【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案 10页

第五节　合情推理与演绎推理 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发展中的作用；‎ ‎2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理；‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，15,5分(演绎推理)‎ ‎2016，北京卷，8,5分(演绎推理)‎ ‎2016，山东卷，5分(归纳推理)‎ ‎2014，全国卷Ⅰ，14,5分(演绎推理)‎ ‎1.归纳、类比推理多出现在填空题中，为中、低档题；‎ ‎2.演绎推理多出现在解答题中，与其他相关知识的考查融合为一体，在知识的交汇点处命题。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。‎ ‎②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。‎ ‎②特点：是由特殊到特殊的推理。‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的一般原理。‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况。‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。‎ 微点提醒 ‎1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。‎ ‎2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。‎ ‎3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1 B．an＝4n－3‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ ‎【解析】　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(选修2－2P‎84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。‎ ‎【解析】　根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。‎ ‎【答案】　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)‎ 二、双基查验 ‎1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28　　　　 B．‎32　‎　　　‎ C．33　　　　 D．27‎ ‎【解析】　由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9。‎ 则x－20＝12，因此x＝32。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2。‎ 其中结论正确的个数是(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【解析】　只有③正确。‎ ‎【答案】　B ‎3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ ‎【解析】　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎4．观察下列不等式 ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋< ‎……‎ 按此规律，第五个不等式为__________。‎ ‎【解析】　观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋…＋<(n∈N*，n≥2)，‎ 所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<。‎ ‎【答案】　1＋＋＋＋＋< ‎5．(2016·辽阳模拟)在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为＝。把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)，DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是________。‎ ‎【解析】　由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝。‎ ‎【答案】　＝ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 归纳推理 ‎【典例1】　(2016·山东高考)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________。‎ ‎【解析】　通过观察所给的四个等式右边的式子特点，可以发现其规律，最前面的数字是，接下来是和行数有关的两项的乘积，即n(n＋1)，‎ 所以－2＋－2＋－2＋…＋－2＝n(n＋1)。‎ ‎【答案】　n(n＋1)‎ 反思归纳　归纳推理一般分为以下三种类型：‎ ‎1．与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律。‎ ‎2．与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律。‎ ‎3．与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论。‎ ‎【变式训练】　(1)(2016·达州模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1　3　7　13　21　…‎ ‎5　9　15　23　…　…‎ ‎11　17　25　…　…　…‎ ‎19　27　…　…　…　…‎ ‎29　…　…　…　…　…‎ ‎…　…　…　…　…　…‎ 则第30行从左到右第3个数是________。‎ ‎(2)(2016·湖南桃江检测)地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管。‎ ‎【解析】　(1)观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929。又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051。‎ ‎(2)由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管。‎ ‎【答案】　(1)1 051　(2)83‎ 考点二 ‎ 类比推理…………母题发散 ‎【典例2】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。‎ 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。‎ ‎【解析】　如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°。‎ 设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。‎ 类似地，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，∠EDF和∠PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S。于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2＝S＋S＋S成立。‎ ‎【答案】　见解析 ‎【母题变式】　1.把本典例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b‎2”‎换成“cos‎2A＋cos2B＝‎1”‎，则在空间中，给出四面体性质的猜想。‎ ‎【解析】　如图，在Rt△ABC中，‎ cos‎2A＋cos2B＝2＋2＝＝1。‎ 于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。‎ ‎【答案】　见解析 ‎2．本典例条件改为“如图，作CD⊥AB于点D，则有＝＋”。类比该性质，试给出空间中四面体性质的猜想。‎ ‎【解析】　类比猜想：‎ 四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，‎ 则＝＋＋。‎ 如图，连接BE交CD于点F，连接AF，‎ 因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，‎ 所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF。‎ 在Rt△AEF中，AE⊥BF，‎ 所以＝＋，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，‎ 所以＝＋，所以＝＋＋，猜想正确。‎ ‎【答案】　见解析 反思归纳　类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：‎ ‎①类比定义；‎ ‎②类比性质；‎ ‎③类比方法；‎ ‎④类比结构。‎ 考点三 ‎ 演绎推理 ‎【典例3】　(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数学之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________。‎ ‎【解析】　为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C。从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A。‎ ‎【答案】　1和3‎ 反思归纳　演绎推理一般是三段论式的推理，但这种抽象的逻辑推论需要善于从所给的诸多信息中抓住关键信息，以此为起点逐一分析推理，直到获得结论。‎ ‎【变式训练】　(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊。‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远 ‎(单位：米)‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳 ‎(单位：次)‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a－1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【解析】　由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生。数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛。若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛。故选B。‎ ‎【答案】　B 微考场　新提升 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误。故选C。‎ 答案　C ‎2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10‎ ‎＋b10＝(　　)‎ A．121 B．123‎ C．231 D．211‎ 解析　解法一：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－‎2a5b5＝123。故选B。‎ 解法二：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2016·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是(　　)‎ A．(7,5) B．(5,7)‎ C．(2,10) D．(10,1)‎ 解析　依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)。故选B。‎ 答案　B ‎4．观察下列不等式：‎ ≥2×，‎ ≥×3，‎ ≥×5，‎ ≥2×75，‎ ‎……‎ 由以上不等式，可以猜测：当a>b>0，s、r∈N*时，有≥________。‎ 解析　由已知不等式可知，≥2×＝×2－1，≥×3＝×5－2，≥×5＝×8－3，≥2×75＝×10－5，故猜想当a>b>0，s、r∈N*时，‎ eq f(as－bs,ar－br)≥s－r。‎ 答案　s－r ‎5．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝。类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________。‎ 解析　设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，所以类比得bm＋n＝。‎ 答案