2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5 4页

‎5．1　解方程与数系的扩充 ‎5．2　复数的概念 一、基础达标 ‎1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为 ‎(　　)‎ A．1 B．‎0 ‎‎ C．－1 D．－1或1‎ 答案　B 解析　由题意知，∴m＝0.‎ ‎2．(2013·青岛二中期中)设a，b∈R.“a＝‎0”‎是“复数a＋bi是纯虚数”的 ‎(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数 a＋bi是纯虚数”则“a＝‎0”‎一定成立．所以a，b∈R.“a＝‎0”‎是“复数 a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．‎ ‎3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是 ‎(　　)‎ A．2－2i B．－＋i C．2＋i D.＋i 答案　A 解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的 z＝2－2i.故选A.‎ ‎4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为 ‎(　　)‎ A. B．‎2 ‎‎ C．0 D．1‎ 答案　D 解析　由复数相等的充要条件知，‎ 4‎ 解得 ‎∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.‎ ‎5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－‎3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.‎ 答案　2　±2‎ 解析　由z1＝z2得，‎ 解得.‎ ‎6．(2013·上海)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　⇒m＝－2.‎ ‎7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．‎ 解　∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，‎ ‎∴解得 所以实数x，y的值分别为，2.‎ 二、能力提升 ‎8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是 ‎(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．－1或－2‎ 答案　A 解析　由题意，得解得x＝1.‎ ‎9．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为 ‎(　　)‎ A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)‎ C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)‎ 答案　B 解析　由题意，得，解得(k∈Z)，‎ ‎∴θ＝2kπ＋，k∈Z.‎ ‎10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．‎ ‎①若x是实数，则x可能不是复数；‎ ‎②若z是虚数，则z不是实数；‎ ‎③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；‎ 4‎ ‎④－1没有平方根．‎ 答案　1‎ 解析　因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．故答案为1.‎ ‎11．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－‎3m－18)i是(1)实数；‎ ‎(2)虚数；(3)纯虚数．‎ 解　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.‎ 故若使z为实数，则，‎ 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．‎ ‎(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.‎ 故若使z为虚数，则m2－‎3m－18≠0，且m＋3≠0，‎ 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．‎ ‎(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.‎ 故若使z为纯虚数，则，‎ 解得m＝－或m＝1.‎ 所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．‎ ‎12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝‎4m＋2＋(m2－‎5m＋4)i，若z1－1，如何求自然数m，n的值？‎ 解　因为 (m＋n)－(m2－‎3m)i>－1，‎ 所以 (m＋n)－(m2－‎3m)i是实数，从而有 由①得m＝0或m＝3，‎ 当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；‎ 4‎ 当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，‎ 综上可得m＝0，n＝1.‎ 4‎