2015届高考数学二轮专题训练：专题三 第3讲 平面向量 15页

第3讲　平面向量 考情解读　1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．‎ ‎1．平面向量中的五个基本概念 ‎(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.‎ ‎(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.‎ ‎(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．‎ ‎(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．‎ ‎(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．‎ ‎2．平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．‎ ‎3．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎4．平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ 热点一　平面向量的概念及线性运算 例1　(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)‎ ‎(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．(0,1)‎ B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)‎ D．(－1,0)‎ 思维启迪　(1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与＝m＋n对应．‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．‎ ‎(2)依题意，由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).‎ 又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，‎ 则＝－－(λ>1，μ>1)，‎ 所以m＝－，n＝－.‎ 故m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．故选D.‎ 思维升华　对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．‎ ‎　(1)(2014·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，‎ 则tan θ＝________.‎ ‎(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.‎ 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)因为a∥b，‎ 所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.‎ 因为0<θ<，所以cos θ>0，‎ 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.‎ ‎(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.‎ 因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.‎ 因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．‎ 方法一　因为＝a，＝b，D为BC的中点，‎ 所以＝(a＋b)．‎ 所以＝＝(a＋b)．‎ 所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)‎ ‎＝a－b.‎ 所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.‎ 方法二　易得EF＝MD，MD＝CF，‎ 所以EF＝CF，所以CE＝CF.‎ 因为＝＋＝－＋＝－b＋a，‎ 所以＝(－b＋a)＝a－b.‎ 所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.‎ 热点二　平面向量的数量积 例2　(1)如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎(2)(2013·重庆)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 思维启迪　(1)图O的半径为1，可对题中向量进行转化＝＋，＝＋；‎ ‎(2)利用||<，寻找，的关系．‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.‎ ‎(2)∵⊥，‎ ‎∴·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋2＝0，‎ ‎∴·－·－·＝－2.‎ ‎∵＝＋.‎ ‎∴－＝－＋－，‎ ‎∴＝＋－.‎ ‎∵||＝||＝1，‎ ‎∴2＝1＋1＋2＋2(·－·－·)‎ ‎＝2＋2＋2(－2)＝2－2，‎ ‎∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<，‎ ‎∴<2≤2，即||∈.‎ 思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．‎ ‎　(1)(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎(2)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．‎ 答案　(1)22　(2) 解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－‎ 2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.‎ ‎(2)在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD，∵·＝||×||×cos 120°＝－2，∴||×||＝4，∵＝，2＝＋，∴＝(＋)，‎ ‎∴2＝[(＋)]2＝[2＋2·＋2]≥[2||×||＋2×(－2)]＝，∴2≥，∴||≥，∴||的最小值是.‎ 热点三　平面向量与三角函数的综合 例3　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α