【数学】2020届一轮复习苏教版专题三第一讲小题考法——解析几何中的基本问题学案 13页

[江苏卷 5 年考情分析] 小题考情分析 大题考情分析 常考点 1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5 年 4 考) 2.圆锥曲线的方程及几何性质(5 年 5 考) 偶考点 直线的方程、圆的方程 　　主要考查直线与椭圆(如 2014 年、2015 年、2017 年、2018 年)的位置关系、弦长问 题、面积问题等；有时也考查直线与圆(如 2016 年)，常与向量结合在一起命题. 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 考点(一) 直线、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算. [题组练透] 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为____________． 解析：由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－ 1 kPQ＝1.又直线 l 经过 PQ 的中点(2,3)， 所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 2．(2018·南通一模)已知圆 C 过点(2， 3)，且与直线 x－ 3y＋3＝0 相切于点(0， 3)，则圆 C 的方程为____________． 解析：设圆心为(a，b)， 则Error! 解得 a＝1，b＝0，r＝2. 即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案：(x－1)2＋y2＝4 3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系 xOy 中， 若动圆 C 上的点都在不等式组Error!，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程 为____________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大 的圆 C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆 C 的圆心在 x 轴上，设半径为 r，则圆心 C(3－r,0)，且它与直线 x－ 3y＋3＝0 相切，所以|3－r＋3| 1＋3 ＝r，解得 r＝2，所以面积最大的 圆 C 的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案：(x－1)2＋y2＝4 [方法技巧] 1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法 先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题 设条件构建方程，求出待定系数 2.圆的方程的两种求法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 考点(二) 直线与圆、圆与圆的位置关系 　主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系， 以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值 与范围问题. [典例感悟] [典例]　(1)(2018·无锡期末)过圆 x 2＋y2＝16 内一点 P(－2,3)作两条相互垂直的弦 AB 和 CD，且 AB＝CD，则四边形 ACBD 的面积为________． (2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－4,0)，B(0,4)，从直线 AB 上一点 P 向圆 x2＋y2＝4 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D.设线段 CD 的中点为 M，则线段 AM 长的最大值为________． [解析]　(1)设 O 到 AB 的距离为 d1，O 到 CD 的距离为 d2，则由垂径定理可得 d21＝r2－ (AB 2 )2，d22＝r2－(CD 2 )2，由于 AB＝CD，故 d1＝d2，且 d1＝d2＝ 2 2 OP＝ 26 2 ，所以 (AB 2 )2＝r2－d21＝16－13 2 ＝19 2 ，得 AB＝ 38，从而四边形 ACBD 的面积为 S＝1 2AB×CD＝ 1 2× 38× 38＝19. (2)法一：(几何法) 因为直线 AB 的方程为 y＝x＋4，所以可设 P(a，a＋4)，C(x1，y1)， D(x2，y2)，所以 PC 的方程为 x1x＋y1y＝4，PD 的方程为 x2x＋y2y＝4，将 P(a，a＋4)分别代 入 PC，PD 的方程，得Error!则直线 CD 的方程为 ax＋(a＋4)y＝4，即 a(x＋y)＝4－4y，所 以直线 CD 过定点 N(－1,1)， 又因为 OM⊥CD，所以点 M 在以 ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以 ON 为直径的 圆的方程为 (x＋1 2 )2＋(y－1 2 )2＝1 2，所以 AM 的最大值为 (－4＋1 2)2＋(1 2 )2＋ 2 2 ＝3 2. 法二：(参数法) 因为直线 AB 的方程为 y＝x＋4，所以可设 P(a，a＋4)，同法一可知直 线 CD 的方程为 ax＋(a＋4)y＝4，即 a(x＋y)＝4－4y，得 a＝4－4y x＋y .又因为 O，P，M 三点共 线，所以 ay－(a＋4)x＝0，得 a＝ 4x y－x.因为 a＝4－4y x＋y ＝ 4x y－x，所以点 M 的轨迹方程为 (x＋1 2 ) 2＋(y－1 2 )2＝1 2(除去原点)，所以 AM 的最大值为 (－4＋1 2)2＋(1 2 )2＋ 2 2 ＝3 2. 　　[答案]　(1)19　(2)3 2 [方法技巧] 解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻 找解题途径，减少运算量． (2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边 大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解． (3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转 化为直线与圆、圆与圆的位置关系． [演练冲关] 1．