江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷+Word版含解析 9页

‎2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、填空题 ‎1．设集合A＝xlog‎2‎x<2‎，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A‎∩‎B＝_____________．‎ ‎2．已知复数z=(1+i)(1+3i)‎，其中i是虚数单位，则z的值是_____________．‎ ‎3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．‎ ‎4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．‎ ‎5．如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_____________．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y‎2‎‎=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合，则实数p的值为_____________．‎ ‎7．已知sin(x+π‎4‎)=‎‎3‎‎5‎，则sin2x＝_____________．‎ ‎8．设a＞0，若an＝且数列{an}是递增数列，则实数a的范围是__________．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax‎2‎+‎bx(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线‎2x-7y+3=0‎垂直，则2a＋3b的值是_______．‎ ‎10．若函数f(x)=-‎1‎‎2‎x‎2‎+4x-3lnx在‎[t,t+1]‎上不单调，则t的取值范围是____．‎ ‎11．如下图，在中，．若，则__________．‎ ‎12．已知函数f(x)=‎‎2x+1，x≤0‎lnx‎，x>0‎，则关于x的方程f[f(x)]=3‎的解的个数为_____________．‎ ‎13．已知正数a，b，c满足b‎2‎‎+2(a+c)b-ac=0‎，则ba+c的最大值为_____________．‎ ‎14．若存在正数x，y，使得‎(y-2ex)(lny-lnx)s+x=0‎，其中e为自然对数的底数，则实数s的取值范围是_____________．‎ 二、解答题 ‎15．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：‎ ‎（1）PA∥平面MDB；‎ ‎（2）PD⊥BC．‎ ‎16．已知α∈(0‎，π‎2‎‎)‎，β∈(‎π‎2‎，π)‎，cosβ=-‎‎1‎‎3‎，sin(α+β)=‎‎4-‎‎2‎‎6‎．‎ ‎（1）求tan2β的值；‎ ‎（2）求α的值．‎ ‎17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝‎10‎‎3‎米，记∠BHE＝θ．‎ ‎（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；‎ ‎（2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x‎2‎‎+y‎2‎=4‎与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．‎ ‎（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0‎交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；‎ ‎（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．‎ ‎（图1）（图2）‎ ‎19．设函数f(x)=exx‎3‎-‎3kx-klnx，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）当k≤0时，求f(x)‎的单调区间；‎ ‎（2）若函数f(x)‎在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）证明：对任意给定的实数k，存在x‎0‎(x‎0‎‎>0‎)，使得f(x)‎在区间(x‎0‎，‎+∞‎)上单调递增．‎ ‎20．若数列an同时满足：①对于任意的正整数n，an+1‎‎≥‎an恒成立；②若对于给定的正整数k，an-k‎+an+k=2‎an对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列an是“R(k)数列”．