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  • 2021-07-01 发布

广东省广州市天河区2020届高三高考一模数学(理)试题 含解析

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2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)已知集合 ,集合 ,则    A. , B. , C. D. 2.(5 分)设复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(5 分)设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于    A.18 B.36 C.45 D.60 4.(5 分)已知 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题正 确的是    A.若 , ,则 B.若 , ,则 C.若 , ,且 , ,则 D.若 , ,且 ,则 5.(5 分) 的展开式的常数项是    A. B. C.2 D.3 6.(5 分)已知 , , 满足 ,则下列各选项正确的是    2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = ) [3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞ z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( ) { }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( ) m n α β γ ( ) / /m α / /n α / /m n α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ 2 5 2 1( 2)( 1)x x + − ( ) 3− 2− 1 11 2x n= 1 2 2x e −= 3x 3 3 xe lnx− = ( ) A. B. C. D. 7.(5 分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是 一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数 的一种方法.例如:3 可表示为 “ ”,26 可表示为“ ”.现有 6 根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用 这 9 数字表示两位数的个数为    A.13 B.14 C.15 D.16 8.(5 分)在矩形 中, , , 与 相交于点 ,过点 作 , 垂足为 ,则    A. B. C. D. 9.(5 分)函数 图象的大致形状是    A. B. 1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < 1~ 9 ≡ =⊥ 1~ 9 ( ) ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥ E (AE EC =   ) 72 5 12 25 12 5 144 25 2( ) ( 1)sin1 xf x xe = −+ ( ) C. D. 10.(5 分)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若 3 位女生中有且只有两位女生相 邻,则不同排法的种数是    A.36 B.24 C.72 D.144 11.(5 分)已知函数 ,若方程 的解为 , , 则    A. B. C. D. 12.(5 分)已知函数 , , ,曲线 上总存在两 点 , , , ,使曲线 在 , 两点处的切线互相平行,则 的取值范围为    A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.(5 分)已知数列 满足 , ,则当 时,    . 14 . ( 5 分 ) 设 当 时 , 函 数 取 得 最 大 值 , 则    . 15.(5 分)已知函数 在 处有极小值 10,则    . 16.(5 分)在三棱锥 中, ,侧面 与底面 垂 ( ) ( ) sin(2 )6f x x π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < 1 2sin( ) (x x− = ) 3 5 − 4 5 − 2 3 − 3 3 − 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x= 1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+ ( ) 8( , )5 +∞ 16( , )5 +∞ 8[ , )5 +∞ 16[ , )5 +∞ { }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈  1n na = x θ= ( ) sin 3cosf x x x= + tan( )4 πθ + = 3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− = S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC 直,则三棱锥 外接球的表面积是   . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题,每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题: 共 60 分。 17 . ( 12 分 ) 在 锐 角 中 , 角 , , 对 应 的 边 分 别 是 , , , 且 . (1)求角 的大小; (2)若 的面积 , .求 的值. 18.