已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l：x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点，若圆 M 上存在两点 B，C，使得∠BAC＝60°，则点 A 的横坐标的取值范围是________． 解析：由题意知，直线 l 与圆 M 相离，所以点 A 在圆 M 外．设 AP，AQ 分别与圆 M 相 切于点 P，Q，则∠PAQ≥∠BAC＝60°，从而∠MAQ≥30°.因为 MQ＝2，所以 MA≤4.设 A(x0,6－x0)，则 MA2＝(x0－1)2＋(6－x0－1)2≤16，解得 1≤x0≤5. 答案：[1,5] 2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C 1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存 在点 P，且点 P 关于直线 x－y＝0 的对称点 Q 在圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1 上，则 r 的取值 范围是________． 解析：设圆 C1 上存在点 P(x0，y0)满足题意，点 P 关于直线 x－y＝0 的对称点 Q(y 0，x0)， 则Error!故只需圆 x2＋(y－1)2＝r2 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 有交点即可，所以|r－1|≤ (1－0)2＋(2－1)2≤r＋1，解得 2－1≤r≤ 2＋1. 答案：[ 2－1， 2＋1] 3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3,0)在圆 C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0 内， 动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为 16，则实数 m 的取 值范围为________. 解析：圆 C 的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，圆心为 C(m,2)，半径为 4 2，当△ABC 的面积的最大值为 16 时，∠ACB＝90°，此时 C 到 AB 的距离为 4，所以 4≤CP＜4 2，即 16≤(m－3)2＋(0－2)2＜32，解得 2 3≤|m－3|＜2 7，即 m∈(3－2 7，3－2 3]∪[3＋2 3， 3＋2 7)． 答案：(3－2 7，3－2 3 ]∪[3＋2 3，3＋2 7) 4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为圆 C：(x＋ 4)2＋(y－a)2＝16 上的两个动点，且 AB＝2 11.若直线 l：y＝2x 上存在唯一的一个点 P，使 得 PA ―→ ＋ PB ―→ ＝ OC ―→ ，则实数 a 的值为________． 解析：法一：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，P(x，y)，则由 AB＝2 11，得 CM＝ 16－11 ＝ 5，即点 M 的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为 PA ―→ ＋ PB ―→ ＝ OC ―→ ，所以 PM ―→ ＝1 2 OC ―→ ，即(x0－x，y0－y)＝(－2，a 2)，从而Error!则动点 P 的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－a 2 )2＝ 5，又因为直线 l 上存在唯一的一个点 P，所以直线 l 和动点 P 的轨迹(圆)相切，则 |－4－a 2| 22＋(－1)2 ＝ 5，解得 a＝2 或 a＝－18. 法二：由题意，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝ 16－11＝ 5，则 AB 中点 M 的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由 PA ―→ ＋ PB ―→ ＝ OC ―→ ， 得 2 PM ―→ ＝ OC ―→ ，所以PM ―→ ∥ OC ―→ .如图，连结 CM 并延长交 l 于点 N，则 CN＝2CM＝2 5.故问题转化为直线 l 上存在唯一的一个点 N，使 得 CN＝2 5，所以点 C 到直线 l 的距离为|2 × (－4)－a| 22＋(－1)2 ＝2 5，解得 a＝2 或 a＝－18. 答案：2 或－18 考点(三) 圆锥曲线的方程及几何性质 　　主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及 几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的 几何性质为主. [题组练透] 1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝8x 的焦点， 则点 F 到双曲线x2 16－y2 9＝1 的渐近线的距离为________． 解析：抛物线的焦点 F(2,0)，双曲线的渐近线方程为 y＝±3 4x，不妨取 y＝3 4x，即 3x－4y ＝0，所以焦点 F 到渐近线的距离为 |6| 32＋(－4)2 ＝6 5. 答案：6 5 2．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1， B2 分别为椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右 焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是________． 解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以 B2F ―→ ＝(c，－b)， AB1―→ ＝(－a，－b)，因为 B2F⊥AB1，所以 B2F ―→ · AB1―→ ＝0，即 b2＝ac，所以 c2＋ac－a2＝0，e2＋ e－1＝0，又椭圆的离心率 e∈(0,1)，所以 e＝ 5－1 2 . 答案： 5－1 2 3．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 3－y2＝1 的右准线与它的两条渐 近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是________． 解析：由题意得，双曲线的右准线 x＝ 3 2与两条渐近线 y＝± 3 3 x 的交点坐标为 (3 2， ± 3 2 ). 