【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-3-1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 6页

‎8.3　简单几何体的表面积与体积 ‎8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.长方体的表面积为20‎ B.长方体的体积为6‎ C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3‎ D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2‎ 解析长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,‎ 则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,‎ 则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.‎ 答案BC ‎2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.‎ 答案A ‎3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　)‎ A.8 B.12 C.16 D.20‎ 解析由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.‎ 答案B ‎4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)‎ A.3π B. C.π D.1‎ 解析如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.‎ 答案B ‎5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.‎ 答案D ‎6.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　. ‎ 解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,‎ 所以AB·BC·CC1=120,‎ 因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,‎ 由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,‎ 所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,‎ 所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.‎ 答案10‎ ‎7.正四棱柱的一条体对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有　　　　　个. ‎ 解析设底面边长为a,高为h,‎ 由题意得这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.‎ 答案2‎ ‎8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　. ‎ 解析该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.‎ 答案90　138‎ ‎9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为　　　　　. ‎ 解析∵侧棱SA=2,高SO=2,‎ ‎∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.‎ 答案 ‎10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为　　　　　 cm. ‎ 解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.‎ 由V=(S++S')h,得h==75(cm).‎ 答案75‎ 能力提升练 ‎1.(2020山东济宁检测)我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)(　　)‎ A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7 784立方尺 D.11 676立方尺 解析由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,‎ 设棱台的高为OO1=h,‎ 由△PA1O1∽△PAO可得,‎ 解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3 892(立方尺),故选B.‎ 答案B ‎2.(2020江西上饶检测)如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　. ‎ 解析设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.‎ 答案3∶4‎ ‎3.(2020全国高一课时练习)如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面高度为　　　　　. ‎ 解析液体部分的体积为三棱锥体积的,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.‎ 答案1-‎ ‎4.已知一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.‎ 解由三视图易知,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱长为4 cm,如图所示.‎ 因为正三角形ABC和正三角形A'B'C'的高为2 cm,所以正三角形ABC的边长AB==4(cm).‎ 故三棱柱的侧面积为S侧=4×4×3=48(cm2).‎ ‎5.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?‎ 解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,‎ 于是OO1=h-PO1=h-x=h.‎ 所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.‎ 素养培优练 ‎　在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.‎ 解∵AB=10,‎ ‎∴AD=AB=5,OD=AD=.‎ 设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.‎ 如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.‎ ‎∴DH=OD-OH=x,‎ 在Rt△D1DH中,D1D==2x.‎ ‎∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,‎ ‎∴(x+10)×2x,‎ 即40=(x+10)(10-x),‎ ‎∴x=2,故上底面的边长为2.‎