个人可分为4个部分．把4个部分再分为3个部分，共有种方法；再把这3个部分分配到三个村子，有种不同的方法；根据分步乘法计数原理，得不同分配方法种数为=36．‎ ‎19．【答案】7‎ ‎【解析】令x=-1，得a0+a1+a2+…+a12=28，令x=-3，得a0-a1+a2-a3+…+a12=0，‎ 将所得两式作差得2(a1+a3+…+a11)=28，所以a1+a3+…+a11=27，所以log2(a1+a3+…+a11)=7．‎ ‎20．【答案】20‎ ‎【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：①“多面手”入选，则有6＋2=8(种)选法；②“多面手”不入选，则有6×2=12(种)选法．因此选法共有8＋12=20(种)．‎ ‎22．【答案】72‎ ‎【解析】给五个区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，‎ 则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D所涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．‎ ‎(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2=48种．‎ ‎(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1=24种．‎ 故共有48＋24=72种不同的涂色方法．‎ ‎【名师点睛】涂色问题大致有两种方案：‎ ‎（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算．‎ ‎（2）首先根据涂色时所用色数的多少，进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需要用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．‎ ‎23．【答案】14‎ ‎【解析】可分为两类：‎ 以集合M中的元素做横坐标，N中的元素做纵坐标，集合M中取一个元素的方法有3种，要使点在第一、二象限内，则集合N中只能取5、6两个元素中的一个，有2种．根据分步计数原理有3×2=6(个)．‎ 以集合N中的元素做横坐标，M中的元素做纵坐标，集合N中任取一元素的方法有4种，要使点在第一、二象限内，则集合M中只能取1、3两个元素中的一个，有2种，根据分步计数原理，有4×2=8(个)．‎ 综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8=14(个)．故选C．‎ ‎24．【答案】96‎ ‎【解析】由题意知，第一步涂DA有四种方法；第二步涂DB有三种方法；第三步涂DC有两种方法；第四步涂AB，若AB与DC相同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若BC与AD相同，最后一步涂AC有两种涂法，若BC与AD不同，最后一步涂AC有一种涂法．若第四步涂AB，AB与CD不同，则AB涂第四种颜色，此时BC，AC只有一种涂法．综上，总的涂法种数是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96．‎ ‎25．【答案】-480‎ ‎【解析】方法1：，其展开式的通项Tr+1=(-3y)r，r=0，1，2，3，4，5，欲求的展开式中x5y的系数，只需令r=1，则(-3y)1展开式中，x5y的系数为-323=-480．‎ 方法2：要得到x5y的系数，第一步，从5个小括号(x2+2x-3y)中取一个二次项x2；第二步，从余下四个小括号(x2+2x-3y)中取三个一次项2x；第三步，从余下一个小括号(x2+2x-3y)中取一个一次项-3y，即×23×(-3)=-480．‎ ‎26．【答案】180‎ ‎【解析】分两类：‎ 第1类，不取0，即从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有个不同的四位数；‎ 第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有个不同的四位数．‎ 根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180个．故选C．‎ ‎27．【答案】472‎ ‎(1)若无红色卡片，则只需从黄色、蓝色、绿色卡片中各抽取一张，则不同的取法有-3=208(种)．‎ ‎(2)若红色卡片只有1张，则其余两张可能同色，也可能不同色．‎ ‎①如果同色，则先从4张红色中选取1张，再从其余三种颜色中任选一种，最后从该种颜色的卡片中选取2张即可，不同的取法有=4×3×6=72(种)．‎ ‎②如果不同色，则先从4张红色中选取1张，再从其余三种颜色中任选两种，最后从每种颜色中选取1张，不同的取法有=4×3×4×4=192(种)．‎ 由分类加法计数原理可得，不同的选取方法共有208+72+192=472(种)．‎ ‎28．【答案】51‎ ‎【解析】应分没有A和B、只有A或B中的一个、A和B均有这三种情况进行讨论．‎ 第一类，这三名歌手中没有A和B，由其他歌手出席该义演活动，共有种情况；第二类，只有A或B中的一个出席该义演活动，需从C，D，E中选两人，共有种情况；第三类，A，B均出席该义演活动，需再从C，D，E中选一人，因为A在B前，共有 种情况．由分类加法计数原理得不同的出场方法有++=51种．‎ 个人总结 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