‎ ‎（1）已知an‎=‎‎2n-1，n为奇数‎2n，n为偶数，判断数列an是否为“R(2)数列”，并说明理由；‎ ‎（2）已知数列bn是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得b‎3p-3‎，b‎3p-1‎，b‎3p+1‎，b‎3p+3‎成等差数列，证明：bn是等差数列．‎ ‎21．二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．‎ ‎（1）求矩阵M的逆矩阵M‎-1‎；‎ ‎（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：‎2x-y=4‎，求l的方程．‎ ‎22．在极坐标系中，设圆ρ=3‎上的点到直线ρ(cosθ+‎3‎sinθ)=2‎的距离为d，求d的最大值．‎ ‎23．如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角A—BE—C的余弦值．‎ ‎24．已知fn‎(x)=‎‎(1+x)‎n，n∈‎N‎*‎．‎ ‎（1）若g(x)=f‎4‎(x)+2f‎5‎(x)+3f‎6‎(x)‎，求g(x)‎中含x2项的系数；‎ ‎（2）若pn是fn‎(x)‎展开式中所有无理项的系数和，数列an是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：pn‎(a‎1‎a‎2‎⋯an+1)≥(1+a‎1‎)(1+a‎2‎)⋯(1+an)‎．‎ ‎2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题 数学答案 参考答案 ‎1．{1，2}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A，然后求交集即可.‎ ‎【详解】‎ 集合A＝xlog‎2‎x<2‎‎=‎x‎0＜x<4‎，又B＝{﹣1，0，1，2，4}‎ ‎∴A‎∩‎B＝{1，2}‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．‎ ‎2．‎‎2‎‎5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，‎ ‎∴|z|=‎(-2‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎‎5‎．‎ 故答案为：‎2‎‎5‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3．4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．‎ ‎【详解】‎ 一组数据2，4，5，6，8，‎ 这组数据的平均数x=‎1‎‎5‎‎(2+4+5+6+8)‎=5，‎ 这组数据的方差S2=‎1‎‎5‎[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．‎ ‎4．‎‎3‎‎10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 从2男3女共5名同学中任选2名学生有C‎5‎‎2‎=10种选法；‎ 其中选出的2名都是女同学的有C‎3‎‎2‎=3种选法，‎ ‎∴2名都是女同学的概率为‎3‎‎10‎．‎ 故答案为：‎3‎‎10‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．‎ ‎5．10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，‎ 当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，‎ 当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，‎ 当a=10，b=6时，满足a＞b，‎ 故输出的a值为10，‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．‎ ‎6．2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p‎2‎，0），即可求出p值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1‎ ‎∴右焦点坐标为（1，0）‎ ‎∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎的右焦点重合，‎ 根据抛物线中焦点坐标为（p‎2‎，0），‎ ‎∴p‎2‎‎=1‎，则p=2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．‎ ‎7．