(12 分)在等比数列 中,公比 ,且满足 , . (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,数列 的前 项和为 ,当 取最大值时,求 的值. 19 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 中 , 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 , , 与 交 于 点 , 平 面 平 面 , , , S ABC− ABC∆ A B C a b c 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = A ABC∆ 3 3S = 3b = sinC { }na (0,1)q∈ 4 2a = 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = { }na 2logn nb a= { }nb n nS 31 2 1 2 3 nS SS S n + + +…+ n ABCDEF ABCD 4 3 3 60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC= . (1)求证: 平面 ; (2)若 为等边三角形,点 为 的中点,求二面角 的余弦值. 20.(12 分)某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷 砖质量 都服从正态分布 ,并把质量在 之外的瓷砖作为废品直 接回炉处理,剩下的称为正品. (Ⅰ)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查,求至少有 1 片是废品的概率; (Ⅱ)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别 为 、 ,则“尺寸误差” 为 ,按行业生产标准,其中 “优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 , 、 , 、 , (正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖),每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖,相应 的“尺寸误差”组成的样本数据如下: 尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 2 3 3EF = OE ⊥ ABCD FBC∆ Q AE Q BC A− − (600 600 )mm mm× ( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + − [0 0.2] [0.2 0.5] [0.5 1.0] 1.0mm (甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表) 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率. (Ⅰ)记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 (元 ,求 的分布列及数学期望 . (Ⅱ)由如图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求 5 片该 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率. 附 : 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 则 ; , , . 21.(12 分)已知函数 . (1)求函数 的单调区间; (2)若存在 成立,求整数 的最小值. ξ ) ξ ( )E ξ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + = 100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768= ( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx = + − + − ∈ ( )f x ( ) 11, xx f x x x −> + <使 a (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数), 坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标 方程为 . (1)求曲线 和直线 的直角坐标方程; (2)直线 与 轴的交点为 ,经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点,证明: 为定值. [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.已知函数 . (1)若 时,解不等式 ; (2)若关于 的不等式 在 , 上有解,求实数 的取值范围. xOy C cos 3sin ( sin 3cos x y α α α α α  = + = − O x l cos( ) 26 πρ θ + = C l l y P P m C A B | | | |PA PB ( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈ 2m = ( ) 3f x  x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m 2020 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(5 分)已知集合 ,集合 ,则    A. , B. , C. D. 【解答】解: , 或 , , . 故选: . 2.(5 分)设复数 满足 ,则复数 在复平面内对应的点位于    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:设复数 , , ; , ; 复数 , , 复数 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选: . 3.