高考数学模拟试卷 (1) 13页

第 1页（共 13页） 2018 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）(1) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．（5 分）设集合 A={x ∈ Z|x＞﹣1}，B={x|x2≤4}，则 A∩B=（ ） A．（﹣1，2] B．（﹣1，2） C．{0，1，2} D．{1，2} 2．（5 分）复数 z 在复平面内表示的点 Z 如图所示，则使得 z2•z1 是纯虚数的一个 z1 是（ ） A．4+3i B．3+4i C．4﹣3i D．3﹣4i 3．（5 分）已知 ，则 tan2α=（ ） A． B．2 C． D． 4．（5 分）如图为某市 2017 年 3 月 21﹣27 日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为 0﹣50 空 气质量属于优，51﹣100 空气质量属于良好，大于 100 均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正 确的是（ ） A．空气质量优良的概率为 B．空气质量不是良好的天数为 6 C．这周的平均空气质量为良好 D．前三天 AQI 的方差大于后四天 AQI 的方差 5．（5 分）设实数 x，y 满足不等式组 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 6．（5 分）“a=0”是“（1+x+x2）（1+ ）4 的参数项为 1”的（ ） 第 2页（共 13页） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（5 分）函数（x）= ，若函数 y=f（x）﹣k 有三个不同的零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是（ ） A．[5，6） B．[ ）C．（5，6） D．（5， ] 9．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ） A． B．100π C． D． 10．（5 分）函数 f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜ ）的图象向左平移 个单位后为偶函数，设数列{an}的通 项公式为 an=f（ ），则{an}的前 2018 项之和为（ ） A．0 B．1 C． D．2 11．（5 分）已知抛物线 W：y2=4x 的焦点为 F，点 P 是圆 O：x2+y2=r2（r＞0）与抛物线 W 的一个交点，点 A（﹣1，0），则当 最小时，圆心 O 到直线 PF 的距离是（ ） A． B．1 C． D． 12．（5 分）若过点 P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线 C：y=xex 相切，则 m 的取值范围是（ ） A．（﹣ ，+∞） B．（ ） C．（0，+∞） D．（ ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．（5 分）已知向量 =（2，4）， =（﹣1，m），且 与 ﹣2 平行，则 m 等于 ． 第 3页（共 13页） 14．（5 分）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是，b，c，若 sinB=2sinC，且 a= ，A= ，则 c= ． 15．（5 分）已知双曲线 C： 的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＞6， 则双曲线 C 的离心率的取值范围是 ． 16．（5 分）已知平面α，正方形 ABCD 在平面α内的正投影可能是： ①一个内角为 120°的菱形；②两条邻边长之比为 的矩形； ③梯形；④既非矩形又非菱形的平行四边形． 其中正确命题的序号是 ．（填写出所有正确命题的序号） 三、解答题： 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an+1=Sn+n+1（n=1，2，3…），a1=1． （1）求证：{an+1}为等比数列； （2）数列{an}中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由． 18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中， ，AD=CD=2，PA=PC， ，AB⊥AD，平 面 PAD⊥平面 ABCD． （1）求证：PD⊥平面 ABCD； （2）若 PD=3，求直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值． 19．