【数学】2019届一轮复习北师大版概率与统计相结合问题学案 12页

热点12 概率与统计相结合问题 概率与统计是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查概率或统计知识，主要是对基本概念和基本抽样方法的考查，试题的难度一般不大；解答题考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．‎ ‎1 古典概型与统计图表结合 概率与与统计图表相结合是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．需熟练掌握．我们主要要掌握频率分布直方图、茎叶图、频率分布密度曲线的几何意义.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例 1自‎2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据 ‎ 产假安排（单位 周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．学—— ‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1），；（2）①；②的分布列为 ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.‎ ‎②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．‎ ‎ ，，‎ 因而的分布列为 ‎29 学 ]‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以.‎ ‎2 古典概型与统计的数字特征相结合 概率与统计的数字特征相结合进行考查是概率统计考查得一个主要内容.主要要求我们掌握统计的常见的数字特征的算法，比如中位数、平均数、众数、方差和标准差．　　‎ 例 2近年 城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带 了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图 ‎ 组号 分组 赞成投放的人数 赞成投放的人数占本组的频率 第一组 ‎ 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 ‎（）求， ， 的值．‎ ‎（）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数．‎ ‎（）在（）中抽取的人中随机选派人作为领队，求所选派的人中第五组至少有一人的概率．‎ ‎【答案】(1) ；(2)第四、五、六组分别取的人数为人， 人， 人；(3) .‎ 试题解析 （）补全频率分布直方图（见图），‎ 由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为，‎ 再结合频率分布直方图 ‎ 可知，‎ 所以，‎ 第二组的频率为，所以．‎ ‎（）因为第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有人，‎ 由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为人， 人， 人．‎ ‎（）设第四组人为 ， ， ， ，‎ 第五组人为 ， ，第六组人为 ．‎ 则从人中随机抽取名领队所有可能的结果为 ‎ ‎， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共种，‎ 其中所选派的人中第五组至少有一人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共11种 所以所选派的人中第五组至少有一人的概率为．‎ ‎3 古典概型与独立性检验、回归方程相结合 古典概型与独立性检验、回归方程相结合问题的考查往往主要是考查独立性检验、回归方程的求法和步骤.特别注意回归方程求解过程中公式的灵活应用和独立性检验求解过程中的解题步骤.‎ 例 3【2018届河北省邢台市高三上学期期末】从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福，敬业福），除夕夜22 18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22 18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表 ‎ ‎（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？‎ ‎（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；‎ ‎（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方 站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.‎ 参考公式 .‎ 附表 ‎ ‎【答案】（1）不能（2），8125（3）‎ ‎【解析】试题分析 （1）根据列联表中的数据，得到的观测值为，故得到结果；（2）先得到样本中集齐五福的频率为，再由总人数乘以频率即可；（3‎ ‎）根据古典概型的计算公式得到，总事件个数为10，满足条件的事件为9，求得频率为.‎ 解析 ‎ ‎（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为 ‎，‎ 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.‎ ‎（2）这80位大学生集齐五福的频率为.‎ 据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.‎ 例 4某农 所对冬季昼夜温差大小与反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下数据 ‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温度x（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 设农 所确定的研究方案是 先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选 取的组数据进行检验.学 ‎ ‎（1）求选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日与月日的数据，求关于的线 性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 颗，则认为得到的线性回归 方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎（注 ）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）可靠.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因此从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，‎ 所以，故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是.‎ ‎（2）由数据，求得，‎ ‎，‎ 由公式求得，‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ ‎（3）当时，，同样地，当时，，‎ 所以该研究所得到的线性回归方程式可靠的.‎ ‎4 古典概型与抽样方法结合 古典概型与抽样方法结合问题的考查往往主要是考查统计中的几种抽样方法.特别注意辨别系统抽样、简单随机抽样和分层抽样的适用范围和操作步骤.‎ 例 5 【2018届福建省漳州市高三1月调研】2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了600名年龄在[10，60]且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.‎ 年龄 ‎［10，20）‎ ‎［20，50）‎ ‎［50，60］‎ 单人促销价格（单位 元）‎ ‎150‎ ‎240‎ ‎180‎ ‎(1)根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；‎ ‎(2)某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人200元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；‎ ‎(3)若按照分层抽样的方法从年龄在[10，20)，[50，60]的居民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取2人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1人的年龄在[50，60]的概率.‎ ‎【答案】（1）32；（2）盈利；（3）‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（1）频率分布直方图中所有小矩形的面积（频率）之和为1，由此可求得的概率，取各组的中间数作为各组均值乘以相应的频率后相加可得；‎ ‎（2）由频率分布直方图可得三组的频率，分别乘以对应的促销价相加后减去成本为正时是赢利，为负时是不赢利；‎ ‎ (3)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20)，分别记为a，b，c，d；有2人年龄在[50，60]，分别记为E，F.“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，E}，{a，F}，{b，c}，{b，d}，{b，E}，{b，F}，{c，d}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a，E}，{a，F}，{b，E}，{b，F}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，共9种，故该事件发生的概率为P＝＝.‎ ‎5 统计与随机变量的分布列结合 例 6【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的 络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示 ‎ ‎（1）估计该组数据的中位数、众数；‎ ‎（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布， ‎ 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；‎ ‎（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案 ‎ ‎（ⅰ）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；‎ ‎（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下 ‎ 现有一位市民要参加此次问卷调查，记 (单位 元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.学 ‎ 附 ，‎ 若，则， .‎ ‎【答案】（1）中位数为，众数为65.（2）（3），分布列见解析 ‎【解析】试题分析 （1）由频率分布直方图可估计该组数据的中位数、众数；‎ ‎（2）利用加权平均数公式计算平均值；再根据正态分布的性质求；[ 学 ]‎ ‎（3）设得分不低于分的概率为，则，则的取值为10，20，30，40，利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，得到的分布列和数学期望.．‎ 试题解析 （1）由 ，得，设中位数为，由 ，解得，由频率分布直方图可知众数为65.‎ ‎（3）设得分不低于分的概率为，则，‎ 的取值为10，20，30，40，‎ ‎， ，‎ ‎， ，[ 学 ]‎ 所以的分布列为 ‎ 所以.‎ ‎【反思提升】1. 对古典概型必须明确判断两点 ①对于每个随机试验 说，所有可能出现的试验结果数必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数其可能性大小必须是相同的．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式得出的结果才是正确的．‎ ‎2.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．‎ ‎3. 样本的数字特征常见的命题角度有 (1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题.‎ ‎4.（1）用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图 估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.‎ ‎（2）频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎5.随机变量的分布列问题 ‎ ‎（1）求随机变量的分布列的主要步骤 ‎ 一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次 要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用 均值、方差公式进行计算．‎