不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2， 则 F1(－2,0)，F2(2,0)， 故四边形 F1PF2Q 的面积是 1 2|F1F2|·|PQ|＝1 2×4× 3＝2 3. 答案：2 3 4．(2018·常州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：x＋y＋1＝0 与双曲线 C：x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率 e 的取值 范围是________． 解析：双曲线的渐近线分别为 y＝b ax，y＝－b ax，依题意有－b a>－1，即 b1，所以 e 的取值范围是(1， 2)． 答案：(1， 2) [方法技巧] 应用圆锥曲线的性质的两个注意点 (1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出 的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式 求得离心率的值或范围． [必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的位置关系 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0； (2)重合⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1＝0； (3)相交⇔A1B2－A2B1≠0； (4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法 由弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. (2)代数法 设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将直线方程代入圆方程中，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，求出 x1＋x2 和 x1·x2，则|MN|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1·x2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法 即通过判断两圆心距离 O1O2 与两圆半径 R，r(R>r)的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O1O2>R＋r； (2)外切：O1O2＝R＋r； (3)相交：R－r0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的 关系． (二) 二级结论要用好 1．过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2. 2.过圆 C 外一点 P 做圆 C 的切线，切点分别为 A，B(求切线时要注意 斜率不存在的情况)如图所示，则 (1)P，B，C，A 四点共圆，且该圆的直径为 PC； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2 ＝sin ∠BPA 2 ＝ r PC； (4)直线 AB 的方程可以转化为圆 C 与以 PC 为直径的圆的公共弦，且 P(x0，y0)时，直线 AB 的方程为 x0x＋y0y＝r2. 3．椭圆焦点三角形的 3 个规律 设椭圆方程是x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)，点 P 的坐标是(x0，y0)． (1)三角形的三个边长是 PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF1F2 中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积 S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan α 2. (3)椭圆的离心率 e＝ sin∠F1PF2 sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P. 4．双曲线焦点三角形的 2 个结论 P(x0，y0)为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2 为焦点三角形． (1)面积公式 S＝c|y0|＝1 2r1r2sin θ＝ b2 tan θ 2 (其中 PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)． (2)焦半径 若 P 在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若 P 在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ ex0＋a. 5．抛物线 y2＝2px(p>0)焦点弦 AB 的 3 个结论 (1)xA·xB＝p2 4 ； (2)yA·yB＝－p2； (3)AB＝xA＋xB＋p. [课时达标训练] A 组——抓牢中档小题 1．若直线 l1：mx＋y＋8＝0 与 l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0 垂直，则 m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1 2．已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝ 0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的方程为____________． 解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a＞0，所以圆心到直线 2x－y ＝0 的距离 d＝ 2a 5 ＝4 5 5 ，解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 22＋( 5)2＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(x－2)2＋y2＝9 3．(2018·镇江期末)已知双曲线x2 a2－y2＝1 的左焦点与抛物线 y2＝－12x 的焦点重合，则 双曲线的右准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以 a2＝9－1＝8，所以双 曲线的右准线方程为 x＝8 3. 