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- 2021-07-01 发布
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第2讲 三角变换与解三角形
考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α.
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)tan 2α=.
3.三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简.
(2)等式的两边同时变形为同一个式子.
(3)将式子变形后再证明.
4.正弦定理
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
5.余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
推论:cos A=,cos B=,cos C=.
变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,
a2+b2-c2=2abcos C.
6.面积公式
S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.
7.解三角形
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.
(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.
(4)已知三边,利用余弦定理求解.
热点一 三角变换
例1 (1)已知sin(α+)+sin α=-,-<α<0,则cos(α+)等于( )
A.- B.-
C. D.
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0,),β∈(0,),且tan α=,则( )
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子,和cos(α+π)进行比较.
(2)先对已知式子进行变形,得三角函数值的式子,再利用范围探求角的关系.
答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵sin(α+)+sin α=-,-<α<0,
∴sin α+cos α=-,
∴sin α+cos α=-,
∴cos(α+)=cos αcos-sin αsin
=-cos α-sin α=.
(2)由tan α=得=,
即sin αcos β=cos α+cos αsin β,
∴sin(α-β)=cos α=sin(-α).
∵α∈(0,),β∈(0,),
∴α-β∈(-,),-α∈(0,),
∴由sin(α-β)=sin(-α),得α-β=-α,
∴2α-β=.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)若θ是第二象限角,且f()=0,求的值.
解 (1)f(x)=cos(2x+)+sin2x=cos 2xcos-sin 2xsin+=-sin 2x.
所以f(x)的最小正周期为T==π,最大值为.
(2)因为f()=0,
所以-sin θ=0,即sin θ=,
又θ是第二象限角,
所以cos θ=-=-.
所以===
===.
热点二 解三角形
例2 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a=2sin A,++=0.
(1)求边c的大小;
(2)求△ABC面积的最大值.
思维启迪 (1)将++=0中的边化成角,然后利用和差公式求cos C,进而求c.(2)只需求ab的最大值,可利用cos C=和基本不等式求解.
解 (1)∵++=0,
∴ccos B+2acos C+bcos C=0,
∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0,
∴sin A+2sin Acos C=0,
∵sin A≠0,
∴cos C=-,∵C∈(0,π)
∴C=,∴c=·sin C=.
(2)∵cos C=-=,
∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即ab≤1.
∴S△ABC=absin C≤.
∴△ABC的面积最大值为.
思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角”或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的统一,问题便可突破.
几种常见变形:
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆的半径;
(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.
(1)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则等于( )
A. B.2
C. D.2
(2)(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3 B.
C. D.3
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为asin Asin B+bcos2A=a,由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B=sin A,
即=,==.
(2)∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.②
由①②得ab=6.
∴S△ABC=absin C=×6×=.
热点三 正、余弦定理的实际应用
例3 (2013·江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A=,
cos C=.
(1)求索道AB的长;
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
思维启迪 (1)直接求sin B,利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数.
解 (1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,
所以sin A=,sin C=.
从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×+×=.由正弦定理=,得
AB=×sin C=×=1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
=200(37t2-70t+50),由于0≤t≤,即0≤t≤8,
故当t= min时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=×sin A=×=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.
思维升华 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计算要准确;最后作答.
如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时,C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?(≈1.41,≈1.73,≈2.45)
解 过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
因为∠CAD=45°,AC=10海里,
所以△ACD是等腰直角三角形.
所以AD=CD=AC=×10=5(海里).
在Rt△ABD中,因为∠DAB=60°,
所以BD=AD×tan 60°=5×=5(海里).
所以BC=BD-CD=(5-5)(海里).
因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军舰正以每小时13海里的速度航行,
所以中国海监船到达C点所用的时间t1===(小时),某国军舰到达C点所用的时间t2==≈=0.4(小时).
因为<0.4,所以中国海监船能及时赶到.
1.求解恒等变换问题的基本思路
一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下:
(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心.
(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”.
(3)再次观察代数式的结构特点.
2.解三角形的两个关键点
(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a=2Rsin A,sin A=(其中2R为三角形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C等,灵活根据条件求解三角形中的边与角.
(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A+B)=sin C,sin =cos 等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.
3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型.
真题感悟
1.(2013·浙江)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α等于( )
A. B. C.- D.-
答案 C
解析 ∵sin α+2cos α=,
∴sin2α+4sin α·cos α+4cos2α=.
用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α,
∴tan 2α==-.故选C.
2.(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是________.
答案
解析 由sin A+sin B=2sin C,结合正弦定理得a+b=2c.
由余弦定理得cos C=
==
≥=,
故≤cos C<1,且3a2=2b2时取“=”.
故cos C的最小值为.
押题精练
1.在△ABC中,已知tan =sin C,给出以下四个结论:
①=1;②1(否则,若α+β≤,则有0<β<α+β≤,00,cos(α+β)<0.
因为cos(β-)=,sin(α+β)=,
所以sin(β-)=,cos(α+β)=-.
所以cos(α+)=cos[(α+β)-(β-)]
=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)
=-×+×=.
10.如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为________米.
答案 400
解析 如题图,在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°.因为∠ADC=150°,所以∠ADB=30°.所以∠DAB=180°-120°-30°=30°.
由正弦定理,可得=.
所以=,得AD=400(米).
在△ADC中,DC=800米,∠ADC=150°,由余弦定理,可得
AC2=AD2+CD2-2×AD×CD×cos∠ADC
=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,解得AC=400(米).
故索道AC的长为400米.
三、解答题
11.(2014·安徽)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin的值.
解 (1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.
由正、余弦定理得a=2b·.
因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.
(2)由余弦定理得cos A===-.
由于00)的最小正周期是π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在[,]上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=4cos ωx·sin(ωx-)+1
=2sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1
=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx-).
最小正周期是=π,所以,ω=1,
从而f(x)=2sin(2x-).
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z.
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)当x∈[,]时,2x-∈[,],
f(x)=2sin(2x-)∈[,2],
所以f(x)在[,]上的最大值和最小值分别为2,.
13.已知角A、B、C是△ABC的三个内角,若向量m=(1-cos(A+B),cos),n=(,cos),且m·n=.
(1)求tan Atan B的值;
(2)求的最大值.
解 (1)m·n=-cos(A+B)+cos2
=-cos Acos B+sin Asin B=,
∴cos Acos B=9sin Asin B得tan Atan B=.
(2)tan(A+B)==(tan A+tan B)≥·2=.
(∵tan Atan B=>0,
∴A,B均是锐角,即其正切值均为正)
==tan C
=-tan(A+B)≤-,
所求最大值为-.
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