﹣‎‎7‎‎25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用sin2x=‎-‎cos（2x+π‎2‎）=2sin2（x+π‎4‎）‎-1‎即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵sin(x+π‎4‎)=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴sin2x=‎-‎cos（2x+π‎2‎）=2sin2（x+π‎4‎）‎-1‎=‎18‎‎25‎﹣1=‎-‎‎7‎‎25‎，‎ 故答案为：﹣‎‎7‎‎25‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎8．2＜a＜3‎ ‎【解析】由{an}是递增数列，得解得∴2＜a＜3‎ ‎9．﹣8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣‎7‎‎2‎，解方程可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=‎2‎‎7‎，‎ ‎∴切线的斜率为﹣‎7‎‎2‎，‎ 曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，‎ ‎∴y′=2ax﹣bx‎2‎，‎ ‎∴‎4a+b‎2‎=-5‎‎4a-b‎4‎=-‎‎7‎‎2‎，‎ 解得：a=﹣1，b=﹣2，‎ 故2a＋3b =﹣8，‎ 故答案为：﹣8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣‎7‎‎2‎，是解答的关键．‎ ‎10．0‎‎0‎，∴‎α+β∈‎‎ π‎2‎，  π ‎∴cosα+β=-‎1-‎sin‎2‎α+β=-‎‎1-‎‎4-‎‎2‎‎6‎‎2‎=‎‎-‎‎4+‎‎2‎‎6‎ 由α=α+β-β得：‎cosα=cosα+β-β=cosα+βcosβ+sinα+βsinβ ‎ = ‎-‎‎4+‎‎2‎‎6‎‎-‎‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎2‎‎3‎‎4-‎‎2‎‎6‎=‎‎2‎‎2‎ ‎∵α∈‎‎0 ，  π∴α=‎π‎4‎.‎ ‎17．（1）L=10×‎sinθ+cosθ+1‎sinθ⋅cosθ，θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎；（2）θ=‎π‎6‎或θ=‎π‎3‎时，L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．‎ ‎（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L=‎20‎t-1‎在[‎3‎‎+1‎‎2‎，‎2‎]上是单调减函数，可求得L的最大值．‎ 所以当t=‎‎3‎‎+1‎‎2‎时，即θ=‎π‎6‎ 或θ=‎π‎3‎ 时，L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎由题意可得EH=‎‎10‎cosθ，FH=‎‎10‎sinθ，EF=‎‎10‎sinθcosθ，由于 BE=10tanθ≤10‎‎3‎，AF=‎10‎tanθ≤10‎‎3‎，‎ 所以‎3‎‎3‎‎≤tanθ≤‎‎3‎，θ∈[π‎6‎,π‎3‎]‎，‎ ‎∴L=‎10‎cosθ+‎10‎sinθ+‎‎10‎sinθcosθ‎，‎θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎ 即L=10×‎sinθ+cosθ+1‎sinθ⋅cosθ，‎θ∈[π‎6‎,π‎3‎].‎ ‎(2)‎设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=‎t‎2‎‎-1‎‎2‎，由于θ∈[π‎6‎,π‎3‎]‎，‎‎∴sinθ+cosθ=t=‎2‎sin(θ+π‎4‎)∈[‎3‎‎+1‎‎2‎,‎2‎].‎ 由于L=‎‎20‎t-1‎在‎[‎3‎‎+1‎‎2‎,‎2‎]‎上是单调减函数，‎ ‎∴‎当t=‎‎3‎‎+1‎‎2‎时，即θ=‎π‎6‎或θ=‎π‎3‎时，L取得最大值为‎20(‎3‎+1)‎米．‎ ‎18．（1）2；（2）证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；‎ ‎（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题设可以得到直线A‎2‎Q的斜率存在设方程为y=kx-2‎(k≠0)‎,‎ 直线A‎1‎Q的方程为y=-‎‎1‎kx+2‎,‎ 由y=kx-2‎y+3=0‎,解得x=2-‎‎3‎ky=-3‎;由y=-‎‎1‎kx+2‎y+3=0‎,解得x=3k-2‎y=-3‎ 所以,直线A‎2‎Q与直线y+3=0‎的交点M‎2-‎3‎k,-3‎ 直线A‎1‎Q与直线y+3=0‎的交点N‎3k-2,-3‎,所以MN=‎‎3k+‎3‎k-4‎.