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- 2021-06-25 发布
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8
.
3
.
1
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标阐释
思维脉络
1
.
了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
,
掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式
.
(
直观想象、数学抽象
)
2
.
能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积
,
理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系
.
(
数学运算
)
3
.
会求组合体的表面积及体积
.
(
直观想象、数学运算
)
激趣诱思
知识点拨
金刚石是碳的结晶体
,
是目前自然界中存在的最硬物质
,
其形状除了具有规则的正八面体几何外形
,
还有六面体、十二面体等外形的晶体
.
金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色
,
璀璨夺目的钻石
.
如图就是一块正八面体的钻石
,
如果已知正八面体的棱长
,
你有哪些思路能得出该几何体的表面积
?
这种几何体如何通过正方体切割出来
?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的
和
.
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的
和
.
微练习
正三棱柱的底面边长为
1,
侧棱长为
2,
则它的侧面积为
,
表面积为
.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1
.
一般地
,
如果棱柱的底面积是
S
,
高是
h
,
那么这个棱柱的
体积
V
棱柱
=
Sh
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图
,
在正四棱柱
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
A
1
A=
2,
AB=
1,
那么该正四棱柱的体积为
(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
解析
:
正四棱柱的体积为
V=S
正方形
ABCD
×
AA
1
=
1
2
×
2
=
2
.
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
棱柱、棱锥、棱台的表面积
例
1
如图是一个搭建好的帐篷
,
它的下部是一个正六棱柱
,
上部是一个正六棱锥
,
其中帐篷的高为
PO
,
正六棱锥的高为
PO
1
,
且
PO=
3
PO
1
.
当
PO
1
=
2 m,
PA
1
=
4 m
时
,
求帐篷的表面积
.
分析
帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
连接
O
1
A
1
,
因为
PO
1
=
2
m,
PA
1
=
4
m
,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
空间几何体表面积的求法技巧
求解此类问题时
,
首先要注意题目要求侧面积还是表面积
,
其次观察几何体形状
,
是已知的棱柱、棱锥、棱台
,
还是由这些几何体形成的组合体
,
再利用公式准确计算相关的面积
,
从而求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若把题目条件中
“
帐篷
”
改为
“
用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器
”,
表面积为多少
?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
棱柱、棱锥、棱台的体积
例
2
如图
,
正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a.
截面
A
1
DB
将正方体分成两部分
,
其体积分别为
V
1
,
V
2
,
且
V
2
>V
1
.
(1)
求
V
1
,
V
2
以及
V
1
∶
V
2
;
(2)
求点
A
到平面
A
1
BD
的距离
d
.
分析
(1)
首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征
,
然后求出
V
1
,
而
V
2
直接用正方体的体积减去
V
1
即得
;(2)
利用三棱锥的结构特征
,
根据等积变换列出方程求解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
截面将正方体化为两个几何体
,
其中较小部分是一个三棱锥
A
1
-ABD
,
其中底面
△
ABD
是腰长为
a
的等腰直角三角形
,
其
面积
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求几何体体积的常用
方法
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若本例中的正方体改为长方体
,
则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化
?
试证明你的结论
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题
例
3
一个正四棱锥的底面边长为
3 cm
,
侧棱长为
5 cm,
则它的体积为
cm
3
,
表面积为
cm
2
.
分析
由已知求得正四棱锥的底面积与高
,
代入棱锥体积公式可得体积
;
求出侧面上的高
,
结合条件可求表面积
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
正棱锥的性质如下
:
(1)
正棱锥的各侧棱都相等
,
各侧面都是全等的等腰三角形
,
侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高
;
(2)
从顶点向底面作垂线
,
垂足为底面
(
正多边形
)
的中心
;
(3)
棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
正四棱台
(
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台
)
的上、下底面边长分别是
2 cm
和
6 cm,
两底面之间的距离为
2 cm,
则该四棱台的侧面积为
.
解析
:
如图
,
取上、下底面中心
O
1
,
O
,
B
1
C
1
和
BC
的中点
E
1
,
E.
在直角梯形
OEE
1
O
1
中
,
EE
1
为侧面等腰梯形的高
,
过
E
1
作
E
1
H
垂直于
OE
,
垂足为
H
,
OO
1
=
2
cm,
O
1
E
1
=
1
cm,
OE=
3
cm,
∴
HE=
2
cm
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
多面体的表面积计算
典例
如图
,
正六棱台的上、下底面均为正六边形
,
六个侧面是全等的等腰梯形
.
如果上、下底面的边长分别为
2 cm
和
4 cm,
侧棱长为
4 cm,
求它的表面积
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成一个平面图形
,
因而平面展开图的面积就是它的表面积
.
可见
,
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
若正方体的表面积为
96,
则正方体的体积为
(
)
解析
:
设正方体的棱长为
a
,
则
6
a
2
=
96,
解得
a=
4,
故
V=a
3
=
4
3
=
64
.
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
已知高为
3
的直棱柱
ABC-A'B'C'
的底面是边长为
1
的正三角形
(
如图所示
),
则三棱锥
B'-ABC
的体积为
(
)
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
已知正四棱锥棱长为
5,
底面边长为
6,
则此正四棱锥的表面积是
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(
方法二
)
如图
,
设
G
,
H
分别为
AB
,
DC
的中点
,
连接
EG
,
EH
,
GH
,
则
EG
∥
FB
,
EH
∥
FC
,
GH
∥
BC
,
得三棱柱
EGH-FBC
,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(
方法三
)
如图
,
延长
EF
至点
M
,
使
EM=AB=
3,
连接
BM
,
CM
,
AF
,
DF
,
则多面体
BCM-ADE
为斜三棱柱
,
其直截面面积
S=
3,
则
V
多面体
BCM-ADE
=S
·
AB=
9
.
又
∵
平面
BCM
与平面
ADE
平行
,
F
为
EM
的中点
,
∴
V
棱锥
F-ADE
=V
棱锥
F-BCM
,
∴
2
V
棱锥
F-BCM
+V
棱锥
F-ABCD
=V
多面体
BCM-ADE
,
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
(2020
湖北七校联考
)
设正三棱锥
S-ABC
的侧面积是底面积的
2
倍
,
正三棱锥的高
SO=
3,
求此正三棱锥的表面积
S.
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