广东省广州市天河区2020届高三高考一模数学（理）试题 含解析 28页

2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 ，集合 ，则 　　 A． ， B． ， C． D． 2．（5 分）设复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于 　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5 分）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于 　　 A．18 B．36 C．45 D．60 4．（5 分）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正 确的是 　　 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，且 ， ，则 D．若 ， ，且 ，则 5．（5 分） 的展开式的常数项是 　　 A． B． C．2 D．3 6．（5 分）已知 ， ， 满足 ，则下列各选项正确的是 　　 2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = ) [3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞ z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( ) { }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( ) m n α β γ ( ) / /m α / /n α / /m n α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ 2 5 2 1( 2)( 1)x x + − ( ) 3− 2− 1 11 2x n= 1 2 2x e −= 3x 3 3 xe lnx− = ( ) A． B． C． D． 7．（5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是 一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 的一种方法．例如：3 可表示为 “ ”，26 可表示为“ ”．现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 这 9 数字表示两位数的个数为 　　 A．13 B．14 C．15 D．16 8．（5 分）在矩形 中， ， ， 与 相交于点 ，过点 作 ， 垂足为 ，则 　　 A． B． C． D． 9．（5 分）函数 图象的大致形状是 　　 A． B． 1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < 1~ 9 ≡ =⊥ 1~ 9 ( ) ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥ E (AE EC =   ) 72 5 12 25 12 5 144 25 2( ) ( 1)sin1 xf x xe = −+ ( ) C． D． 10．（5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相 邻，则不同排法的种数是 　　 A．36 B．24 C．72 D．144 11．（5 分）已知函数 ，若方程 的解为 ， ， 则 　　 A． B． C． D． 12．（5 分）已知函数 ， ， ，曲线 上总存在两 点 ， ， ， ，使曲线 在 ， 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．（5 分）已知数列 满足 ， ，则当 时， 　　 ． 14 ． （ 5 分 ） 设 当 时 ， 函 数 取 得 最 大 值 ， 则 　 　． 15．（5 分）已知函数 在 处有极小值 10，则 　　 ． 16．（5 分）在三棱锥 中， ，侧面 与底面 垂 ( ) ( ) sin(2 )6f x x π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < 1 2sin( ) (x x− = ) 3 5 − 4 5 − 2 3 − 3 3 − 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x= 1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+ ( ) 8( , )5 +∞ 16( , )5 +∞ 8[ , )5 +∞ 16[ , )5 +∞ { }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈  1n na = x θ= ( ) sin 3cosf x x x= + tan( )4 πθ + = 3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− = S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC 直，则三棱锥 外接球的表面积是　 　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17 ． （ 12 分 ） 在 锐 角 中 ， 角 ， ， 对 应 的 边 分 别 是 ， ， ， 且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积 ， ．求 的值． 18．（12 分）在等比数列 中，公比 ，且满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，当 取最大值时，求 的值． 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 多 面 体 中 ， 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 ， ， 与 交 于 点 ， 平 面 平 面 ， ， ， S ABC− ABC∆ A B C a b c 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = A ABC∆ 3 3S = 3b = sinC { }na (0,1)q∈ 4 2a = 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = { }na 2logn nb a= { }nb n nS 31 2 1 2 3 nS SS S n + + +…+ n ABCDEF ABCD 4 3 3 60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC= ． （1）求证： 平面 ； （2）若 为等边三角形，点 为 的中点，求二面角 的余弦值． 20．