（12 分）某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按 100 计），随机对 20 名六十岁 以上的老人和 20 名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果： 表 1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 [0，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人 数 1 5 6 5 3 表 2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 [0，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 人数 2 4 8 4 2 表 3 第 4页（共 13页） 满意度小于 80 满意度不小于 80 合计 六十岁以上老人人数 十八岁以上六十岁以下的中青 年人人数 合计 （1）若该小区共有中青年人 500 人，试估计其中满意度不少于 80 的人数； （2）完成表 3 的 2×2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年 龄有关”？ （3）从表 3 的；六十岁以上的老人“满意度小于 80”和“满意度不小于 80”的人数中用分层抽样的方法抽取 一个容量为 5 的样本，再从中任取 3 人，求至少有两人满意小于 80 的概率． 附：K2= ，其中 n=a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 20．（12 分）已知椭圆 M： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线 l 与椭圆 M 交于 A、B 两点，当 AB 垂直于 x 轴时，|AB|=2（a﹣ ）． （1）求椭圆 M 的焦距； （2）设椭圆 M 的右顶点为 H，试问是否存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H？若存在，求 出 a 的值；若不存在，说明理由． 21．（12 分）已知函数 f（x）=ex（x2+axcosx+1）． （1）当 a=0 时，判断 f（x） 与 1 的大小关系，并说明理由； （2）若对于 ∀ x ∈ [0，1]，f（x）≥2x+1 恒成立，求 a 的最小值． 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，在以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为ρsin（θ﹣ ）=a． （1）若 a= ，求直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 C 交于不同两点，求原点到直线 l 距离的取值范围． 第 5页（共 13页） 2018 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）(1) 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【解答】解：B={x|﹣2≤x≤2}，且 A={x ∈ Z|x＞﹣1}； ∴A∩B={0，1，2}．故选：C． 2．【解答】解：由图可得：z=﹣2+i，设 z1=a+bi（a，b ∈ R）． z2•z1=（﹣2+i）2（a+bi）=（3﹣4i）（a+bi）=3a+4b+（3b﹣4a）i 为纯虚数， 则 3a+4b=0，3b﹣4a≠0．则 z1=4﹣3i．故选：C． 3．【解答】解：∵ ，可得：cos2α﹣sin2α= ， 又∵cos2α+sin2α=1，∴可得 cos2α= ，sin2α= ， ∴tan2α= = ．故选：D． 4．【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得： 在 A 中，空气质量优良的概率为 p= ，故 A 错误； 在 B 中，空气质量不是良好的天数为 6 天，故 B 正确； 在 C 中，这周的平均空气质量指数大于 100，属不同程度的污染，故 C 错误； 在 D 中，前三天 AQI 的方差小于后四天 AQI 的方差，故 D 错误．故选：B． 5．【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示； 由图形知，当目标函数 z=x+2y 过点 A 时，z 取得最小值； 由 ，求得 A（2，1），∴z 的最小值为 2+2×1=4．故选：A． 第 6页（共 13页） 6．【解答】解：由题意 的常数项是 1+4a+6a2=1， 解得：a=0 或 a=﹣ ， 故 a=0 是 a=0 或 a=﹣ 的充分不必要条件，故选：B． 7．【解答】解：当 m=16 时，不满足 cosm＞0，执行循环体后，m=8，n=2； 当 m=8 时，不满足 cosm＞0，执行循环体后，m=4，n=3； 当 m=4 时，不满足 cosm＞0，执行循环体后，m=2，n=4； 当 m=2 时，不满足 cosm＞0，执行循环体后，m=1，n=5； 当 m=1 时，满足 cosm＞0，故输出的 n=5，故选：D． 8．【解答】解：作出 f（x）的函数图象如图所示： ∵函数 y=f（x）﹣k 有三个不同的零点 x1，x2，x3， 不妨设 x1＜x2＜x3，则﹣log5x1=log5x2，故而 x1x2=1，且 ≤x3＜6． ∴x1x2x3=x3，故选：B． 9．【解答】解：由三视图可知三棱锥是以俯视图为底面，高为： ，顶点在底 面的射影在底面等腰三角形的底边的中点， 如图，射影外接球的球心在棱锥的高上，设外接球的半径玩 R， 则 2，解得 R= ． 该几何体的外接球的体积是： = ．故选：D． 第 7页（共 13页） 10．