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- 2021-07-01 发布
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2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.(5 分)已知集合 ,集合 ,则
A. , B. , C. D.
2.(5 分)设复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(5 分)设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于
A.18 B.36 C.45 D.60
4.(5 分)已知 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题正
确的是
A.若 , ,则
B.若 , ,则
C.若 , ,且 , ,则
D.若 , ,且 ,则
5.(5 分) 的展开式的常数项是
A. B. C.2 D.3
6.(5 分)已知 , , 满足 ,则下列各选项正确的是
2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = )
[3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞
z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( )
{ }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( )
m n α β γ
( )
/ /m α / /n α / /m n
α γ⊥ β γ⊥ / /α β
/ /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β
m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥
2 5
2
1( 2)( 1)x x
+ − ( )
3− 2−
1
11 2x n=
1
2
2x e
−= 3x 3
3
xe lnx− = ( )
A. B. C. D.
7.(5 分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是
一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数 的一种方法.例如:3 可表示为
“ ”,26 可表示为“ ”.现有 6 根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用
这 9 数字表示两位数的个数为
A.13 B.14 C.15 D.16
8.(5 分)在矩形 中, , , 与 相交于点 ,过点 作 ,
垂足为 ,则
A. B. C. D.
9.(5 分)函数 图象的大致形状是
A. B.
1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< <
1~ 9
≡ =⊥
1~ 9 ( )
ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥
E (AE EC =
)
72
5
12
25
12
5
144
25
2( ) ( 1)sin1 xf x xe
= −+ ( )
C. D.
10.(5 分)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若 3 位女生中有且只有两位女生相
邻,则不同排法的种数是
A.36 B.24 C.72 D.144
11.(5 分)已知函数 ,若方程 的解为 , ,
则
A. B. C. D.
12.(5 分)已知函数 , , ,曲线 上总存在两
点 , , , ,使曲线 在 , 两点处的切线互相平行,则
的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.(5 分)已知数列 满足 , ,则当 时,
.
14 . ( 5 分 ) 设 当 时 , 函 数 取 得 最 大 值 , 则
.
15.(5 分)已知函数 在 处有极小值 10,则 .
16.(5 分)在三棱锥 中, ,侧面 与底面 垂
( )
( ) sin(2 )6f x x
π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < <
1 2sin( ) (x x− = )
3
5
− 4
5
− 2
3
− 3
3
−
24 4( ) ( ) xf x k lnxk x
−= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x=
1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+
( )
8( , )5
+∞ 16( , )5
+∞ 8[ , )5
+∞ 16[ , )5
+∞
{ }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈ 1n
na =
x θ= ( ) sin 3cosf x x x= +
tan( )4
πθ + =
3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− =
S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC
直,则三棱锥 外接球的表面积是 .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题,每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:
共 60 分。
17 . ( 12 分 ) 在 锐 角 中 , 角 , , 对 应 的 边 分 别 是 , , , 且
.
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积 , .求 的值.
18.(12 分)在等比数列 中,公比 ,且满足 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,当 取最大值时,求
的值.
19 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 中 , 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 ,
, 与 交 于 点 , 平 面 平 面 , , ,
S ABC−
ABC∆ A B C a b c
3cos2 sin( ) 1 02A A
π+ − + =
A
ABC∆ 3 3S = 3b = sinC
{ }na (0,1)q∈ 4 2a = 2
3 2 6 3 72 25a a a a a+ + =
{ }na
2logn nb a= { }nb n nS 31 2
1 2 3
nS SS S
n
+ + +…+ n
ABCDEF ABCD 4 3
3
60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC=
.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 为等边三角形,点 为 的中点,求二面角 的余弦值.
20.(12 分)某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷
砖质量 都服从正态分布 ,并把质量在 之外的瓷砖作为废品直
接回炉处理,剩下的称为正品.