(5 分)设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于    2{ | 6 0}A x x x= − − < { | 1}B x x= > ( ) (R A B = ) [3 )+∞ (1 3] (1,3) (3, )+∞ { | 2 3}A x x= − < < { | 2R A x x= − 3}x ( ) { | 3} [3R A B x x= =  )+∞ A z ( 2 ) 3 4z i i i+ = − z ( ) z a bi= + ( 2 ) ( 2) 3 4 2 3z i i ai b i b∴ + = − + = − ⇒ + = − 4a = − 4a∴ = − 5b = − ∴ 4 5z i= − − ∴ 4 5z i= − + z B { }na n nS 2 8 515a a a+ = − 9S ( ) A.18 B.36 C.45 D.60 【解答】解: , , . 故选: . 4.(5 分)已知 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题正 确的是    A.若 , ,则 B.若 , ,则 C.若 , ,且 , ,则 D.若 , ,且 ,则 【解答】解:由 , 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面,知: 在 中,若 , ,则 与 相交、平行或异面,故 错误; 在 中,若 , ,则 与 相交或平行,故 错误; 在 中,若 , ,且 , ,则 与 相交或平行,故 错误; 在 中,若 , ,且 ,则线面垂直、面面垂直的性质定理得 ,故 正确. 故选: . 2 8 515a a a+ = − 5 5a∴ = 9 5 9 2 452S a∴ = × = C m n α β γ ( ) / /m α / /n α / /m n α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ m n α β γ A / /m α / /n α m n A B α γ⊥ β γ⊥ α β B C / /m α / /n α m β⊂ n β⊂ α β C D m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ D D 5.(5 分) 的展开式的常数项是    A. B. C.2 D.3 【解答】解:第一个因式取 ,第二个因式取 ,可得 ; 第一个因式取 2,第二个因式取 ,可得 的展开式的常数项是 故选: . 6.(5 分)已知 , , 满足 ,则下列各选项正确的是    A. B. C. D. 【解答】解:依题意,因为 为 上的增函数,所以 ; 应为 为 上的增函数,且 ,所以 , ; 满足 , 所以 ,所以 , 所以 , 又因为 为 的增函数, 所以 , 综上: . 故选: . 7.(5 分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是 2 5 2 1( 2)( 1)x x + − ( ) 3− 2− 2x 2 1 x 4 4 51 ( 1) 5C× × − = 5( 1)− 52 ( 1) 2× − = − 2 5 2 1( 2)( 1)x x ∴ + − 5 ( 2) 3+ − = D 1 11 2x n= 1 2 2x e −= 3x 3 3 xe lnx− = ( ) 1 3 2x x x< < 1 2 3x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < y lnx= (0, )+∞ 1 11 1 02x n ln= < = xy e= R 0xe > 1 2 20 x e −< = 0 1e< = 3x 3 3 xe lnx− = 3 0x > 3 0xe− > 3 0 1lnx ln> = y lnx= (0, )+∞ 3 1x > 1 2 3x x x< < B 一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数 的一种方法.例如:3 可表示为 “ ”,26 可表示为“ ”.现有 6 根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用 这 9 数字表示两位数的个数为    A.13 B.14 C.15 D.16 【解答】解:根据题意,现有 6 根算筹,可以表示的数字组合为 1、5,1、9,2、4,2、8, 6、4,6、8,3、3,3、7,7、7; 数字组合 1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7 中,每组可以表示 2 个两位数,则 可以表示 个两位数; 数字组合 3、3,7、7,每组可以表示 2 个两位数,则可以表示 个两位数; 则一共可以表示 个两位数; 故选: . 8.(5 分)在矩形 中, , , 与 相交于点 ,过点 作 , 垂足为 ,则    A. B. C. D. 【解答】解:建立平面直角坐标系,如图所示; 1~ 9 ≡ =⊥ 1~ 9 ( ) 2 7 14× = 2 2 4× = 12 4 16+ = D ABCD 3AB = 4AD = AC BD O A AE BD⊥ E (AE EC =   ) 72 5 12 25 12 5 144 25 矩形 中, , , 则 , , , ; 直线 的方程为 ; 由 ,则直线 的方程为 ,即 ; 由 ,解得 , , 所以 , , , , 所以 . 故选: . 9.(5 分)函数 图象的大致形状是    A. B. ABCD 3AB = 4AD = (0,3)A (0,0)B (4,0)C (4,3)D BD 3 4y x= AE BD⊥ AE 43 3y x− = − 4 33y x= − + 3 4 4 33 y x y x  =  = − + 36 25 27 25 x y  =  = 36(25E 27)25 36(25AE = 48)25 − 64(25EC = 27)25 − 36 64 48 27 144( ) ( )25 25 25 25 25AE EC = × + − × − =   D 2( ) ( 1)sin1 xf x xe = −+ ( ) C. D. 【解答】解: , 则 , 则 是偶函数,则图象关于 轴对称,排除 , , 当 时, (1) ,排除 , 故选: . 10.