（12 分）某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷 砖质量 都服从正态分布 ，并把质量在 之外的瓷砖作为废品直 接回炉处理，剩下的称为正品． （Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； （Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别 为 、 ，则“尺寸误差” 为 ，按行业生产标准，其中 “优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 ， 、 ， 、 ， （正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖），每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖，相应 的“尺寸误差”组成的样本数据如下： 尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 2 3 3EF = OE ⊥ ABCD FBC∆ Q AE Q BC A− − (600 600 )mm mm× ( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + − [0 0.2] [0.2 0.5] [0.5 1.0] 1.0mm （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率． （Ⅰ）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元 ，求 的分布列及数学期望 ． （Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率． 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ； ， ， ． 21．（12 分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若存在 成立，求整数 的最小值． ξ ) ξ ( )E ξ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + = 100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768= ( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx = + − + − ∈ ( )f x ( ) 11, xx f x x x −> + <使 a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）， 坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标 方程为 ． （1）求曲线 和直线 的直角坐标方程； （2）直线 与 轴的交点为 ，经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点，证明： 为定值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知函数 ． （1）若 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 在 ， 上有解，求实数 的取值范围． xOy C cos 3sin ( sin 3cos x y α α α α α  = + = − O x l cos( ) 26 πρ θ + = C l l y P P m C A B | | | |PA PB ( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈ 2m = ( ) 3f x  x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m 2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．（5 分）已知集合 ，集合 ，则 　　 A． ， B． ， C． D． 【解答】解： ， 或 ， ， ． 故选： ． 2．（5 分）设复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于 　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：设复数 ， ， ； ， ； 复数 ， ， 复数 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选： ． 3．（5 分）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于 　　 2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = ) [3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞ { | 2 3}A x x= − < < { | 2R A x x= − 3}x ( ) { | 3} [3R A B x x= =  )+∞ A z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( ) z a bi= + ( 2 ) ( 2) 3 4 2 3z i i ai b i b∴ + = − + = − ⇒ + = − 4a = − 4a∴ = − 5b = − ∴ 4 5z i= − − ∴ 4 5z i= − + z B { }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( ) A．18 B．36 C．45 D．60 【解答】解： ， ， ． 故选： ． 4．（5 分）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正 确的是 　　 A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，且 ， ，则 D．若 ， ，且 ，则 【解答】解：由 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，知： 在 中，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误； 在 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 错误； 在 中，若 ， ，且 ， ，则 与 相交或平行，故 错误； 在 中，若 ， ，且 ，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 ，故 正确． 故选： ． 2 8 515a a a+ = − 5 5a∴ = 9 5 9 2 452S a∴ = × = C m n α β γ ( ) / /m α / /n α / /m n α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ m n α β γ A / /m α / /n α m n A B α γ⊥ β γ⊥ α β B C / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ α β C D m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ D D 5．（5 分） 的展开式的常数项是 　　 A． B． C．2 D．3 【解答】解：第一个因式取 ，第二个因式取 ，可得 ； 第一个因式取 2，第二个因式取 ，可得 的展开式的常数项是 故选： ． 6．