【解答】解：函数 f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移 个单位， 所得图象对应的函数解析式为 y=sin（2x+ +φ）， 由函数 y=sin（2x+ +φ）为偶函数，可得 φ= ，k ∈ Z． ∴φ= ，k ∈ Z．|φ|＜ ，∴φ= ．则 f（x）=sin（2x+ ）． ∴an=f（ ）=sin（ ）， 可知数列{an}的周期为 6，且 a1=1，a2=sin（ + ）= ， a3=sin（π+ ）=﹣ ，a4=sin（ + ）=﹣1，a5=sin（ + ）=﹣ ，a6= ， ∴{an}的前 2018 项之和为 336×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a1+a2）=336×0+（1+ ） = ，故选：C． 11．【解答】解：过 P 作抛物线的准线的垂线 PM，M 为垂足，则|PF|=|PM|， 则 = =sin∠PAM， ∴当 PA 与抛物线相切时，∠PAM 取得最小值，故而 取得最小值． 设直线 PA 的方程为 y=k（x+1），代入抛物线方程得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 令△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0 得 k2=1． 此时方程为 x2﹣2x+1=0，解得 x=1， 不妨设 P 在第一象限，则 P（1，2），直线 PF 的方程为 x=1． ∴O 到 PF 的距离为 1．故选：B． 12．【解答】解：设切点为（x0，y0），过点 P 的切线程为 ， 第 8页（共 13页） 代入点 P 坐标化简为 m= ，即这个方程有三个不等根即可，令 ，求导得到 f′（x）=（﹣x﹣1）（x+2）ex，函数在（﹣∞， ﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到 f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即 故选：D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．【解答】解：∵向量 =（2，4）， =（﹣1，m）， ∴ =（2，4）﹣（﹣2，2m）=（4，4﹣2m）， ∵ 与 ﹣2 平行，∴ ，解得 m=﹣2．故答案为：﹣2． 14．【解答】解：∵sinB=2sinC， ∴由正弦定理可得：b=2c，又∵a= ，A= ， ∴由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：14=4c2+c2﹣2•2c•c• ，即：14=3c2，解 得：c= ．故答案为： ． 15．【解答】解：双曲线 C 的方程为： ，则 a=3， 又由点 P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＞6，则 P 在双曲线内， 则有 ＞1， 解可得：b ， ，e= 双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ，+∞）．故答案为：（ ，+∞）． 16．【解答】解：平面α，正方形 ABCD 在平面α内的正投影可能是： ①当平面 ABCD⊥平面α，则为一条线段； ②平面 ABCD 的一条对角线与平面α平行，但平面 ABCD 与平面α不垂直不平行， 则为一个菱形，一个内角可以为 120°； ③当平面 ABCD 的一条边与平面α平行，但平面 ABCD 与平面α不垂直不平行， 则为一个矩形，两条邻边长之比可以为 ； ④当平面 ABCD 的对角线，边均不于平面α平行，且平面 ABCD 与平面α不垂直时， 第 9页（共 13页） 则为既非矩形又非菱形的平行四边形； 故正确命题的序号是①②④， 故答案为：①②④ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。（一）必考题：共 60 分。 17．【解答】（1）证明：an+1=Sn+n+1，n≥2 时，可得：an+1﹣an=Sn+n+1﹣（Sn﹣1+n）， 化为：an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1）， n=1 时，a2=a1+2=3，∴a2+1=2（a1+1）， ∴{an+1}为等比数列，首项为 2，公比为 2． （2）解：由（1）可得：an+1=2n，可得 an=2n﹣1． 可知：数列{an}单调递增． 假设数列{an}中存在不同的三项，am，ak，an，m，k，n ∈ N*，m＜k＜n． 适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是 am，ak，an 是等差数列． ∴2ak=am+an，∴2（2k﹣1）=2m﹣1+2n﹣1，化为：2k+1﹣m=1+2n﹣m． 而左边为偶数，右边为奇数．因此不成立，故假设不成立． 因此数列{an}中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列． 18．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD ∴AB⊥平面 PAD， ∵PA ⊂ 平面 PAD，∴AB⊥PD， ∵ ，AD=CD=2，PA=PC， ∴BC⊥CD，∴BC⊥平面 PCD， ∵PC ⊂ 平面 PCD，∴BC⊥PD， ∵AB∩BC=B，∴PD⊥平面 ABCD． 