(5 分)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若 3 位女生中有且只有两位女生相 邻,则不同排法的种数是    A.36 B.24 C.72 D.144 【解答】解:根据题意,把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素,和剩下的一位女 生, 插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中, 故有 种, 故选: . 11.(5 分)已知函数 ,若方程 的解为 , , 则    A. B. C. D. 【解答】解:因为 , , 2 1( ) ( 1)sin sin1 1 x x x ef x x xe e −= − =+ +  1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1 x x x x x x e e ef x x x x f xe e e − − − − −− = − = − = =+ + +   ( )f x y B D 1x = f 1 sin1 01 e e −= <+  A C ( ) 2 2 2 3 2 3 72A A A = C ( ) sin(2 )6f x x π= − 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < 1 2sin( ) (x x− = ) 3 5 − 4 5 − 2 3 − 3 3 − 0 x π< < ∴ 112 ( , )6 6 6x π π π− ∈ − 又因为方程 的解为 , , , , , 因为 , , , 由 ,得 , , 故选: . 12.(5 分)已知函数 , , ,曲线 上总存在两 点 , , , ,使曲线 在 , 两点处的切线互相平行,则 的取值范围为    A. B. C. D. 【解答】解:函数 ,导数 . 由题意可得 , ,且 . 即有 , 化为 , 而 , 3( ) 5f x = 1x 2 1 2(0 )x x x π< < < ∴ 1 2 2 3 x x π+ = ∴ 2 1 2 3x x π= − ∴ 1 2 1 1 2sin( ) sin(2 ) cos(2 )3 6x x x x π π− = − = − − 1 2 2 1 2, 3x x x x π< = − 10 3x π∴ < < ∴ 12 ( , )6 6 2x π π π− ∈ − ∴ 1 1 3( ) sin(2 )6 5f x x π= − = 1 4cos(2 )6 5x π− = ∴ 1 2 4sin( ) 5x x− = − B 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + [4k ∈ )+∞ ( )y f x= 1(M x 1)y 2(N x 2 )y ( )y f x= M N 1 2x x+ ( ) 8( , )5 +∞ 16( , )5 +∞ 8[ , )5 +∞ 16[ , )5 +∞ 24 4( ) ( ) xf x k lnxk x −= + + 2 4 1 4( ) ( ) 1f x k k x x ′ = + − − 1 2 1( ) ( )(f x f x x′ = ′ 2 0x > 1 2 )x x≠ 2 2 1 1 2 2 4 4 4 41 1 k kk k x x x x + + − − = − − 1 2 1 2 44( ) ( )x x k x xk + = + 21 2 1 2 ( )2 x xx x +< , 化为 对 , 都成立, 令 , , , ,对 , 恒成立, 即 在 , 递增, (4) , , ,即 的取值范围是 , . 故选: . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.(5 分)已知数列 满足 , ,则当 时,    . 【解答】解: 数列 满足 , , , 则 , , , 21 2 1 2 44( ) ( )( )2 x xx x k k +∴ + < + 1 2 16 4x x k k + > + [4k ∈ )+∞ 4( )g k k k = + [4k ∈ )+∞ 2 4( ) 1 0g k k ′ = − > [4k ∈ )+∞ ( )g k [4 )+∞ ( )g k g∴  5= ∴ 16 16 4 5k k +  1 2 16 5x x∴ + > 1 2x x+ 16( 5 )+∞ B { }na 1 1a = 1 11 ( *, 2)n na a a n N n−= + +…+ ∈  1n na = 12n−  { }na 1 1a = 1 11n na a a −= + +…+ *(n N∈ 2)n 0 1 1 2a = = 1 2 2 2a = = 2 3 4 2a = = , 由此可得当 时, . 故答案为: . 14.(5 分)设当 时,函数 取得最大值,则    . 【解答】解: ; 当 时,函数 取得最大值 ; , ; . 故答案为: . 15.(5 分)已知函数 在 处有极小值 10,则  15 . 【解答】解: , 函数 在 处有极小值 10, (1) , (1) , , , 解得 , 或 , , 当 , 时, 3 4 8 2a = = … 1n 12n na −= 12n− x θ= ( ) sin 3cosf x x x= + tan( )4 πθ + = 2 3+ ( ) sin 3cos 2sin( )3f x x x x π= + = +  x θ= ( )f x 2 ,3 2 k k z π πθ π∴ + = + ∈ 26 k πθ π∴ = + k z∈ ∴ 31 3tan( ) tan( 2 ) tan( ) 2 34 6 4 4 6 31 3 k π π π π πθ π + + = + + = + = = + − 2 3+ 3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = a b− = 2( ) 3 2f x x ax b′ = + +  3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = f∴ ′ 0= f 10= 3 2 0a b∴ + + = 21 10a b a+ + + = 4a = 11b = − 3a = − 3b = 4a = 11b = − , 此时 是极小值点; 当 , 时, , 此时 不是极小值点. , , . 故答案:15. 16.(5 分)在三棱锥 中, ,侧面 与底面 垂 直,则三棱锥 外接球的表面积是   . 【解答】解:如图所示,取 的中点 ,连接 , .