2015届高考数学二轮专题训练：专题二 第3讲 导数及其应用 17页

第3讲　导数及其应用 考情解读　1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用．‎ ‎1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎2．导数与函数单调性的关系 ‎(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.‎ ‎(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．‎ ‎3．函数的极值与最值 ‎(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．‎ ‎(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．‎ ‎(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．‎ ‎4．定积分的三个公式与一个定理 ‎(1)定积分的性质：‎ ‎①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；‎ ‎②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；‎ ‎③ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．‎ 思维启迪　(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．‎ 答案　(1)5x＋y－3＝0　(2)4‎ 解析　(1)因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，‎ 所以y′|x＝0＝－5，‎ 故切线方程为y－3＝－5(x－0)，‎ 即5x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－，‎ 又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，‎ 所以(－)·3a＝－1，即y0＝3ax，‎ 又ax＝y0－1，所以y0＝，‎ 代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，‎ 将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.‎ 思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．‎ ‎　(1)已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)且f(x)＝x2f′()＋sin x，则f′()＝________.‎ ‎(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于________．‎ 答案　(1)　(2)2‎ 解析　(1)因为f(x)＝x2f′()＋sin x，所以f′(x)＝2xf′()＋cos x．‎ 所以f′()＝2×f′()＋cos.所以f′()＝.‎ ‎(2)f′(x)＝sin x＋xcos x，f′()＝1，‎ 即函数f(x)＝xsin x＋1在点x＝处的切线的斜率是1，‎ 直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，‎ 所以(－)×1＝－1，解得a＝2.‎ 热点二　利用导数研究函数的性质 例2　已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值．‎ 思维启迪　(1)直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到．‎ 解　(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－a－1.‎ 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，－a－1)‎ ‎－a－1‎ ‎(－a－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；‎ 单调增区间为(－a－1，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；‎ 单调增区间为(－a－1，＋∞)．‎ 所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增，故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a；‎ 当0<－a－1<4，即－50或f′(x)<0.‎ ‎②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．‎ ‎(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．‎ ‎②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．‎ ‎(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．‎ ‎　已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．‎ 解　(1)∵f(x)＝ln x＋，∴f′(x)＝－.‎ ‎∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f′(x)＝－≥0在[2，＋∞)上恒成立，‎ 即a≤在[2，＋∞)上恒成立．‎ 令g(x)＝，则a≤[g(x)]min，x∈[2，＋∞)，‎ ‎∵g(x)＝在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴[g(x)]min＝g(2)＝1.‎ ‎∴a≤1.所以实数a的取值范围为(－∞，1]．‎ ‎(2)由(1)得f′(x)＝，x∈[1，e]．‎ ‎①若2a<1，则x－2a>0，即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上是增函数．‎ 所以[f(x)]min＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)．‎ ‎②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.‎ 当10，所以f(x)在(2a，e)上是增函数．‎ 所以[f(x)]min＝f(2a)＝ln(2a)＋1＝3，‎ 解得a＝(舍去)．‎ ‎③若2a>e，则x－2a<0，即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是减函数．‎ 所以[f(x)]min＝f(e)＝1＋＝3，得a＝e.适合题意．‎ 综上a＝e.‎ 热点三　导数与方程、不等式 例3　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．‎ ‎(1)求函数F(x)的单调区间；‎ ‎(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；‎ ‎(3)是否存在实数m，使得函数y＝g()＋m－1的图象与函数y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 思维启迪　(1)利用F′(x)确定单调区间；(2)k＝F′(x0)，F′(x0)≤分离a，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化．‎ 解　(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋(x>0)，F′(x)＝－＝.‎ ‎∵a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，‎ ‎∴F(x)在(a，＋∞)上是增函数．‎ 由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，‎ ‎∴F(x)在(0，a)上是减函数．‎ ‎∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，‎ 单调递增区间为(a，＋∞)．‎ ‎(2)由F′(x)＝(00.‎ 又由G(2)＝G(－2)＝ln 5－2＋<可知，‎ 当m∈(，ln 2)时，y＝G(x)与y＝m恰有四个不同交点．故存在m∈(，ln 2)，使函数y＝g()＋m－1的图象与y＝f(1＋x2)的图象恰有四个不同交点．‎ 思维升华　研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．‎ ‎　已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋ln x.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)由已知，得f′(x)＝2ax＋＝(x>0)．‎ ‎①当a≥0时，恒有f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎②当a<0时，若00，‎ 故f(x)在(0，]上是增函数；‎ 若x> ，则f′(x)<0，‎ 故f(x)在[，＋∞)上是减函数．‎ 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ 当a<0时，f(x)在(0, ]上是增函数，在[ ，＋∞)上是减函数．‎ ‎(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，‎ 恒有ma－f(x)>a2成立，‎ 等价于ma－a2>f(x)max.‎ 因为a∈(－4，－2)，所以< <<1.‎ 由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，‎ 所以f(x)max＝f(1)＝2a，‎ 所以ma－a2>2a，即m1，则a的值为(　　)‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎(2)如图，阴影部分的面积是(　　)‎ A．2 B．9－2 C. D. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)ʃ(2x＋)dx＝(x2＋ln x)|＝a2＋ln a－1，由题意，可得a2＋ln a－1＝3＋ln 2，‎ 解得a＝2.‎ ‎(2)由题图，可知阴影部分面积为ʃ(3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝(3－－1)－(－9＋9－9)＝.