(Ⅰ)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查,求至少有 1 片是废品的概率;
(Ⅱ)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别
为 、 ,则“尺寸误差” 为 ,按行业生产标准,其中
“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 , 、 , 、
, (正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖),每片价格分别为 7.5 元、
6.5 元、5.0 元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖,相应
的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
频数 10 30 30 5 10 5 10
2 3
3EF =
OE ⊥ ABCD
FBC∆ Q AE Q BC A− −
(600 600 )mm mm×
( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− +
( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + −
[0 0.2] [0.2 0.5]
[0.5 1.0] 1.0mm
(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率.
(Ⅰ)记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 (元 ,求 的分布列及数学期望
.
(Ⅱ)由如图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求 5 片该
规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率.
附 : 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 则 ;
, , .
21.(12 分)已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)若存在 成立,求整数 的最小值.
ξ ) ξ
( )E ξ
Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + =
100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768=
( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx
= + − + − ∈
( )f x
( ) 11, xx f x x x
−> + <使 a
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数),
坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标
方程为 .
(1)求曲线 和直线 的直角坐标方程;
(2)直线 与 轴的交点为 ,经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点,证明:
为定值.
[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
23.已知函数 .
(1)若 时,解不等式 ;
(2)若关于 的不等式 在 , 上有解,求实数 的取值范围.
xOy C cos 3sin (
sin 3cos
x
y
α α α
α α
= +
= −
O x l
cos( ) 26
πρ θ + =
C l
l y P P m C A B
| | | |PA PB
( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈
2m = ( ) 3f x
x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m
2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.(5 分)已知集合 ,集合 ,则
A. , B. , C. D.
【解答】解: , 或 ,
, .
故选: .
2.(5 分)设复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:设复数 ,
, ;
, ;
复数 , ,
复数 在复平面内对应的点位于第二象限.
故选: .
3.(5 分)设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于
2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = )
[3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞
{ | 2 3}A x x= − < < { | 2R A x x= − 3}x
( ) { | 3} [3R A B x x= = )+∞
A
z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( )
z a bi= +
( 2 ) ( 2) 3 4 2 3z i i ai b i b∴ + = − + = − ⇒ + = − 4a = −
4a∴ = − 5b = −
∴ 4 5z i= − − ∴ 4 5z i= − +
z
B
{ }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( )
A.18 B.36 C.45 D.60
【解答】解: ,
,
.
故选: .
4.(5 分)已知 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题正
确的是
A.若 , ,则
B.若 , ,则
C.若 , ,且 , ,则
D.若 , ,且 ,则
【解答】解:由 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,知:
在 中,若 , ,则 与 相交、平行或异面,故 错误;
在 中,若 , ,则 与 相交或平行,故 错误;
在 中,若 , ,且 , ,则 与 相交或平行,故 错误;
在 中,若 , ,且 ,则线面垂直、面面垂直的性质定理得 ,故
正确.
故选: .
2 8 515a a a+ = −
5 5a∴ =
9 5
9 2 452S a∴ = × =
C
m n α β γ
( )
/ /m α / /n α / /m n
α γ⊥ β γ⊥ / /α β
/ /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β
m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥
m n α β γ
A / /m α / /n α m n A
B α γ⊥ β γ⊥ α β B
C / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ α β C
D m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ D
D
5.(5 分) 的展开式的常数项是
A. B. C.2 D.3
【解答】解:第一个因式取 ,第二个因式取 ,可得 ;
第一个因式取 2,第二个因式取 ,可得
的展开式的常数项是
故选: .
6.(5 分)已知 , , 满足 ,则下列各选项正确的是
A. B. C. D.
【解答】解:依题意,因为 为 上的增函数,所以 ;
应为 为 上的增函数,且 ,所以 , ;
满足 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
又因为 为 的增函数,
所以 ,
综上: .
故选: .