设 为 的中心, 为三 棱锥 外接球的球心. 连接 , , .取 的中点 ,连接 . 则 为棱锥 外接球的半径. 为矩形. . 三棱锥 外接球的表面积 . 故答案为: . 2( ) 3 8 11 (3 1)( 1)f x x x x x′ = + − = + − 1x = 3a = − 3b = 2 2( ) 3 6 3 3( 1)f x x x x′ = − + = − 1x = 4a∴ = 11b = − 15a b∴ − = S ABC− 2SB SC AB BC AC= = = = = SBC ABC S ABC− 13 3 π BC D SD AD G ABC∆ O S ABC− OG OG OS SD E OE OD S ABC− OEDG 2 2 2 21 1 39( 3) ( 3)3 2 6OD DG DE∴ = + = × + × = ∴ S ABC− 239 134 ( )6 3 ππ= × = 13 3 π 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题,每个试题学生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题: 共 60 分。 17 . ( 12 分 ) 在 锐 角 中 , 角 , , 对 应 的 边 分 别 是 , , , 且 . (1)求角 的大小; (2)若 的面积 , .求 的值. 【解答】解:(1) . ,可得: ,解得: ,或 , 为锐角三角形, , 可得: . (2) ,可得: , 又 ,可得: , ABC∆ A B C a b c 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = A ABC∆ 3 3S = 3b = sinC 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = cos2 cos 1 0A A∴ − + = 22cos cos 0A A− = 1cos 2A = cos 0A = ABC∆ 1cos 2A∴ = ∴ 3A π= 1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc∆ = = =  12bc = 3b = 4c = 在 中,由余弦定理可知, , , 在 中,由正弦定理可知: ,可得: . 18.(12 分)在等比数列 中,公比 ,且满足 , . (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,数列 的前 项和为 ,当 取最大值时,求 的值. 【解答】解:(1) , 可得 , 由 ,即 ,①,由 ,可得 , , 可得 ,即 ,② 由①②解得 舍去), , 则 ; (2) , 可得 , , 则 ABC∆ 2 2 2 12 cos 16 9 2 3 4 25 12 132a b c bc A= + − = + − × × × = − = 13a∴ = ABC∆ sin sin a c A C = 34sin 2 392sin 1313 c AC a × = = = { }na (0,1)q∈ 4 2a = 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = { }na 2logn nb a= { }nb n nS 31 2 1 2 3 nS SS S n + + +…+ n 2 3 2 6 3 72 25a a a a a+ + = 2 2 2 3 3 5 5 3 52 ( ) 25a a a a a a+ + = + = 4 2a = 3 1 2a q = 0 1q< < 1 0a > 0na > 3 5 5a a+ = 2 4 1 1 5a q a q+ = 1 (22q = 1 16a = 1 5116 ( ) 22 n n na − −= = 2 2log log 2n nb a= = 5 5n n− = − 21 9(4 5 )2 2n n nS n n −= + − = 9 2 nS n n −= 1 2 7 941 2 2 2 nSS S n n −+ +…+ = + +…+ , 可得 或 9 时, 取最大值 18. 则 的值为 8 或 9. 19 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 多 面 体 中 , 四 边 形 是 边 长 为 的 菱 形 , , 与 交 于 点 , 平 面 平 面 , , , . (1)求证: 平面 ; (2)若 为等边三角形,点 为 的中点,求二面角 的余弦值. 【解答】证明:(1)如图,取 中点 ,连接 , , 因为 , 所以 , 又因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , 所以 平面 , , 分别为 , 中点, 所以 , 因为 , , 2 21 9 17 1 17 289(4 ) ( )2 2 4 4 2 16 n n nn n − −= + = = − − + 8n = 1 2 1 2 nSS S n + +…+ n ABCDEF ABCD 4 3 3 60BCD∠ = ° AC BD O FBC ⊥ ABCD / /EF AB FB FC= 2 3 3EF = OE ⊥ ABCD FBC∆ Q AE Q BC A− − BC G FG OG FB FC= FG BC⊥ FBC ⊥ ABCD FBC ∩ ABCD BC= FG ⊂ FBC FG ⊥ ABCD O G BD BC / /OG AB 1 2OG AB= 2 3 1 3 2EF AB= = / /EF AB 所以四边形 为平行四边形, 所以 , 所以 平面 . (2)如图,以 所在直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立空间坐 标系, 显然二面角 为锐二面角,设该二面角为 , 向量 ,0, 是平面 的法向量,设平面 的法向量 , , , 由题意可知 , 所以 ,0, , , , , ,0, , ,0, 所以 , , , ,0, , 则 ,即 , 所以 , , , 所以 . EFGO / /OE FG OE ⊥ ABCD AC x BD y OE z Q BC A− − θ (0n = 1) ABC QBC (v x= y 1) sin60 2FG OE BF= = ° = ( 2C − 0) (0B 2 3 3 0) (0E 2) (1Q 1) (1BQ = 2 3 3 − 1) (3CQ = 1) 0 0 v BQ v CQ  = =   2 3 1 03 3 1 0 x y x  − + =  + = 1( 3v = − 3 3 1) | | 1 3 13cos | || | 13131 3 n v n v θ = = = ×    20.