2015届高考数学二轮专题训练：专题七 第1讲 排列、组合与二项式定理 12页

第1讲　排列、组合与二项式定理 考情解读　1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．‎ ‎1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．‎ ‎2．排列与组合 ‎(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝.‎ ‎(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 C＝或写成C＝.‎ ‎(3)组合数的性质 ‎①C＝C；‎ ‎②C＝C＋C.‎ ‎3．二项式定理 ‎(1)二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)．‎ ‎(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数．‎ ‎(3)二项式系数的性质 ‎①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，‎ 即C＝C，C＝C，…，C＝C，….‎ ‎②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值．‎ ‎③各二项式系数的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；‎ b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…＝·2n＝2n－1.‎ 热点一　两个计数原理 例1　(1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(　　)‎ A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 ‎(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a10)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．‎ 答案　－6‎ 解析　(x＋)6的二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cx6－r()r＝Ca，令6－＝0，得r＝4，则其常数项为Ca4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2.故x2项的系数为(－3)×2＝－6.‎ ‎ ‎