7.(5 分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是
2 5
2
1( 2)( 1)x x
+ − ( )
3− 2−
2x 2
1
x
4 4
51 ( 1) 5C× × − =
5( 1)− 52 ( 1) 2× − = −
2 5
2
1( 2)( 1)x x
∴ + − 5 ( 2) 3+ − =
D
1
11 2x n=
1
2
2x e
−= 3x 3
3
xe lnx− = ( )
1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< <
y lnx= (0, )+∞ 1
11 1 02x n ln= < =
xy e= R 0xe >
1
2
20 x e
−< = 0 1e< =
3x 3
3
xe lnx− =
3 0x > 3 0xe− >
3 0 1lnx ln> =
y lnx= (0, )+∞
3 1x >
1 2 3x x x< <
B
一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数 的一种方法.例如:3 可表示为
“ ”,26 可表示为“ ”.现有 6 根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用
这 9 数字表示两位数的个数为
A.13 B.14 C.15 D.16
【解答】解:根据题意,现有 6 根算筹,可以表示的数字组合为 1、5,1、9,2、4,2、8,
6、4,6、8,3、3,3、7,7、7;
数字组合 1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7 中,每组可以表示 2 个两位数,则
可以表示 个两位数;
数字组合 3、3,7、7,每组可以表示 2 个两位数,则可以表示 个两位数;
则一共可以表示 个两位数;
故选: .
8.(5 分)在矩形 中, , , 与 相交于点 ,过点 作 ,
垂足为 ,则
A. B. C. D.
【解答】解:建立平面直角坐标系,如图所示;
1~ 9
≡ =⊥
1~ 9 ( )
2 7 14× =
2 2 4× =
12 4 16+ =
D
ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥
E (AE EC =
)
72
5
12
25
12
5
144
25
矩形 中, , ,
则 , , , ;
直线 的方程为 ;
由 ,则直线 的方程为 ,即 ;
由 ,解得 ,
,
所以 , , , ,
所以 .
故选: .
9.(5 分)函数 图象的大致形状是
A. B.
ABCD 3AB = 4AD =
(0,3)A (0,0)B (4,0)C (4,3)D
BD 3
4y x=
AE BD⊥ AE 43 3y x− = − 4 33y x= − +
3
4
4 33
y x
y x
=
= − +
36
25
27
25
x
y
=
=
36(25E 27)25
36(25AE = 48)25
− 64(25EC = 27)25
−
36 64 48 27 144( ) ( )25 25 25 25 25AE EC = × + − × − =
D
2( ) ( 1)sin1 xf x xe
= −+ ( )
C. D.
【解答】解: ,
则 ,
则 是偶函数,则图象关于 轴对称,排除 , ,
当 时, (1) ,排除 ,
故选: .
10.(5 分)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若 3 位女生中有且只有两位女生相
邻,则不同排法的种数是
A.36 B.24 C.72 D.144
【解答】解:根据题意,把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素,和剩下的一位女
生,
插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中,
故有 种,
故选: .
11.(5 分)已知函数 ,若方程 的解为 , ,
则
A. B. C. D.
【解答】解:因为 , ,
2 1( ) ( 1)sin sin1 1
x
x x
ef x x xe e
−= − =+ +
1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1
x x x
x x x
e e ef x x x x f xe e e
−
−
− − −− = − = − = =+ + +
( )f x y B D
1x = f 1 sin1 01
e
e
−= <+ A
C
( )
2 2 2
3 2 3 72A A A =
C
( ) sin(2 )6f x x
π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < <
1 2sin( ) (x x− = )
3
5
− 4
5
− 2
3
− 3
3
−
0 x π< < ∴ 112 ( , )6 6 6x
π π π− ∈ −
又因为方程 的解为 , ,
, ,
,
因为 , ,
,
由 ,得 ,
,
故选: .
12.(5 分)已知函数 , , ,曲线 上总存在两
点 , , , ,使曲线 在 , 两点处的切线互相平行,则
的取值范围为
A. B. C. D.
【解答】解:函数 ,导数 .
由题意可得 , ,且 .