答案：x＝8 3 4．已知直线 l 过点 P(1,2)且与圆 C：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点，△ABC 的面积为 1， 则直线 l 的方程为________． 解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为 y＝k(x－1)＋2，即 kx－y－k＋2＝0.因为 S△ ABC＝1 2CA·CB·sin∠ACB＝1，所以 1 2× 2× 2×sin∠ACB＝1，所以 sin∠ACB＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心 C 到直线 AB 的距离为 1，所以|－k＋2| k2＋1 ＝1，解得 k＝3 4，所以直线方程为 3x －4y＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为 x＝1，经检验符合题意．综上所述，直线 l 的方程为 3x－4y＋5＝0 或 x＝1. 答案：3x－4y＋5＝0 或 x＝1 5．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2 的直 线 l 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为__________． 解析：因为△AF1B 的周长为 4 3，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝ 4a＝4 3，所以 a＝ 3.又因为椭圆的离心率 e＝c a＝ 3 3 ，所以 c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2， 所以椭圆 C 的方程为x2 3＋y2 2＝1. 答案：x2 3＋y2 2＝1 6．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1 上存在点 M， 使得点 M 关于 x 轴的对称点 N 在直线 kx＋y＋3＝0 上，则实数 k 的最小值为________． 解析：圆(x－2)2＋(y－2)2＝1 关于 x 轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得， 圆心(2，－2)到直线 kx＋y＋3＝0 的距离 d＝|2k－2＋3| k2＋1 ≤1，解得－4 3≤k≤0，所以实数 k 的 最小值为－4 3. 答案：－4 3 7．已知以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M，N，椭圆的 左焦点为 F1，且直线 MF1 与此圆相切，则椭圆的离心率 e＝________. 解析：因为圆的半径 r＝c，在 Rt△F1F2M 中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝ 3c，所 以 2a＝|F1M|＋|F2M|＝( 3＋1)c，离心率 e＝2c 2a＝ 2c 3c＋c ＝ 3－1. 答案： 3－1 8．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的 圆(x－1)2＋(y－a)2＝16 相交于 A，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是________． 解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且 AC＝BC＝4，AB＝4 2， ∴圆心 C 到直线 ax＋y－2＝0 的距离 d＝ 42－(2 2)2＝2 2， ∴|a＋a－2| a2＋1 ＝2 2，解得 a＝－1. 答案：－1 9．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线 与圆 x2＋y2－6y＋5＝0 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析：由圆 x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为 x2＋(y－3)2＝4，所以圆心 C(0,3)，半 径 r＝2.因为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线 bx±ay＝0 与该圆没有公共点，则圆心到直 线的距离应大于半径，即|b × 0 ± a × 3| b2＋a2 >2，即 3a>2c，即 e＝c a<3 2，又 e>1，故双曲线离心 率的取值范围是(1，3 2 ). 答案：(1，3 2 ) 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋(y－3)2＝2，点 A 是 x 轴上的一个动点， AP，AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围是________． 解析：设∠PCA＝θ，所以 PQ＝2 2sin θ.又 cos θ＝ 2 AC，AC∈[3，＋∞)，所以 cos θ∈ (0， 2 3 ]，所以 cos2θ∈(0，2 9 ]，sin2θ＝1－cos2θ∈[7 9，1 )，所以 sin θ∈[ 7 3 ，1)，所以 PQ ∈[2 14 3 ，2 2). 答案：[2 14 3 ，2 2) 11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x2－y2 b2 ＝1(b＞0) 的两条渐近线与圆 O：x2＋y2＝2 的四个交点依次为 A，B，C，D.若矩形 ABCD 的面积为 b，则 b 的值为________． 解析：由题意知，双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±bx，如图所示，两 条渐近线与圆 O 的四个交点为 A，B，C，D.不妨设点 B 的坐标为(m， n)，则Error!解得 m2＝ 2 b2＋1，而矩形 ABCD 的面积为 2m×2n＝4mn＝ 4bm2＝4b × 2 b2＋1 ＝b，解得 b＝ 7. 答案： 7 12．(2018·苏锡常镇调研)已知直线 l：x－y＋2＝0 与 x 轴交于点 A，点 P 在直线 l 上．圆 C：(x－2) 2＋y2＝2 上有且仅有一个点 B 满足 AB⊥BP，则点 P 的横坐标的取值集合为 ________． 解析：法一：由 AB⊥BP，得点 B 在以 AP 为直径的圆 D 上，所以圆 D 与圆 C 相切． 由题意得 A(－2,0)，C(2,0)．若圆 D 与圆 C 外切，则 DC－DA＝ 2；若圆 D 与圆 C 内 切，则 DA－DC＝ 2.