（5 分）已知 ， ， 满足 ，则下列各选项正确的是 　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，因为 为 上的增函数，所以 ； 应为 为 上的增函数，且 ，所以 ， ； 满足 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 又因为 为 的增函数， 所以 ， 综上： ． 故选： ． 7．（5 分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是 2 5 2 1( 2)( 1)x x + − ( ) 3− 2− 2x 2 1 x 4 4 51 ( 1) 5C× × − = 5( 1)− 52 ( 1) 2× − = − 2 5 2 1( 2)( 1)x x ∴ + − 5 ( 2) 3+ − = D 1 11 2x n= 1 2 2x e −= 3x 3 3 xe lnx− = ( ) 1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < y lnx= (0, )+∞ 1 11 1 02x n ln= < = xy e= R 0xe > 1 2 20 x e −< = 0 1e< = 3x 3 3 xe lnx− = 3 0x > 3 0xe− > 3 0 1lnx ln> = y lnx= (0, )+∞ 3 1x > 1 2 3x x x< < B 一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 的一种方法．例如：3 可表示为 “ ”，26 可表示为“ ”．现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 这 9 数字表示两位数的个数为 　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【解答】解：根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1、5，1、9，2、4，2、8， 6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合 1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7 中，每组可以表示 2 个两位数，则 可以表示 个两位数； 数字组合 3、3，7、7，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 个两位数； 则一共可以表示 个两位数； 故选： ． 8．（5 分）在矩形 中， ， ， 与 相交于点 ，过点 作 ， 垂足为 ，则 　　 A． B． C． D． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 1~ 9 ≡ =⊥ 1~ 9 ( ) 2 7 14× = 2 2 4× = 12 4 16+ = D ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥ E (AE EC =   ) 72 5 12 25 12 5 144 25 矩形 中， ， ， 则 ， ， ， ； 直线 的方程为 ； 由 ，则直线 的方程为 ，即 ； 由 ，解得 ， ， 所以 ， ， ， ， 所以 ． 故选： ． 9．（5 分）函数 图象的大致形状是 　　 A． B． ABCD 3AB = 4AD = (0,3)A (0,0)B (4,0)C (4,3)D BD 3 4y x= AE BD⊥ AE 43 3y x− = − 4 33y x= − + 3 4 4 33 y x y x  =  = − + 36 25 27 25 x y  =  = 36(25E 27)25 36(25AE = 48)25 − 64(25EC = 27)25 − 36 64 48 27 144( ) ( )25 25 25 25 25AE EC = × + − × − =   D 2( ) ( 1)sin1 xf x xe = −+ ( ) C． D． 【解答】解： ， 则 ， 则 是偶函数，则图象关于 轴对称，排除 ， ， 当 时， （1） ，排除 ， 故选： ． 10．（5 分）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相 邻，则不同排法的种数是 　　 A．36 B．24 C．72 D．144 【解答】解：根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女 生， 插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中， 故有 种， 故选： ． 11．（5 分）已知函数 ，若方程 的解为 ， ， 则 　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， 2 1( ) ( 1)sin sin1 1 x x x ef x x xe e −= − =+ +  1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1 x x x x x x e e ef x x x x f xe e e − − − − −− = − = − = =+ + +   ( )f x y B D 1x = f 1 sin1 01 e e −= <+  A C ( ) 2 2 2 3 2 3 72A A A = C ( ) sin(2 )6f x x π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < 1 2sin( ) (x x− = ) 3 5 − 4 5 − 2 3 − 3 3 − 0 x π< < ∴ 112 ( , )6 6 6x π π π− ∈ − 又因为方程 的解为 ， ， ， ， ， 因为 ， ， ， 由 ，得 ， ， 故选： ． 12．（5 分）已知函数 ， ， ，曲线 上总存在两 点 ， ， ， ，使曲线 在 ， 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数 ，导数 ． 由题意可得 ， ，且 ． 即有 ， 化为 ， 而 ， 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < ∴ 1 2 2 3 x x π+ = ∴ 2 1 2 3x x π= − ∴ 1 2 1 1 2sin( ) sin(2 ) cos(2 )3 6x x x x π π− = − = − − 1 2 2 1 2, 3x x x x π< = − 10 3x π∴ < < ∴ 12 ( , )6 6 2x π π π− ∈ − ∴ 1 1 3( ) sin(2 )6 5f x x π= − = 1 4cos(2 )6 5x π− = ∴ 1 2 4sin( ) 5x x− = − B 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x= 1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+ ( ) 8( , )5 +∞ 16( , )5 +∞ 8[ , )5 +∞ 16[ , )5 +∞ 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + 2 4 1 4( ) ( ) 1f x k k x x ′ = + − − 1 2 1( ) ( )(f x f x x′ = ′ 2 0x > 1 2 )x x≠ 2 2 1 1 2 2 4 4 4 41 1 k kk k x x x x + + − − = − − 1 2 1 2 44( ) ( )x x k x xk + = + 21 2 1 2 ( )2 x xx x +< ， 化为 对 ， 都成立， 令 ， ， ， ，对 ， 恒成立， 即 在 ， 递增， （4） ， ， ，即 的取值范围是 ， ． 