‎ 当k>0‎时, MN=‎3k+‎3‎k-4‎≥6-4=2‎,等号成立的条件是k=1‎ 当k<0‎时, MN=‎3k+‎3‎k-4‎≥‎4-‎‎-6‎=10‎,等号成立的条件是k=-1‎.‎ 故线段MN长的最小值是2. ‎ ‎(2)法1:由题意可知A‎1‎‎-2,0‎‎,A‎2‎‎2,0‎,B‎1‎‎0,-2‎,‎B‎2‎‎0,2‎,‎ A‎2‎P的斜率为k,∴直线A‎2‎P的方程为y=kx-2‎,由y=kx-2‎,‎x‎2‎‎+y‎2‎=4‎得P‎2k‎2‎-2‎k‎2‎‎+1‎‎,‎‎-4kk‎2‎‎+1‎ 则直线B‎2‎P的方程为y=-k+1‎k-1‎x+2‎,令y=0‎,则x=‎‎2‎k-1‎k+1‎,即F‎2‎k-1‎k+1‎‎,0‎ ‎∵直线A‎1‎B‎2‎的方程为x-y+2=0‎,由x-y+2=0‎y=kx-2‎解得x=‎‎2k+2‎k-1‎y=‎‎4kk-1‎ ‎∴E‎2k+2‎k-1‎‎,‎‎4kk-1‎，‎ ‎∴EF的斜率m=‎4‎k-1‎‎2k+2‎k-1‎‎-‎‎2‎k-1‎k+1‎=‎k+1‎‎2‎,‎ ‎∴‎2m-k=2k+1‎‎2‎-k=1‎ (定值). ‎ 法2:设Pxo‎,‎yo, x‎0‎‎≠0,x‎0‎≠±2‎,‎ k=kA2P=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎‎,‎ 所以A‎2‎P直线方程: ‎y=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎x-2‎ A‎1‎B‎2‎‎:直线方程y=x+2‎,‎ 则y=‎y‎0‎x‎0‎‎-2‎x-2‎y=x+2‎,得E‎2x‎0‎+2y‎0‎-4‎‎-x‎0‎+y‎0‎+2‎‎,‎‎4‎y‎0‎‎-x‎0‎+y‎0‎+2‎ 而PB‎2‎:y=y‎0‎‎-2‎x‎0‎x+2‎,得F‎2‎x‎0‎‎2-‎y‎0‎‎,0‎ m=kEF=‎4y‎0‎-2‎y‎0‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎-y‎0‎‎2‎-2x‎0‎y‎0‎+4y‎0‎-4‎=‎y‎0‎‎2‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+x‎0‎y‎0‎-2‎y‎0‎‎,‎ 则‎2m-k=y‎0‎‎2‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+x‎0‎y‎0‎-2‎y‎0‎-y‎0‎x‎0‎‎-2‎=x‎0‎y‎0‎‎2‎‎-2y‎0‎‎2‎-y‎0‎‎3‎-4x‎0‎y‎0‎+8‎y‎0‎x‎0‎y‎0‎‎2‎‎-2y‎0‎‎2‎-y‎0‎‎3‎-4x‎0‎y‎0‎+8‎y‎0‎=1‎（定值）。‎ ‎【点睛】‎ 求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎19．（1）单调递减区间为（0,3），单调递增区间为‎3,+∞‎；（2）e‎2‎‎4‎‎,‎e‎3‎‎9‎；（3）证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）f′（x）=x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎．分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可；‎ ‎（2）函数f（x）在（1,3）内存在两个极值点，⇔ex‎-kx‎2‎=0‎有两个实数根．化为gx=exx‎2‎-k，x∈‎‎1,3‎，因此gx在‎1,3‎内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值即可；‎ ‎（3）令hx=‎exx‎3‎，得h'x=‎exx-3‎x‎4‎，hx在‎3,+∞‎上单调递增，进而分析可得结果.‎ ‎【详解】‎ fx=exx-3‎x‎4‎+k‎3‎x‎2‎‎-‎‎1‎x=k‎3-xx‎2‎=‎x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎‎,‎ ‎（1）当k≤0‎时，ex‎-kx‎2‎>0‎对任意的x>0‎都成立.‎ 所以，当x>3‎时，f'x>0‎；当‎00‎，所以gx在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又g‎2‎=e‎2‎‎4‎-k，g‎3‎=e‎3‎‎9‎-k0‎，即e‎2‎‎4‎‎0‎，当x∈(x2,，3)，fx<0‎，满足条件.‎ 所以k的取值范围为e‎2‎‎4‎‎,‎e‎3‎‎9‎‎.‎ ‎(3)令hx=‎exx‎3‎，得h'x=‎exx-3‎x‎4‎，当x≥3‎时，h'x≥0‎，当且仅当x=3‎时等号成立，‎ 所以，hx在‎3,+∞‎上单调递增，‎ 所以，当x>3‎时，hx>h‎3‎h‎3‎=e‎3‎‎27‎>0‎，及ex‎>h‎3‎x‎3‎，‎ 当x>3‎时，fx=x-3‎ex‎-kx‎2‎x‎4‎>x-3‎h‎3‎x‎3‎-kx‎2‎x‎4‎=‎x-3‎h‎3‎x-kx‎2‎.