(12 分)某种规格的矩形瓷砖 根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷 砖质量 都服从正态分布 ,并把质量在 之外的瓷砖作为废品直 接回炉处理,剩下的称为正品. (Ⅰ)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查,求至少有 1 片是废品的概率; (Ⅱ)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别 为 、 ,则“尺寸误差” 为 ,按行业生产标准,其中 “优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是 , 、 , 、 , (正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 的瓷砖),每片价格分别为 7.5 元、 6.5 元、5.0 元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖,相应 的“尺寸误差”组成的样本数据如下: 尺 寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数 10 30 30 5 10 5 10 (甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表) 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率. (Ⅰ)记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 (元 ,求 的分布列及数学期望 . (Ⅱ)由如图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求 5 片该 规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率. 附 : 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 则 ; , , . (600 600 )mm mm× ( )x kg 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( )a mm ( )b mm ( )mm | 600 | | 600 |a b− + − [0 0.2] [0.2 0.5] [0.5 1.0] 1.0mm ξ ) ξ ( )E ξ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.9974p Zµ σ µ σ− < < + = 100.9974 0.9743≈ 40.8 0.4096= 58 0.32768= 【解答】解:(Ⅰ)由正态分布可知,抽取的一片瓷砖的质量在 之内的概率 为 0.9974 , 则 这 10 片 质 量 全 都 在 之 内 ( 即 没 有 废 品 ) 的 概 率 为 ; 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 ; (3 分) (Ⅱ)(ⅰ)由已知数据,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率, 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 0.7、0.2、0.1; 则 的可能取值为 15,14,12.5,13,11.5,10 元; (4 分) 计算 , , , , , , 得到 的分布列如下: ( 3 , 3 )u uσ σ− + ( 3 , 3 )u uσ σ− + 100.9974 0.9743≈ 1 0.9743 0.0257− = − − − − − − − − ξ − − − − − − − − ( 15) 0.7 0.7 0.49P ξ = = × = ( 14) 0.7 0.2 2 0.28P ξ = = × × = ( 12.5) 0.7 0.1 2 0.14P ξ = = × × = ( 13) 0.2 0.2 0.04P ξ = = × = ( 11.5) 0.2 0.1 2 0.04P ξ = = × × = ( 10) 0.1 0.1 0.01P ξ = = × = ξ 15 14 13 12.5 11.5 10 0.49 0.28 0.04 0.14 0.04 0.01 (6 分) 数学期望为 (元 ; (8 分) (ⅱ)设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有 片“优等”品,则有 片“一级”品, 由已知 ,解得 ,则 取 4 或 5; 故所求的概率为 . (12 分) 21.(12 分)已知函数 . (1)求函数 的单调区间; (2)若存在 成立,求整数 的最小值. 【解答】解:(1)由题意可知, , , 方程 对应的△ , 当△ ,即 时,当 时, , ξ P − − − − − − − − − − − − − ( ) 15 0.49 14 0.28 13 0.04 12.5 0.14 11.5 0.04 10 0.01E ξ = × + × + × + × + × + × 7.35 3.92 0.52 1.75 0.46 0.1= + + + + + 14.1= ) − − − − − − − − − n 5 n− 7.5 6.5(5 ) 36n n+ −  3.5n n 4 4 5 5 0.8 0.2 0.8P C= × × + 0.4096 0.32768= + 0.73728= − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ( ) 1 ( )af x lnx x a a Rx = + − + − ∈ ( )f x ( ) 11, xx f x x x −> + <使 a 0x > 2 2 2 1( ) 1a x x af x x x x − + −′ = − − = 2 0x x a− + − = 1 4a= − 1 4 0a= −  1 4a (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′  在 上单调递减; (2 分) 当 时,方程 的两根为 , 且 , 此时, 在 上 ,函数 单调递增, 在 上 ,函数 单调递减; (4 分) 当 时, , , 此时当 , 单调递增, 当 时, , 单调递减; (6 分) 综上:当 时, , 单调递增, 当 时, 单调递减; 当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递减; (7 分) (2)原式等价于 , 即存在 ,使 成立. 