即有 ,
化为 ,
而 ,
3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < <
∴ 1 2
2 3
x x π+ = ∴ 2 1
2
3x x
π= −
∴ 1 2 1 1
2sin( ) sin(2 ) cos(2 )3 6x x x x
π π− = − = − −
1 2 2 1
2, 3x x x x
π< = − 10 3x
π∴ < <
∴ 12 ( , )6 6 2x
π π π− ∈ −
∴ 1 1
3( ) sin(2 )6 5f x x
π= − = 1
4cos(2 )6 5x
π− =
∴ 1 2
4sin( ) 5x x− = −
B
24 4( ) ( ) xf x k lnxk x
−= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x=
1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+
( )
8( , )5
+∞ 16( , )5
+∞ 8[ , )5
+∞ 16[ , )5
+∞
24 4( ) ( ) xf x k lnxk x
−= + +
2
4 1 4( ) ( ) 1f x k k x x
′ = + − −
1 2 1( ) ( )(f x f x x′ = ′ 2 0x > 1 2 )x x≠
2 2
1 1 2 2
4 4
4 41 1
k kk k
x x x x
+ +
− − = − −
1 2 1 2
44( ) ( )x x k x xk
+ = +
21 2
1 2 ( )2
x xx x
+<
,
化为 对 , 都成立,
令 , , ,
,对 , 恒成立,
即 在 , 递增,
(4) ,
,
,即 的取值范围是 , .
故选: .
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.(5 分)已知数列 满足 , ,则当 时,
.
【解答】解: 数列 满足 ,
, ,
则 ,
,
,
21 2
1 2
44( ) ( )( )2
x xx x k k
+∴ + < +
1 2
16
4x x
k k
+ >
+
[4k ∈ )+∞
4( )g k k k
= + [4k ∈ )+∞
2
4( ) 1 0g k k
′ = − > [4k ∈ )+∞
( )g k [4 )+∞
( )g k g∴ 5=
∴ 16 16
4 5k k
+
1 2
16
5x x∴ + > 1 2x x+ 16( 5 )+∞
B
{ }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈ 1n na =
12n−
{ }na 1 1a =
1 11n na a a −= + +…+ *(n N∈ 2)n
0
1 1 2a = =
1
2 2 2a = =
2
3 4 2a = =
,
由此可得当 时, .
故答案为: .
14.(5 分)设当 时,函数 取得最大值,则 .
【解答】解: ;
当 时,函数 取得最大值
;
, ;
.
故答案为: .
15.(5 分)已知函数 在 处有极小值 10,则 15 .
【解答】解: ,
函数 在 处有极小值 10,
(1) , (1) ,
, ,
解得 , 或 , ,
当 , 时,
3
4 8 2a = = …
1n
12n
na −=
12n−
x θ= ( ) sin 3cosf x x x= + tan( )4
πθ + = 2 3+
( ) sin 3cos 2sin( )3f x x x x
π= + = +
x θ= ( )f x
2 ,3 2 k k z
π πθ π∴ + = + ∈
26 k
πθ π∴ = + k z∈
∴
31 3tan( ) tan( 2 ) tan( ) 2 34 6 4 4 6 31 3
k
π π π π πθ π
+
+ = + + = + = = +
−
2 3+
3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− =
2( ) 3 2f x x ax b′ = + +
3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x =
f∴ ′ 0= f 10=
3 2 0a b∴ + + = 21 10a b a+ + + =
4a = 11b = − 3a = − 3b =
4a = 11b = −
,
此时 是极小值点;
当 , 时,
,
此时 不是极小值点.
, ,
.
故答案:15.
16.(5 分)在三棱锥 中, ,侧面 与底面 垂
直,则三棱锥 外接球的表面积是 .
【解答】解:如图所示,取 的中点 ,连接 , .设 为 的中心, 为三
棱锥 外接球的球心.
连接 , , .取 的中点 ,连接 .
则 为棱锥 外接球的半径. 为矩形.
.
三棱锥 外接球的表面积 .
故答案为: .
2( ) 3 8 11 (3 1)( 1)f x x x x x′ = + − = + −
1x =
3a = − 3b =
2 2( ) 3 6 3 3( 1)f x x x x′ = − + = −
1x =
4a∴ = 11b = −
15a b∴ − =
S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC
S ABC− 13
3
π
BC D SD AD G ABC∆ O
S ABC−
OG OG OS SD E OE
OD S ABC− OEDG
2 2 2 21 1 39( 3) ( 3)3 2 6OD DG DE∴ = + = × + × =
∴ S ABC− 239 134 ( )6 3
ππ= × =
13
3
π
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题,每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:
共 60 分。
17 . ( 12 分 ) 在 锐 角 中 , 角 , , 对 应 的 边 分 别 是 , , , 且
.