故选： ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．（5 分）已知数列 满足 ， ，则当 时， 　 　． 【解答】解： 数列 满足 ， ， ， 则 ， ， ， 21 2 1 2 44( ) ( )( )2 x xx x k k +∴ + < + 1 2 16 4x x k k + > + [4k ∈ )+∞ 4( )g k k k = + [4k ∈ )+∞ 2 4( ) 1 0g k k ′ = − > [4k ∈ )+∞ ( )g k [4 )+∞ ( )g k g∴  5= ∴ 16 16 4 5k k +  1 2 16 5x x∴ + > 1 2x x+ 16( 5 )+∞ B { }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈  1n na = 12n−  { }na 1 1a = 1 11n na a a −= + +…+ *(n N∈ 2)n 0 1 1 2a = = 1 2 2 2a = = 2 3 4 2a = = ， 由此可得当 时， ． 故答案为： ． 14．（5 分）设当 时，函数 取得最大值，则 　 　． 【解答】解： ； 当 时，函数 取得最大值 ； ， ； ． 故答案为： ． 15．（5 分）已知函数 在 处有极小值 10，则 　15　． 【解答】解： ， 函数 在 处有极小值 10， （1） ， （1） ， ， ， 解得 ， 或 ， ， 当 ， 时， 3 4 8 2a = = … 1n 12n na −= 12n− x θ= ( ) sin 3cosf x x x= + tan( )4 πθ + = 2 3+ ( ) sin 3cos 2sin( )3f x x x x π= + = +  x θ= ( )f x 2 ,3 2 k k z π πθ π∴ + = + ∈ 26 k πθ π∴ = + k z∈ ∴ 31 3tan( ) tan( 2 ) tan( ) 2 34 6 4 4 6 31 3 k π π π π πθ π + + = + + = + = = + − 2 3+ 3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− = 2( ) 3 2f x x ax b′ = + +  3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = f∴ ′ 0= f 10= 3 2 0a b∴ + + = 21 10a b a+ + + = 4a = 11b = − 3a = − 3b = 4a = 11b = − ， 此时 是极小值点； 当 ， 时， ， 此时 不是极小值点． ， ， ． 故答案：15． 16．（5 分）在三棱锥 中， ，侧面 与底面 垂 直，则三棱锥 外接球的表面积是　 　． 【解答】解：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．设 为 的中心， 为三 棱锥 外接球的球心． 连接 ， ， ．取 的中点 ，连接 ． 则 为棱锥 外接球的半径． 为矩形． ． 三棱锥 外接球的表面积 ． 故答案为： ． 2( ) 3 8 11 (3 1)( 1)f x x x x x′ = + − = + − 1x = 3a = − 3b = 2 2( ) 3 6 3 3( 1)f x x x x′ = − + = − 1x = 4a∴ = 11b = − 15a b∴ − = S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC S ABC− 13 3 π BC D SD AD G ABC∆ O S ABC− OG OG OS SD E OE OD S ABC− OEDG 2 2 2 21 1 39( 3) ( 3)3 2 6OD DG DE∴ = + = × + × = ∴ S ABC− 239 134 ( )6 3 ππ= × = 13 3 π 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17 ． （ 12 分 ） 在 锐 角 中 ， 角 ， ， 对 应 的 边 分 别 是 ， ， ， 且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积 ， ．求 的值． 【解答】解：（1） ． ，可得： ，解得： ，或 ， 为锐角三角形， ， 可得： ． （2） ，可得： ， 又 ，可得： ， ABC∆ A B C a b c 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = A ABC∆ 3 3S = 3b = sinC 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = cos2 cos 1 0A A∴ − + = 22cos cos 0A A− = 1cos 2A = cos 0A = ABC∆ 1cos 2A∴ = ∴ 3A π= 1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc∆ = = =  12bc = 3b = 4c = 在 中，由余弦定理可知， ， ， 在 中，由正弦定理可知： ，可得： ． 18．（12 分）在等比数列 中，公比 ，且满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，当 取最大值时，求 的值． 【解答】解：（1） ， 可得 ， 由 ，即 ，①，由 ，可得 ， ， 可得 ，即 ，② 由①②解得 舍去）， ， 则 ； （2） ， 可得 ， ， 则 ABC∆ 2 2 2 12 cos 16 9 2 3 4 25 12 132a b c bc A= + − = + − × × × = − = 13a∴ = ABC∆ sin sin a c A C = 34sin 2 392sin 1313 c AC a × = = = { }na (0,1)q∈ 4 2a = 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = { }na 2logn nb a= { }nb n nS 31 2 1 2 3 nS SS S n + + +…+ n 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = 2 2 2 3 3 5 5 3 52 ( ) 25a a a a a a+ + = + = 4 2a = 3 1 2a q = 0 1q< < 1 0a > 0na > 3 5 5a a+ = 2 4 1 1 5a q a q+ = 1 (22q = 1 16a = 1 5116 ( ) 22 n n na − −= = 2 2log log 2n nb a= = 5 5n n− = − 21 9(4 5 )2 2n n nS n n −= + − = 9 2 nS n n −= 1 2 7 941 2 2 2 nSS S n n −+ +…+ = + +…+ ， 可得 或 9 时， 取最大值 18． 