‎ 设x‎0‎为3和kh‎3‎中较大的数，则当x>‎x‎0‎时，fx>0‎，‎ 所以对任意给定的实数k，存在x‎0‎x‎0‎‎>0‎，式得dx在区间x‎0‎‎,+∞‎上单调递增.‎ ‎20．（1）是（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列‎{bn}‎通项，根据等差数列证结论 试题解析：（1）当n为奇数时，an+1‎‎-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0‎，所以an+1‎‎≥‎an.‎ an-2‎‎+an+2‎=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2‎an‎.‎ 当n为偶数时，an+1‎‎-an=(2n+1)-2n=1>0‎，所以an+1‎‎≥‎an.‎ an-2‎‎+an+2‎=2(n-2)+2(n+2)=4n=2‎an‎.‎ 所以，数列‎{an}‎是“R(2)‎数列”.‎ ‎（2）由题意可得：bn-3‎‎+bn+3‎=2‎bn，‎ 则数列b‎1‎，b‎4‎，b‎7‎，‎⋅⋅⋅‎是等差数列，设其公差为d‎1‎，‎ 数列b‎2‎，b‎3‎，b‎8‎，‎⋅⋅⋅‎是等差数列，设其公差为d‎2‎，‎ 数列b‎3‎，b‎6‎，b‎9‎，‎⋅⋅⋅‎是等差数列，设其公差为d‎3‎.‎ 因为bn‎≤‎bn+1‎，所以b‎3n+1‎‎≤b‎3n+2‎≤‎b‎3n+4‎，‎ 所以b‎1‎‎+nd‎1‎≤b‎2‎+nd‎2‎≤b‎1‎+(n+1)‎d‎1‎，‎ 所以n(d‎2‎-d‎1‎)≥b‎1‎-‎b‎2‎①，n(d‎2‎-d‎1‎)≤b‎1‎-b‎2‎+‎d‎1‎②.‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎<0‎，则当n>‎b‎1‎‎-‎b‎2‎d‎2‎‎-‎d‎1‎时，①不成立；‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎>0‎，则当n>‎b‎1‎‎-b‎2‎+‎d‎1‎d‎2‎‎-‎d‎1‎时，②不成立；‎ 若d‎2‎‎-d‎1‎=0‎，则①和②都成立，所以d‎1‎‎=‎d‎2‎.‎ 同理得：d‎1‎‎=‎d‎3‎，所以d‎1‎‎=d‎2‎=‎d‎3‎，记d‎1‎‎=d‎2‎=d‎3‎=d.‎ 设b‎3p-1‎‎-b‎3p-3‎=b‎3p+1‎-b‎3p-1‎=b‎3p+3‎-b‎3p+1‎=λ，‎ 则b‎3n-1‎‎-b‎3n-2‎=b‎3p-1‎+(n-p)d-(b‎3p+1‎+(n-p-1)d)‎ ‎=b‎3p-1‎-b‎3p+1‎+d=d-λ‎.‎ 同理可得：b‎3n‎-b‎3n-1‎=b‎3n+1‎-b‎3n=d-λ，所以bn+1‎‎-bn=d-λ.‎ 所以‎{bn}‎是等差数列.‎ ‎【另解】λ=b‎3p-1‎-b‎3p-3‎=b‎2‎+(p-1)d-(b‎3‎+(p-2)d)=b‎2‎-b‎3‎+d，‎ λ=b‎3p+1‎-b‎3p-1‎=b‎1‎+pd-(b‎2‎+(p-1)d)=b‎1‎-b‎2‎+d‎，‎ λ=b‎3p+3‎-b‎3p+1‎=b‎3‎+pd-(b‎1‎+pd)=b‎3‎-‎b‎1‎‎，‎ 以上三式相加可得：‎3λ=2d，所以λ=‎2‎‎3‎d，‎ 所以b‎3n-2‎‎=b‎1‎+(n-1)d=b‎1‎+(3n-2+1)‎d‎3‎，‎ b‎3n-1‎‎=b‎2‎+(n-1)d=b‎1‎+d-λ+(n-1)d=b‎1‎+(3n-1-1)‎d‎3‎‎，‎ b‎3n‎=b‎3‎+(n-1)d=b‎1‎+λ+(n-1)d=b‎1‎+(3n-1)‎d‎3‎‎，‎ 所以bn‎=b‎1‎+(n-1)‎d‎3‎，所以bn+1‎‎-bn=‎d‎3‎，‎ 所以，数列‎{bn}‎是等差数列.‎ ‎21．（1）M‎-1‎‎=‎‎-2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎；（2）x+4=0‎。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）M=‎abcd，由已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．