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积 , .求 的值.
【解答】解:(1) .
,可得: ,解得: ,或 ,
为锐角三角形,
,
可得: .
(2) ,可得: ,
又 ,可得: ,
ABC∆ A B C a b c
3cos2 sin( ) 1 02A A
π+ − + =
A
ABC∆ 3 3S = 3b = sinC
3cos2 sin( ) 1 02A A
π+ − + =
cos2 cos 1 0A A∴ − + = 22cos cos 0A A− = 1cos 2A = cos 0A =
ABC∆
1cos 2A∴ =
∴
3A
π=
1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc∆ = = = 12bc =
3b = 4c =
在 中,由余弦定理可知, ,
,
在 中,由正弦定理可知: ,可得: .
18.(12 分)在等比数列 中,公比 ,且满足 , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,当 取最大值时,求
的值.
【解答】解:(1) ,
可得 ,
由 ,即 ,①,由 ,可得 , ,
可得 ,即 ,②
由①②解得 舍去), ,
则 ;
(2) ,
可得 ,
,
则
ABC∆ 2 2 2 12 cos 16 9 2 3 4 25 12 132a b c bc A= + − = + − × × × = − =
13a∴ =
ABC∆
sin sin
a c
A C
=
34sin 2 392sin 1313
c AC a
×
= = =
{ }na (0,1)q∈ 4 2a = 2
3 2 6 3 72 25a a a a a+ + =
{ }na
2logn nb a= { }nb n nS 31 2
1 2 3
nS SS S
n
+ + +…+ n
2
3 2 6 3 72 25a a a a a+ + =
2 2 2
3 3 5 5 3 52 ( ) 25a a a a a a+ + = + =
4 2a = 3
1 2a q = 0 1q< < 1 0a > 0na >
3 5 5a a+ = 2 4
1 1 5a q a q+ =
1 (22q = 1 16a =
1 5116 ( ) 22
n n
na − −= =
2 2log log 2n nb a= = 5 5n n− = −
21 9(4 5 )2 2n
n nS n n
−= + − =
9
2
nS n
n
−=
1 2 7 941 2 2 2
nSS S n
n
−+ +…+ = + +…+
,
可得 或 9 时, 取最大值 18.
则 的值为 8 或 9.
19 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 中 , 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 ,
, 与 交 于 点 , 平 面 平 面 , , ,
.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 为等边三角形,点 为 的中点,求二面角 的余弦值.
【解答】证明:(1)如图,取 中点 ,连接 , ,
因为 ,
所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
, 分别为 , 中点,
所以 ,
因为 , ,
2
21 9 17 1 17 289(4 ) ( )2 2 4 4 2 16
n n nn n
− −= + = = − − +
8n = 1 2
1 2
nSS S
n
+ +…+
n
ABCDEF ABCD 4 3
3
60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC=
2 3
3EF =
OE ⊥ ABCD
FBC∆ Q AE Q BC A− −
BC G FG OG
FB FC=
FG BC⊥
FBC ⊥ ABCD FBC ∩ ABCD BC= FG ⊂ FBC
FG ⊥ ABCD
O G BD BC
/ /OG AB 1
2OG AB=
2 3 1
3 2EF AB= = / /EF AB
所以四边形 为平行四边形,
所以 ,
所以 平面 .
(2)如图,以 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立空间坐
标系,
显然二面角 为锐二面角,设该二面角为 ,
向量 ,0, 是平面 的法向量,设平面 的法向量 , , ,
由题意可知 ,
所以 ,0, , , , , ,0, , ,0,
所以 , , , ,0, ,
则 ,即 ,
所以 , , ,
所以 .