则 的值为 8 或 9． 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 多 面 体 中 ， 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 ， ， 与 交 于 点 ， 平 面 平 面 ， ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 为等边三角形，点 为 的中点，求二面角 的余弦值． 【解答】证明：（1）如图，取 中点 ，连接 ， ， 因为 ， 所以 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， ， 分别为 ， 中点， 所以 ， 因为 ， ， 2 21 9 17 1 17 289(4 ) ( )2 2 4 4 2 16 n n nn n − −= + = = − − + 8n = 1 2 1 2 nSS S n + +…+ n ABCDEF ABCD 4 3 3 60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC= 2 3 3EF = OE ⊥ ABCD FBC∆ Q AE Q BC A− − BC G FG OG FB FC= FG BC⊥ FBC ⊥ ABCD FBC ∩ ABCD BC= FG ⊂ FBC FG ⊥ ABCD O G BD BC / /OG AB 1 2OG AB= 2 3 1 3 2EF AB= = / /EF AB 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 所以 平面 ． （2）如图，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间坐 标系， 显然二面角 为锐二面角，设该二面角为 ， 向量 ，0， 是平面 的法向量，设平面 的法向量 ， ， ， 由题意可知 ， 所以 ，0， ， ， ， ， ，0， ， ，0， 所以 ， ， ， ，0， ， 则 ，即 ， 所以 ， ， ， 所以 ． EFGO / /OE FG OE ⊥ ABCD AC x BD y OE z Q BC A− − θ (0n = 1) ABC QBC (v x= y 1) sin60 2FG OE BF= = ° = ( 2C − 0) (0B 2 3 3 0) (0E 2) (1Q 1) (1BQ = 2 3 3 − 1) (3CQ = 1) 0 0 v BQ v CQ  = =   2 3 1 03 3 1 0 x y x  − + =  + = 1( 3v = − 3 3 1) | | 1 3 13cos | || | 13131 3 n v n v θ = = = ×    20．（12 分）某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷 砖质量 都服从正态分布 ，并把质量在 之外的瓷砖作为废品直 接回炉处理，剩下的称为正品． （Ⅰ）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查，求至少有 1 片是废品的概率； （Ⅱ）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别 为 、 ，则“尺寸误差” 为 ，按行业生产标准，其中 “优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 ， 、 ， 、 ， （正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖），每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖，相应 的“尺寸误差”组成的样本数据如下： 尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 （甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表） 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率． （Ⅰ）记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 （元 ，求 的分布列及数学期望 ． （Ⅱ）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求 5 片该 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率． 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ； ， ， ． (600 600 )mm mm× ( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + − [0 0.2] [0.2 0.5] [0.5 1.0] 1.0mm ξ ) ξ ( )E ξ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + = 100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768= 【解答】解：（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在 之内的概率 为 0.9974 ， 则 这 10 片 质 量 全 都 在 之 内 （ 即 没 有 废 品 ） 的 概 率 为 ； 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 ； （3 分） （Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1； 则 的可能取值为 15，14，12.5，13，11.5，10 元； （4 分） 计算 ， ， ， ， ， ， 得到 的分布列如下： ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( 3 , 3 )u uσ σ− + 100.9974 0.9743≈ 1 0.9743 0.0257− = − − − − − − − − ξ − − − − − − − − ( 15) 0.7 0.7 0.49P ξ = = × = ( 14) 0.7 0.2 2 0.28P ξ = = × × = ( 12.5) 0.7 0.1 2 0.14P ξ = = × × = ( 13) 0.2 0.2 0.04P ξ = = × = ( 11.5) 0.2 0.1 2 0.04P ξ = = × × = ( 10) 0.1 0.1 0.01P ξ = = × = ξ 15 14 13 12.5 11.5 10 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 （6 分） 数学期望为 （元 ； （8 分） （ⅱ）设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 片“优等”品，则有 片“一级”品， 由已知 ，解得 ，则 取 4 或 5； 故所求的概率为 ． （12 分） 21．（12 分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若存在 成立，求整数 的最小值． 