第 10页（共 13页） 解：（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， ∵PD=3，∴C（ ，3，0）， D（0，2，0），A（0，0，0）， B（2 ，0，0），P（0，2，3）， =（ ，1，0）， =（0，2，3）， =（2 ，0，0）， 设平面 PAB 的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 y=3，得 =（0，3，﹣2）， 设直线 CD 与平面 PAB 所成角为θ，则 sinθ= = = ． ∴直线 CD 与平面 PAB 所成角的正弦值为 ． 19．【解答】解：（1）根据表中数据知，20 人中满意度不少于 80 的人数为 6 人，该小区中青年人 500 人中，满意度不少于 80 的人数为 500× =150； （2）完成表 3 的 2×2 列联表如下， 满意度小于 80 满意度不小于 80 合计 六十岁以上老人人 数 12 8 20 十八岁以上六十岁 以下的中青年人人 数 14 6 20 合计 26 14 40 由表中数据，计算 K2= ≈0.440＜2.706； ∴没有 90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”； （3）从表 3 知，用分层抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，满意度小于 80 的抽 取 3 人，记为 A、B、C， 第 11页（共 13页） 满意度不小于 80 的抽取 2 人，记为 d、e； 从这 5 人中任取 3 人，基本事件是 ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe、 Bde、Cde 共 10 种； 至少有两人满意小于 80 的是 ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、BCd、BCe 共 7 种； 故所求的概率是 P= ． 20．【解答】解：（1）把 x=c 代入椭圆方程可得： + =1，解得 y=± ， ∴|AB|=2（a﹣ ）= ，化为：a2﹣b2=4=c2，解得 c=2． ∴焦距 2c=4． （2）假设存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H． 设直线 l 的方程为：ty=x﹣2．A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立 ，化为：（b2t2+a2）y2+4tb2y+4b2﹣a2b2=0， ∴y1+y2= ，y1y2= ． 由 ⊥ ，∴ • =（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2 =（ty1+2﹣a）（ty2+2﹣a）+y1y2=（2﹣a）t（y1+y2）+（t2+1）y1y2+4﹣4a+a2=0． ∴（2﹣a）t• +（t2+1） +4﹣4a+a2=0． 化为：a3﹣3a2+4=0．a＞0．解得 a=2． ∴b=0，不满足题意，舍去． 因此假设不成立，不存在实数 a 及直线 l，使得以 AB 为直径的圆过点 H． 21．【解答】解：（1）当 a=0 时，f（x）=ex（x2+1）， ∴f（x） =（1﹣x）ex， f（x） ≤1； 理由：设 g（x）=（1﹣x）ex，∴g′（x）=﹣xex， 当 x＜0 时，g′（x）＞0，函数 g（x）单调递增， 当 x＞0 时，g′（x）＜0，函数 g（x）单调递减， 第 12页（共 13页） ∴g（x）max=g（0）=1，∴g（x）≤1，∴f（x） ≤1； （2） ∀ x ∈ [0，1]，f（x）≥2x+1 恒成立， 即 ex（x2+axcosx+1）≥2x+1 在[0，1]恒成立， 由 f（x）的图象经过点（0，1），y=2x+1 经过点（0，1）， 当直线 y=2x+1 为 f（x）的切线，且切点为（0，1）， 由 f′（x）=ex（x2+axcosx+1+2x+acosx﹣axsinx）， 可得 f′（0）=1+a=2，解得 a=1； 当 a≥1 时，f′（x）=ex（x+1）2+ex（xcosx+cosx﹣xsinx）， 当 x ∈ [0， ]时，cosx≥sinx，xcosx+cosx﹣xsinx＞0，f′（x）＞0； 当 x ∈ （ ，1]时，xcosx+cosx﹣xsinx=cosx（x+1﹣xtanx）， 由 x+1 ∈ （ +1，2]，xtanx ∈ （ ，tan1]，且 tan1＜ ＜1+ ， 则 f′（x）＞0，可得 f（x）在[0，1]递增，则 a 的最小值为 1． 22．【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （θ为参数）， 转换为直角坐标方程为： ． 直线 l 的极坐标方程为ρsin（θ﹣ ）=a．由于 a= ， 转换为直角坐标方程为：x﹣y+2=0． （2）首先把直线的极坐标方程ρsin（θ﹣ ）=a． 转换为直角坐标方程为： ， 所以： ， 整理得： ， 由于直线 l 与 C 交于不同两点． 所以：△大于 0， 所以： ， 解得：0≤ ， 第 13页（共 13页） 所以：原点（0，0）到直线 的距离 d= ，所以 0≤ ．