EFGO
/ /OE FG
OE ⊥ ABCD
AC x BD y OE z
Q BC A− − θ
(0n = 1) ABC QBC (v x= y 1)
sin60 2FG OE BF= = ° =
( 2C − 0) (0B 2 3
3 0) (0E 2) (1Q 1)
(1BQ = 2 3
3
− 1) (3CQ = 1)
0
0
v BQ
v CQ
= =
2 3 1 03
3 1 0
x y
x
− + =
+ =
1( 3v = − 3
3 1)
| | 1 3 13cos | || | 13131 3
n v
n v
θ = = =
×
20.(12 分)某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷
砖质量 都服从正态分布 ,并把质量在 之外的瓷砖作为废品直
接回炉处理,剩下的称为正品.
(Ⅰ)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查,求至少有 1 片是废品的概率;
(Ⅱ)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别
为 、 ,则“尺寸误差” 为 ,按行业生产标准,其中
“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 , 、 , 、
, (正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖),每片价格分别为 7.5 元、
6.5 元、5.0 元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖,相应
的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
频数 10 30 30 5 10 5 10
(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率.
(Ⅰ)记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 (元 ,求 的分布列及数学期望
.
(Ⅱ)由如图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求 5 片该
规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率.
附 : 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 则 ;
, , .
(600 600 )mm mm×
( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− +
( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + −
[0 0.2] [0.2 0.5]
[0.5 1.0] 1.0mm
ξ ) ξ
( )E ξ
Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + =
100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768=
【解答】解:(Ⅰ)由正态分布可知,抽取的一片瓷砖的质量在 之内的概率
为 0.9974 , 则 这 10 片 质 量 全 都 在 之 内 ( 即 没 有 废 品 ) 的 概 率 为
;
则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 ; (3 分)
(Ⅱ)(ⅰ)由已知数据,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,
得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1;
则 的可能取值为 15,14,12.5,13,11.5,10 元; (4 分)
计算 ,
,
,
,
,
,
得到 的分布列如下:
( 3 , 3 )u uσ σ− +
( 3 , 3 )u uσ σ− +
100.9974 0.9743≈
1 0.9743 0.0257− = − − − − − − − −
ξ − − − − − − − −
( 15) 0.7 0.7 0.49P ξ = = × =
( 14) 0.7 0.2 2 0.28P ξ = = × × =
( 12.5) 0.7 0.1 2 0.14P ξ = = × × =
( 13) 0.2 0.2 0.04P ξ = = × =
( 11.5) 0.2 0.1 2 0.04P ξ = = × × =
( 10) 0.1 0.1 0.01P ξ = = × =
ξ
15 14 13 12.5 11.5 10
0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01
(6 分)
数学期望为
(元 ; (8 分)
(ⅱ)设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 片“优等”品,则有 片“一级”品,
由已知 ,解得 ,则 取 4 或 5;
故所求的概率为
. (12 分)
21.(12 分)已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)若存在 成立,求整数 的最小值.
【解答】解:(1)由题意可知, , ,
方程 对应的△ ,
当△ ,即 时,当 时, ,
ξ
P
− − − − − − − − − − − − −
( ) 15 0.49 14 0.28 13 0.04 12.5 0.14 11.5 0.04 10 0.01E ξ = × + × + × + × + × + ×
7.35 3.92 0.52 1.75 0.46 0.1= + + + + +
14.1= ) − − − − − − − − −
n 5 n−
7.5 6.5(5 ) 36n n+ − 3.5n n
4 4 5
5 0.8 0.2 0.8P C= × × +
0.4096 0.32768= +
0.73728= − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx
= + − + − ∈
( )f x
( ) 11, xx f x x x
−> + <使 a
0x >
2
2 2
1( ) 1a x x af x x x x
− + −′ = − − =
2 0x x a− + − = 1 4a= −
1 4 0a= −
1
4a (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′
在 上单调递减; (2 分)
当 时,方程 的两根为 ,
且 ,
此时, 在 上 ,函数 单调递增,
在 上 ,函数 单调递减; (4 分)
当 时, , ,
此时当 , 单调递增,
当 时, , 单调递减; (6 分)
综上:当 时, , 单调递增,
当 时, 单调递减;
当 时, 在 上单调递增,
在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减; (7 分)
(2)原式等价于 ,
即存在 ,使 成立.