【解答】解：（1）由题意可知， ， ， 方程 对应的△ ， 当△ ，即 时，当 时， ， ξ P − − − − − − − − − − − − − ( ) 15 0.49 14 0.28 13 0.04 12.5 0.14 11.5 0.04 10 0.01E ξ = × + × + × + × + × + × 7.35 3.92 0.52 1.75 0.46 0.1= + + + + + 14.1= ) − − − − − − − − − n 5 n− 7.5 6.5(5 ) 36n n+ −  3.5n n 4 4 5 5 0.8 0.2 0.8P C= × × + 0.4096 0.32768= + 0.73728= − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx = + − + − ∈ ( )f x ( ) 11, xx f x x x −> + <使 a 0x > 2 2 2 1( ) 1a x x af x x x x − + −′ = − − = 2 0x x a− + − = 1 4a= − 1 4 0a= −  1 4a (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′  在 上单调递减； （2 分） 当 时，方程 的两根为 ， 且 ， 此时， 在 上 ，函数 单调递增， 在 上 ，函数 单调递减； （4 分） 当 时， ， ， 此时当 ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减； （6 分） 综上：当 时， ， 单调递增， 当 时， 单调递减； 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减； （7 分） （2）原式等价于 ， 即存在 ，使 成立． 设 ， ， 则 ， （9 分） ( )f x∴ (0, )+∞ … 10 4a< < 2 0x x a− + − = 1 1 4 2 a± − 1 1 4 1 1 40 2 2 a a− − + −< < ( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − ( ) 0f x′ > ( )f x 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x … 0a 1 1 4 02 a− − < 1 1 4 02 a+ − > 1 1 4(0, ), ( ) 02 ax f x + − ′∈ > ( )f x 1 1 4( , )2 ax + −∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x … 0a 1 1 4(0, )2 ax + −∈ ( )f x 1 1 4( , )2 ax + −∈ +∞ ( )f x 10 4a< < ( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ 1 4a ( )f x (0, )+∞ … ( 1) 2 1x a xlnx x− > + − 1x > 2 1 1 xlnx xa x + −> − 2 1( ) 1 xlnx xg x x + −= − 1x > 2 2( ) ( 1) x lnxg x x − −′ = − … 设 ， 则 ， 在 上单调递增． 又 （3） ， （4） ， 根据零点存在性定理，可知 在 上有唯一零点， 设该零点为 ，则 ，且 ，即 ， （11 分） 由题意可知 ，又 ， ， 的最小值为 5． （12 分） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）， 坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标 方程为 ． （1）求曲线 和直线 的直角坐标方程； （2）直线 与 轴的交点为 ，经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点，证明： 为定值． 【解答】解：（1）由 ， 得曲线 ． ( ) 2h x x lnx= − − 1 1( ) 1 0xh x x x −′ = − = > ( )h x∴ (1, )+∞ h 3 3 2 1 3 0ln ln= − − = − < h 4 4 2 2 2 2 0ln ln= − − = − > ( )h x (1, )+∞ 0x 0 (3,4)x ∈ 0 0 0( ) 2 0h x x lnx= − − = 0 02x lnx− = ∴ 0 0 0 0 0 2 1( ) 11min x lnx xg x xx + −= = + …− 0 1a x> + 0 (3,4)x ∈ a Z∈ a∴ … xOy C cos 3sin ( sin 3cos x y α α α α α  = + = − O x l cos( ) 26 πρ θ + = C l l y P P m C A B | | | |PA PB 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − = 2 2: 4C x y+ = 直线 的极坐标方程展开为 ， 故 的直角坐标方程为 ． （2）显然 的坐标为 ，不妨设过点 的直线方程为 为参数）， 代入 得 ，设 ， 对应的参数为 ， 所以 为定值． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知函数 ． （1）若 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 在 ， 上有解，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）若 时， ， 当 时，原不等式可化为 解得 ，所以 ， 当 时，原不等式可化为 得 ，所以 ， 当 时，原不等式可化为 解得 ，所以 ， 综上述：不等式的解集为 ； （2）当 ， 时，由 得 ， 即 ， 故 得 ， l 3 1cos sin 22 2 ρ θ ρ θ− = l 3 4 0x y− − = P (0, 4)− P cos (4 sin x t ty t α α =  = − + 2 2: 4C x y+ = 2 8 sin 12 0t t α− + = A B 1t 2t 1 2| | | | | | 12PA PB t t= = ( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈ 2m = ( ) 3f x  x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m 2m = | 1| | 2 2 | 3x x− + +  1x − 1 2 2 3x x− + − −  4 3x − 4 13 x− −  1 1x− < < 1 2 2 3x x− + +  0x 1 0x− <  1x 1 2 2 3x x− + +  2 3x x∈Φ 4{ | 0}3x x−   [0x∈ 1] ( ) | 2 3|f x x − 1 | 2 | 3 2x x m x− + + − | 2 | 2x m x+ − 2 2 2x x m x− + −  2 2 3x m x− − −  又由题意知： ， 即 ， 故 的范围为 ， ． ( 2) (2 3 )min maxx m x− − −  3 2m−   m [ 3− 2]