设 , , 则 , (9 分) ( )f x∴ (0, )+∞ … 10 4a< < 2 0x x a− + − = 1 1 4 2 a± − 1 1 4 1 1 40 2 2 a a− − + −< < ( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − ( ) 0f x′ > ( )f x 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x … 0a 1 1 4 02 a− − < 1 1 4 02 a+ − > 1 1 4(0, ), ( ) 02 ax f x + − ′∈ > ( )f x 1 1 4( , )2 ax + −∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x … 0a 1 1 4(0, )2 ax + −∈ ( )f x 1 1 4( , )2 ax + −∈ +∞ ( )f x 10 4a< < ( )f x 1 1 4 1 1 4( , )2 2 a a− − + − 1 1 4 1 1 4(0, ),( , )2 2 a a− − + − +∞ 1 4a ( )f x (0, )+∞ … ( 1) 2 1x a xlnx x− > + − 1x > 2 1 1 xlnx xa x + −> − 2 1( ) 1 xlnx xg x x + −= − 1x > 2 2( ) ( 1) x lnxg x x − −′ = − … 设 , 则 , 在 上单调递增. 又 (3) , (4) , 根据零点存在性定理,可知 在 上有唯一零点, 设该零点为 ,则 ,且 ,即 , (11 分) 由题意可知 ,又 , , 的最小值为 5. (12 分) (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数), 坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线 的极坐标 方程为 . (1)求曲线 和直线 的直角坐标方程; (2)直线 与 轴的交点为 ,经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点,证明: 为定值. 【解答】解:(1)由 , 得曲线 . ( ) 2h x x lnx= − − 1 1( ) 1 0xh x x x −′ = − = > ( )h x∴ (1, )+∞ h 3 3 2 1 3 0ln ln= − − = − < h 4 4 2 2 2 2 0ln ln= − − = − > ( )h x (1, )+∞ 0x 0 (3,4)x ∈ 0 0 0( ) 2 0h x x lnx= − − = 0 02x lnx− = ∴ 0 0 0 0 0 2 1( ) 11min x lnx xg x xx + −= = + …− 0 1a x> + 0 (3,4)x ∈ a Z∈ a∴ … xOy C cos 3sin ( sin 3cos x y α α α α α  = + = − O x l cos( ) 26 πρ θ + = C l l y P P m C A B | | | |PA PB 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − = 2 2: 4C x y+ = 直线 的极坐标方程展开为 , 故 的直角坐标方程为 . (2)显然 的坐标为 ,不妨设过点 的直线方程为 为参数), 代入 得 ,设 , 对应的参数为 , 所以 为定值. [选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.已知函数 . (1)若 时,解不等式 ; (2)若关于 的不等式 在 , 上有解,求实数 的取值范围. 【解答】解:(1)若 时, , 当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 , 当 时,原不等式可化为 得 ,所以 , 当 时,原不等式可化为 解得 ,所以 , 综上述:不等式的解集为 ; (2)当 , 时,由 得 , 即 , 故 得 , l 3 1cos sin 22 2 ρ θ ρ θ− = l 3 4 0x y− − = P (0, 4)− P cos (4 sin x t ty t α α =  = − + 2 2: 4C x y+ = 2 8 sin 12 0t t α− + = A B 1t 2t 1 2| | | | | | 12PA PB t t= = ( ) | 1| | 2 | ( )f x x x m m R= − + + ∈ 2m = ( ) 3f x  x ( ) | 2 3|f x x − [0x∈ 1] m 2m = | 1| | 2 2 | 3x x− + +  1x − 1 2 2 3x x− + − −  4 3x − 4 13 x− −  1 1x− < < 1 2 2 3x x− + +  0x 1 0x− <  1x 1 2 2 3x x− + +  2 3x x∈Φ 4{ | 0}3x x−   [0x∈ 1] ( ) | 2 3|f x x − 1 | 2 | 3 2x x m x− + + − | 2 | 2x m x+ − 2 2 2x x m x− + −  2 2 3x m x− − −  又由题意知: , 即 , 故 的范围为 , . ( 2) (2 3 )min maxx m x− − −  3 2m−   m [ 3− 2]