【数学】2018届一轮复习湘教版分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案 11页

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理 异同点　　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类 方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类 方案中有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 N＝m＋n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步 有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 N＝m×n 种不同的方法 区别 各种方法相互独立，用其中任何一种方 法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有 各个步骤都完成才能做完这件事 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　√　) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事， 只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝1,2,3，…，n)， 那么完成这件事共有 m1m2m3…mn 种方法．(　√　) (5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　√　) 1．用 0,1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 答案　B 解析　由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有重复数字的 三位数的个数为 900－648＝252.故选 B. 2．满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个 数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 答案　B 解析　当 a＝0 时，关于 x 的方程为 2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均 满足要求；当 a≠0 时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－ 1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对 共有 13 个，故选 B. 3．从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个 数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 答案　B 解析　分两类情况讨论：第 1 类，奇偶奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 2 种 选择，共有 3×2×2＝12(个)奇数；第 2 类，偶奇奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百 位有 1 种选择，共有 3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理，知共有 12＋6＝18(个)奇 数． 4．(教材改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的 报名方法有________种． 答案　32 解析　每位同学都有 2 种报名方法，因此，可分五步安排 5 名同学报名，由分步乘法计数原 理，知总的报名方法共 2×2×2×2×2＝32(种)． 题型一　分类加法计数原理的应用 例 1　高三一班有学生 50 人，其中男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，其中男 生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，其中男生 35 人，女生 20 人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不 同的选法？ 解　(1)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法． 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选 法． (2)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法． 根据分类加法计数原理，共有 30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 思维升华　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或 关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这 件事情的任何一种方法必须属于某一类． 　(2016·全国丙卷)定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，…，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数．若 m＝4，则不 同的“规范 01 数列”共有(　　) A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个 答案　C 解析　第一位为 0，最后一位为 1，中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110；只有 2 个 1 相邻时，共 A 24个，其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意；三个 1 都不在一 起时有 C 34个，共 2＋8＋4＝14(个)． 题型二　分步乘法计数原理的应用 例 2　(1)(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位 于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________ 种不同的报名方法． 答案　(1)B　(2)120 解析　(1)从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种，所以从 E 点 到 G 点的最短路径为 6×3＝18(种)，故选 B. (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二 个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法 共有 6×5×4＝120(种)． 引申探究 1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项， 每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解　每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计 数原理，可得不同的报名方法共有 36＝729(种)． 2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每 人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解　每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法 计数原理，可得不同的报名方法共有 63＝216(种)． 思维升华　(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先 后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成 了，才算完成这件事． (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完 成． 　(1)(教材改编)已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N 这两个集 合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 第二象限内不同的点的个数是(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 (2)(2016·石家庄模拟)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的 种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有 ________种． 答案　(1)C　(2)45　54 解析　(1)分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐标，有 2 种情况， 因此第一、二象限内不同点的个数是 3×2＝6 个，故选 C. (2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法， 共有 45 种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实，每个冠 军有 5 种获得的可能性，共有 54 种获得冠军的可能性． 题型三　两个计数原理的综合应用 例 3　(1)如图，矩形的对角线把矩形分成 A，B，C，D 四部分，现用 5 种不同颜色给四部分 涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方 法． (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ________． 答案　(1)260　(2)36 解析　(1)区域 A 有 5 处涂色方法；区域 B 有 4 种涂色方法；区域 C 的涂色方法可分 2 类： 若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方 法，区域 D 也有 3 种涂色方法．所以共有 5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法． (2)第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对” 有 2×12＝24(个)；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”， 这样的“正交线面对”有 12 个．所以正方体中“正交线面对”共有 24＋12＝36(个)． 思维升华　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解． 　(2016·济南质检)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使 用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________． 答案　96 解析　按区域 1 与 3 是否同色分类： (1)区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A 33种方 法．