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- 2021-07-01 发布
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第五节
空间向量及其运算
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
空间直角坐标系与点的坐标
(1)
空间一点
M
的
坐标可以用有序实数组
________
表示
.
(2)
建立了空间直角坐标系
,
空间中的点
M
与有序实数组
(x,y,z)
可以建立
_________
的关系
.
(x,y,z)
一一对应
2.
空间两点间的距离公式、中点公式
(1)
距离公式
:
①
设点
A(x
1
,y
1
,z
1
),B(x
2
,y
2
,z
2
),
则
|AB|=
____________________________
;
②
设点
P(x,y,z),
则与坐标原点
O
之间的距离为
|OP|=____________.
(2)
中点公式
:
设点
P(x,y,z)
为
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
),P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
的中点
,
则
____________.
3.
空间向量中的特殊向量
名称
概念
零向量
模为
__
的向量
单位向量
长度
(
模
)
为
__
的向量
相等向量
方向
_____
且模
_____
的向量
相反向量
方向
_____
且模
_____
的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相
___________
的向量
共面向量
平行于同一个
_____
的向量
0
1
相同
相等
相反
相等
平行或重合
平面
4.
空间向量中的有关定理
语言描述
共线向
量定理
对空间任意两个向量
a
,
b
(
b
≠
0
),
a
∥
b
⇔
存在
λ∈R,
使
a
=λ
b
.
共面向
量定理
若两个向量
a
,
b
不共线
,
则向量
p
与向量
a
,
b
共面
⇔
存在惟一的有序实数对
(x,y),
使
p
=x
a
+y
b
.
空间向
量基本
定理
如果三个向量
a
,
b
,
c
不共面
,
那么对空间任一向量
p
,
存在有序实数组
{x,y,z}
使得
p
=x
a
+y
b
+z
c
.
5.
空间向量的数量积
(1)
两向量的夹角的两个关注点
①共起点的
向量
=
a
, =
b
,
则
______
叫做向量
a
,
b
的夹角
.
②
范围
:0≤<
a
,
b
>≤π
(2)
两个非零向量
a
,
b
的数量积
:
a
·
b
=_______________.
6.
空间向量的坐标表示
设
a
=(a
1
,a
2
,a
3
),
b
=(b
1
,b
2
,b
3
).
∠AOB
|
a
||
b
|cos<
a
,
b
>
向量表示
坐标表示
数量积
a
·
b
_____________
共线
a
=λ
b
(
b
≠
0
,λ∈R)
______________________
垂直
a
·
b
=0
(
a
≠
0
,
b
≠
0
)
_______________
模
|
a
|
夹角
<
a
,
b
>
(
a
≠
0
,
b
≠
0
)
cos<
a
,
b
>=
a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
a
1
=λb
1
,a
2
=λb
2
,a
3
=λb
3
a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
=0
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
空间中任意两个非零向量
a
,
b
共面
. (
)
(2)
空间中任意三个向量都可以作为基底
. (
)
(3)
若
A,B,C,D
是空间任意四点
,
则有
=
0
. (
)
(4)
空间中模相等的两个向量方向相同或相反
. (
)
(5)
两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同
. (
)
提示
:
(1)√.
(2)×.
只有不共面的三个向量才能作基底
.
(3)√.
(4)×.
模相等的两个向量方向可能相同、相反或其他情况
.
(5)×.
两向量夹角的范围为
[0,π],
两异面直线所成角的范围为 它们不相同
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
利用向量加法、减法三角形法则时弄错方向致误
考点一、
T1,3,4
2
混淆共线、共面定理致误
考点二、典例
1,2
3
数量积公式用错致误
考点三、角度
1T1
4
忽视向量夹角范围致误
考点三、
综合创新练
T2
【
教材
·
基础自测
】
1.(
选修
2-1 P89
练习
T3
改编
)
如图所示
,
在平行六面体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,M
为
A
1
C
1
与
B
1
D
1
的交点
.
若 则下列向量中与 相等的向量是
(
)
A.-
a
+
b
+
c
B.
a
+
b
+
c
C.-
a
-
b
+
c
D.
a
-
b
+
c
【
解析
】
选
A.
2.(
选修
2-1 P89
练习
T2
改编
)
已知空间四边形
OABC
中
, =
a
, =
b
, =
c
,
点
M
在
OA
上
,
且
OM=2MA,N
为
BC
中点
,
则
= (
)
A.
a
-
b
+
c
B.-
a
+
b
+
c
C.
a
+
b
-
c
D.
a
+
b
-
c
【
解析
】
选
B.
如图所示
,
3.(
选修
2-1 P91
练习
T6
改编
)
已知
a
=(-2,-3,1),
b
=(2,0,4),
c
=(-4,-6,2),
则下列结论正确的是
(
)
A.
a
∥
c
,
b
∥
c
B.
a
∥
b
,
a
⊥
c
C.
a
∥
c
,
a
⊥
b
D.
以上都不对
【
解析
】
选
C.
因为
c
=(-4,-6,2)=2
a
,
所以
a
∥
c
.
又
a
·
b
=0,
故
a
⊥
b
.
4.(
选修
2-1 P114
习题
3.2T14
改编
)
如图
,
在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,AA
1
=AB=2, AD=1,
点
E,F,G
分别是
DD
1
,AB,CC
1
的中点
,
则异面直线
A
1
E
与
GF
所成的角是
(
)
【
解析
】
选
D.
所以
A
1
E⊥GF.
5.(
选修
2-1 P120
本章测试
T1
改编
)
正四面体
ABCD
的棱长为
2,E,F
分别为
BC,AD
的中点
,
则
EF
的长为
________.
【
解析
】
=1
2
+2
2
+1
2
+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,
所以 所以
EF
的
长为
.
答案
:
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