设 , ,
则 , (9 分)
( )f x∴ (0, )+∞ …
10 4a< < 2 0x x a− + − = 1 1 4
2
a± −
1 1 4 1 1 40 2 2
a a− − + −< <
( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2
a a− − + −
( ) 0f x′ > ( )f x
1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2
a a− − + − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x …
0a
1 1 4 02
a− − < 1 1 4 02
a+ − >
1 1 4(0, ), ( ) 02
ax f x
+ − ′∈ > ( )f x
1 1 4( , )2
ax
+ −∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x …
0a
1 1 4(0, )2
ax
+ −∈ ( )f x
1 1 4( , )2
ax
+ −∈ +∞ ( )f x
10 4a< < ( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2
a a− − + −
1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2
a a− − + − +∞
1
4a ( )f x (0, )+∞ …
( 1) 2 1x a xlnx x− > + −
1x > 2 1
1
xlnx xa x
+ −> −
2 1( ) 1
xlnx xg x x
+ −= − 1x >
2
2( ) ( 1)
x lnxg x x
− −′ = − …
设 ,
则 , 在 上单调递增.
又 (3) , (4) ,
根据零点存在性定理,可知 在 上有唯一零点,
设该零点为 ,则 ,且 ,即 ,
(11 分)
由题意可知 ,又 , ,
的最小值为 5. (12 分)
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数),
坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标
方程为 .
(1)求曲线 和直线 的直角坐标方程;
(2)直线 与 轴的交点为 ,经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点,证明:
为定值.
【解答】解:(1)由 ,
得曲线 .
( ) 2h x x lnx= − −
1 1( ) 1 0xh x x x
−′ = − = > ( )h x∴ (1, )+∞
h 3 3 2 1 3 0ln ln= − − = − < h 4 4 2 2 2 2 0ln ln= − − = − >
( )h x (1, )+∞
0x 0 (3,4)x ∈ 0 0 0( ) 2 0h x x lnx= − − = 0 02x lnx− =
∴ 0 0 0
0
0
2 1( ) 11min
x lnx xg x xx
+ −= = + …−
0 1a x> + 0 (3,4)x ∈ a Z∈
a∴ …
xOy C cos 3sin (
sin 3cos
x
y
α α α
α α
= +
= −
O x l
cos( ) 26
πρ θ + =
C l
l y P P m C A B
| | | |PA PB
2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − =
2 2: 4C x y+ =
直线 的极坐标方程展开为 ,
故 的直角坐标方程为 .
(2)显然 的坐标为 ,不妨设过点 的直线方程为 为参数),
代入 得 ,设 , 对应的参数为 ,
所以 为定值.
[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
23.已知函数 .
(1)若 时,解不等式 ;
(2)若关于 的不等式 在 , 上有解,求实数 的取值范围.
【解答】解:(1)若 时, ,
当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 ,
当 时,原不等式可化为 得 ,所以 ,
当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 ,
综上述:不等式的解集为 ;
(2)当 , 时,由 得 ,
即 ,
故 得 ,
l 3 1cos sin 22 2
ρ θ ρ θ− =
l 3 4 0x y− − =
P (0, 4)− P cos (4 sin
x t ty t
α
α
=
= − +
2 2: 4C x y+ = 2 8 sin 12 0t t α− + = A B 1t 2t
1 2| | | | | | 12PA PB t t= =
( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈
2m = ( ) 3f x
x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m
2m = | 1| | 2 2 | 3x x− + +
1x − 1 2 2 3x x− + − −
4
3x −
4 13 x− −
1 1x− < < 1 2 2 3x x− + + 0x 1 0x− <
1x 1 2 2 3x x− + +
2
3x x∈Φ
4{ | 0}3x x−
[0x∈ 1] ( ) | 2 3|f x x − 1 | 2 | 3 2x x m x− + + −
| 2 | 2x m x+ −
2 2 2x x m x− + − 2 2 3x m x− − −
又由题意知: ,
即 ,
故 的范围为 , .
( 2) (2 3 )min maxx m x− − −
3 2m−
m [ 3− 2]
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