‎ ‎1．函数单调性的应用 ‎(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；‎ ‎(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；‎ ‎(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)>0的必要不充分条件．‎ ‎2．可导函数极值的理解 ‎(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；‎ ‎(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；‎ ‎(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．‎ ‎3．利用导数解决优化问题的步骤 ‎(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．‎ ‎4．定积分在几何中的应用 被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a0时，S＝ʃf(x)dx；‎ ‎(2)当f(x)<0时，S＝－ʃf(x)dx；‎ ‎(3)当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx.‎ 真题感悟 ‎1．(2014·江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ 答案　(－ln 2,2)‎ 解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x＝，∴y′＝－e－x，‎ ‎∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，‎ ‎∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，‎ ‎∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．‎ ‎2．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1,1]上的最小值记为g(a)．‎ ‎(1)求g(a)；‎ ‎(2)证明：当x∈[－1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.‎ ‎(1)解　因为a>0，－1≤x≤1，所以 ‎①当00，‎ 故f(x)在(a,1)上是增函数．‎ 所以g(a)＝f(a)＝a3.‎ ‎②当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，‎ f′(x)＝3x2－3<0，‎ 故f(x)在(－1,1)上是减函数，‎ 所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.‎ 综上，g(a)＝ ‎(2)证明　令h(x)＝f(x)－g(a)．‎ ‎①当00，‎ 知t(a)在(0,1)上是增函数．‎ 所以，t(a)0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.‎ 根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，‎ 即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，‎ 则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，‎ 又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，‎ 所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.‎ ‎2．已知函数f(x)＝－ln x，x∈[1,3]．‎ ‎(1)求f(x)的最大值与最小值；‎ ‎(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围；‎ 解　(1)∵函数f(x)＝－ln x，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝±2，‎ ‎∵x∈[1,3]，‎ 当10；‎ ‎∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，‎ 在(2,3)上是单调增函数，‎ ‎∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－ln 2；‎ 又f(1)＝，f(3)＝－ln 3，‎ ‎∵ln 3>1，∴－(－ln 3)＝ln 3－1>0，‎ ‎∴f(1)>f(3)，‎ ‎∴x＝1时f(x)的最大值为，x＝2时函数取得最小值为－ln 2.‎ ‎(2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤，‎ 故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，‎ 只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2]．‎ ‎∴，解得a<，‎ ‎∴实数a的取值范围是(－∞，)．‎ ‎(推荐时间：60分钟)‎ 一、选择题 ‎1．曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．x－y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0‎ 答案　A 解析　由已知，得点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A.‎ ‎2．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　D 解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.‎ ‎3．(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)‎ A．y＝x3－x B．y＝x3－x C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x 答案　A 解析　函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y′≤0，经检验只有A符合．故选A.‎ ‎4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)‎ A．{x|x>0}‎ B．{x|x<0}‎ C．{x|x<－1，或x>1}‎ D．{x|x<－1，或0ex－ex＝0，‎ 所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．‎ 又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，‎ 所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.‎ ‎5．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间(－，0)内单调递增，则a的取值范围是(　　)‎ A．[，1) B．[，1)‎ C．(，＋∞) D．(1，)‎ 答案　B 解析　由x3－ax>0得x(x2－a)>0.‎ 则有或 ‎∴x>或－0，‎ 故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．‎ 由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.‎ ‎12．已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝＋x.‎ ‎(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)图象的公共点个数；‎ ‎(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个．‎ 解　(1)当a＝2时，联立 得x2＋3x＋1＝＋x，‎ 整理得x3＋x2－x－2＝0(x≠1)，‎ 即联立 求导得y′＝3x2＋2x－1＝0得 x1＝－1，x2＝，‎ 得到极值点分别在－1和处，‎ 且极大值、极小值都是负值，图象如图，‎ 故交点只有一个．‎ ‎(2)联立得x2＋3x＋1＝＋x，‎ 整理得a＝x3＋x2－x(x≠1)，‎ 即联立对h(x)求导可以得到极值点分别在－1和处，画出草图如图．‎ h(－1)＝1，h()＝－，‎ 当a＝h(－1)＝1时，y＝a与y＝h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y＝h(x)曲线上)，‎ 故a＝－时恰有两个公共点．‎ ‎13．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.718 28……)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．‎ ‎(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；‎ ‎(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b.‎ 由题意，得两函数在x＝0处有相同的切线．‎ ‎∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，‎ ‎∴2a＝b，f(0)＝a，g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，‎ ‎∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2.‎ ‎(2)f′(x)＝2ex(x＋2)，由f′(x)>0得x>－2，‎ 由f′(x)<0得x<－2，‎ ‎∴f(x)在(－2，＋∞)单调递增，‎ 在(－∞，－2)单调递减．∵t>－3，‎ ‎∴t＋1>－2.‎ ‎①当－30得ex>，∴x>ln；‎ 由F′(x)<0得xe2时，F(x)在[－2，＋∞)单调递增，‎ F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝(e2－k)<0，‎ 不满足F(x)min≥0.‎ 当ln＝－2，即k＝e2时，由①知，F(x)min＝F(－2)＝(e2－k)＝0，满足F(x)min≥0.‎ ‎③当ln>－2，即1≤k0，‎ 满足F(x)min≥0.‎ 综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．‎ ‎ ‎