∴区域 1 与 3 涂同色，共有 4A33＝24(种)方法． (2)区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3 有 A 24种方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法，第 三步涂区域 4 只有一种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法．∴这时共有 A24×2×1×3＝72(种) 方法． 故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为 24＋72＝96. 12．利用两个基本原理解决计数问题 典例　(1)把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有(　　) A．24 种 B．4 种 C．43 种 D．34 种 (2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 次， 轮船有 3 次，问此人的走法可有________种． 错解展示 解析　(1)因为每个信箱有三种投信方法，共 4 个信箱， 所以共有 3×3×3×3＝34(种)投法． (2)乘火车有 4 种方法，坐轮船有 3 种方法， 共有 3×4＝12(种)方法． 答案　(1)D　(2)12 现场纠错 解析　(1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投 到信箱中也有 4 种投法．只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可 得共有 43 种方法． (2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从 甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有 4＋3＝7(种)． 答案　(1)C　(2)7 纠错心得　(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步． (2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误． 1．(2016·镇海中学模拟)有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时 要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有(　　) A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 答案　B 解析　设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为 a，b，c，d，假设 A 监考 b，则 余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不同 方法，由分类加法计数原理，共有 3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法． 2．小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足 相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有(　　) A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．9 种 答案　B 解析　记反面为 1，正面为 2，则正反依次相对有 12121212,21212121 两种；有两枚反面相对 有 21121212,21211212,21212112 三种，共 5 种摆法，故选 B. 3．将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小 组由 1 名教师和 2 名学生组成，则不同的安排方案共有(　　) A．12 种 B．10 种 C．9 种 D．8 种 答案　A 解析　第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有 C24＝6(种)选派方法． 由分步乘法计数原理，不同的选派方案共有 2×6＝12(种)． 4．(2015·四川)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 (　　) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 答案　B 解析　由题意知，首位数字只能是 4,5，若万位是 5，则有 3×A34＝72(个)；若万位是 4，则有 2×A34＝48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)．故选 B. 5．将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同 颜色，则不同的涂色方案有(　　) A．1 种 B．3 种 C．6 种 D．9 种 答案　C 解析　因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有 3×2×1＝6(种)涂色方案． 6．将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不 相同，则不同的排列方法共有(　　) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 答案　A 解析　先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 A 33种不同排法．再排第二列，其 中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一种排法．因此 共有 A33·2·1＝12(种)不同的排列方法． 7．(2016·大连模拟)将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格，每格填一个数，则每个方 格的标号与所填数字均不相同的填法有________种． 答案　9 解析　编号为 1 的方格内填数字 2，共有 3 种不同填法；编号为 1 的方格内填数字 3，共有 3 种不同填法；编号为 1 的方格内填数字 4，共有 3 种不同填法．于是由分类加法计数原理， 得共有 3＋3＋3＝9(种)不同的填法． 8．如图所示，在 A，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现 A， B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． 答案　13 解析　四个焊点共有 24 种情况，其中使线路通的情况有：1,4 都通，2 和 3 至少有一个通时线 路才通，共 3 种可能．故不通的情况有 24－3＝13(种)可能． 9．(2016·日照模拟)从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同 对数值的个数为________． 答案　17 解析　当所取两个数中含有 1 时，1 只能作真数，对数值为 0，当所取两个数不含有 1 时，可 得到 A25＝20(个)对数，但 log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，综上可知， 共有 20＋1－4＝17(个)不同的对数值． 10．(2016·天津模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3 443,94 249 等．显然 2 位回文数有 9 个：11,22,33，…，99.3 位回文数有 90 个：101,111,121，…， 191,202，…，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个． 答案　(1)90　(2)9×10n 解析　(1)4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法，中间两位一样， 有 10 种填法，共计 9×10＝90(种)填法，即 4 位回文数有 90 个． (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有 9×10n 种 填法． 11．有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选人参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？ 解　(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有 3,6,8 种方法，总方法数为 3 ＋6＋8＝17. (2)分两步，先选教师共 3 种选法，再选学生共 6＋8＝14(种)选法，由分步乘法计数原理知， 总方法数为 3×14＝42. (3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为 3,6,8 种．由分步乘法计数原理 知总方法数为 3×6×8＝144(种)． 12．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如 果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数． 解　方法一　设想染色按 S－A－B－C－D 的顺序进行，对 S，A，B 染色，有 5×4×3＝60(种) 染色方法． 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色，这影响到 D 点颜色的选取方法数，故分类讨论： C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一)，D 应与 A(C)，S 不同色，有 3 种选择；C 与 A 不同色时，C 有 2 种可选择的颜色，D 也有 2 种颜色可供选择．从而对 C、D 染色有 1×3＋ 2×2＝7(种)染色方法． 由分步乘法计数原理，不同的染色方法种数为 60×7＝420. 方法二　根据所用颜色种数分类，可分三类． 第一类：用 3 种颜色，此时 A 与 C，B 与 D 分别同色，问题相当于从 5 种颜色中选 3 种涂三 个点，共 A35＝60(种)涂法； 第二类：用 4 种颜色，此时 A 与 C，B 与 D 中有且只有一组同色，涂法种数为 2A 45＝ 240(种)； 第三类：用 5 种颜色，涂法种数共 A55＝120(种)． 综上可知，满足题意的染色方法种数为 60＋240＋120＝420. *13.已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若 a，b，c∈M，则： (1)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？ (2)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 解　(1)a 的取值有 5 种情况，b 的取值 6 种情况，c 的取值有 6 种情况，因此 y＝ax2＋bx＋c 可以表示 5×6×6＝180(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则 b＝0，故有 5×6＝ 30(个)． (2)y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向上时，a 的取值有 2 种情况，b、c 的取值均有 6 种情况，因此 y＝ax2＋bx＋c 可以表示 2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．