可构造关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组可得矩阵M，进而得到矩阵M的逆矩阵M﹣1；‎ ‎（2）由（1）中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m：2x﹣y=4，构造关于x，y的关系式，整理后可得l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设M=‎abcd，则有abcd‎1‎‎-1‎‎=‎-1‎‎-1‎ ， abcd‎-2‎‎1‎=‎‎0‎‎-2‎，‎ 所以a-b=-1‎c-d=-1‎‎，且‎-2a+b=0‎‎-2c+d=-2‎，‎ 解得a=1‎b=2‎c=3‎d=4‎ 所以M=‎‎1‎‎2‎‎3‎‎4‎，从而M‎-1‎‎=‎‎-2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎. ‎ ‎（2）因为x'‎‎　y'‎=‎‎1‎‎2‎‎3‎‎4‎xy，且m:2x'-y'=4‎，‎ 所以‎2x+2y-‎3x+4y=4‎，即x+4=0‎，这就是直线l的方程。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．‎ ‎22．4‎ ‎【解析】‎ 将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x2＋y2＝9.‎ 极坐标方程ρ(cosθ＋‎3‎sinθ)＝2化为普通方程，得直线：x＋‎3‎y＝2.‎ 在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)．‎ 则点A到直线的距离为d＝‎|3cosα＋3‎3‎sinα－2|‎‎2‎‎＝‎‎|6sin（α＋30°）－2|‎‎2‎，‎ ‎∴所求d的最大值为4.‎ ‎23．（1）‎2‎‎5‎；（2）‎-‎‎2‎‎3‎。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；‎ ‎（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，‎ 则有A‎0,0,1‎，B‎2,0,0‎，C‎0,2,0‎，E‎0,1,0‎.‎ EB‎=‎2,0,0‎-‎0,1,0‎=‎‎2,-1,0‎‎，‎ AC‎=‎‎0,2,-1‎‎. ‎ cos=‎-2‎‎5‎‎⋅‎‎5‎=-‎‎2‎‎5‎‎. ‎ 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是‎2‎‎5‎. ‎ ‎（2）AB‎=‎2,0,-1‎ ， AE=‎‎0,1,-1‎.‎ 设平面ABE的法向量为n‎1‎‎=‎x,y,z，‎ 则由n‎1‎‎⊥AB ， n‎1‎⊥‎AE，得‎2x-z=0,‎y-z=0.‎ 取n‎1‎‎=‎‎1,2,2‎.‎ 同理可得平面BEC的一个法向量为n‎2‎‎=‎‎0,0,1‎，‎ cos=n‎1‎‎⋅‎n‎2‎n‎1‎‎⋅‎n‎2‎=‎2‎‎1+4+4‎=‎‎2‎‎3‎‎. ‎ 由于二面角A-BE-C的平面角是n‎1‎与n‎2‎的夹角的补角，其余弦值是‎-‎‎2‎‎3‎.‎ ‎24．（1）56；（2）证明见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；‎ ‎（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+1时成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）gx=f‎4‎x+2f‎5‎x+3f‎6‎x=‎1+‎x‎4‎+2‎1+‎x‎5‎+3‎‎1+‎x‎6‎，‎ ‎∴gx中含x‎2‎项的系数为C‎4‎‎4‎‎+2C‎5‎‎4‎+3C‎6‎‎4‎=1+10+45=56‎. ‎ ‎（2）证明：由题意，pn‎=‎‎2‎n-1‎. ‎ ‎①当n=1‎时，p‎1‎a‎1‎‎+1‎‎=a‎1‎+1‎，成立；‎ ‎②假设当n=k时，pka‎1‎a‎2‎‎⋯ak+1‎‎≥‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎⋯‎‎1+‎ak成立，‎ 当n=k+1‎时，‎‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎‎⋯‎1+‎ak‎1+‎ak+1‎≤‎‎2‎k-1‎a‎1‎a‎2‎‎⋯ak+1‎‎1+‎ak+1‎ ‎=‎2‎k-1‎a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+a‎1‎a‎2‎⋯ak+ak+1‎+1‎.‎‎*‎‎,‎ ‎∵ak‎>1‎，a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎‎-1‎≥ak+1‎-1‎，即a‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+1≥a‎1‎a‎2‎⋯ak+‎ak+1‎，‎ 代入（*）式得‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎‎⋯‎1+‎ak‎1+‎ak+1‎≤‎‎2‎ka‎1‎a‎2‎‎⋯akak+1‎+1‎成立.‎ 综合①②可知，pna‎1‎a‎2‎‎⋯an+1‎‎≥‎1+‎a‎1‎‎1+‎a‎2‎⋯‎‎1+‎an对任意n∈‎N‎*‎成立.‎