所以圆心 D 在以 A，C 为焦点的双曲线x2 1 2 －y2 7 2 ＝1 上，即 14x2－2y2＝ 7.又点 D 在直线 l 上，由Error!得 12x2－8x－15＝0，解得 xD＝3 2或 xD＝－5 6.所以 xP＝2xD－xA ＝2xD＋2＝5 或 xP＝1 3. 法二：由题意可得 A(－2,0)，设 P(a，a＋2)，则 AP 的中点 M (a－2 2 ，a＋2 2 )，AP＝ 2(a＋2)2，故以 AP 为直径的圆 M 的方程为 (x－a－2 2 )2＋(y－a＋2 2 )2＝(|a＋2| 2 )2.由题意得 圆 C 与圆 M 相切(内切和外切)，故 (a－2 2 －2)2＋(a＋2 2 )2＝| 2 ± |a＋2| 2 |，解得 a＝1 3或 a＝5.故点 P 的横坐标的取值集合为{1 3，5 }. 答案：{1 3，5 } 13．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于 A，B 两点．若△ FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为 ab，则椭圆的离心率为________． 解析：设直线 x＝m 与 x 轴交于点 H，椭圆的右焦点为 F1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为 2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因为 F1A≥AH，故当 F1A＝AH 时，△FAB 的周长 最大，此时直线 AB 经过右焦点，从而点 A，B 坐标分别为(c，b2 a )，(c，－b2 a )，所以△FAB 的面积为1 2·2c· 2b2 a ，由条件得1 2·2c· 2b2 a ＝ab，即 b2＋c2＝2bc，b＝c，从而椭圆的离心率为 e＝ 2 2 . 答案： 2 2 14．已知 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝ 1 上的动点，则| PA ―→ ＋ PB ―→ |的取值范围为________． 解析：因为 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，所以 线段 AB 的中点 H 在圆 O：x2＋y2＝1 4上，且| PA ―→ ＋ PB ―→ |＝2| PH ―→ |. 因为点 P 是圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，所以 5－3 2≤| PH ―→ |≤5 ＋ 3 2，即 7 2≤| PH ―→ |≤13 2 ，所 以 7≤2| PH ―→ |≤13 ，从 而 | PA ―→ ＋ PB ―→ | 的 取 值 范 围 是 [7,13]． 答案：[7,13] B 组——力争难度小题 1．已知点 P 是圆 C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0 上的一点，直线 l：3x－4y－5＝0.若点 P 到 直线 l 的距离为 2，则符合题意的点 P 有________个． 解析：由题意知圆 C 的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线 l 的距 离 d＝|－6－12－5| 5 ＝23 5 ∈(4,5)，故满足题意的点 P 有 2 个． 答案：2 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．若∠MAN＝60°，则 C 的离 心率为________． 解析：双曲线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方程为 y＝b ax，即 bx－ay＝0，则圆心 A 到此渐近线的距离 d＝|ba－a × 0| b2＋a2 ＝ab c .又因为∠MAN＝60°，圆的半径为 b，所以 b·sin 60°＝ ab c ，即 3b 2 ＝ab c ，所以 e＝ 2 3 ＝2 3 3 . 答案：2 3 3 3．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝k(x－3 3)上存在一点 P，圆 x2＋(y－1)2＝1 上存在一点 Q，满足 OP ―→ ＝3 OQ ―→ ，则实数 k 的最小值为________． 解析：设点 P(x，y)，由 OP ―→ ＝3 OQ ―→ ，可得 Q(x 3，y 3 ).又点 Q 在圆 x2＋(y－1)2＝1 上， 可得 (x 3 )2＋(y 3－1 )2＝1，即 x2＋(y－3)2＝9，所以点 P 既在圆 x2＋(y－3)2＝9 上，又在 直线 y＝k(x－3 3)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离 d＝ |－3－3 3k| 1＋k2 ≤3，解 得－ 3≤k≤0. 答案：－ 3 4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右支与焦 点为 F 的抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方 程为________． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|＝y1＋p 2，|BF|＝y2＋p 2，|OF|＝p 2， 由|AF|＋|BF|＝y1＋p 2＋y2＋p 2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得 y1＋y2＝p. 联立Error!消去 x，得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 所以 y1＋y2＝2pb2 a2 ，所以2pb2 a2 ＝p， 即b2 a2＝1 2，故b a＝ 2 2 ， 所以双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 答案：y＝± 2 2 x 5．设椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)恒过定点 A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 是________. 解析：由已知得1 a2＋ 4 b2＝1，因为准线方程为 x＝a2 c ，所以椭圆的中心到准线的距离为 d＝ a2 c ，即 d2＝a4 c2＝ a4 a2－b2＝ a4 a2－ 4a2 a2－1 ＝a4－a2 a2－5 ＝ (a2－5)2＋9(a2－5)＋20 a2－5 ＝a2－5＋ 20 a2－5＋9≥2 20＋9＝4 5＋9＝( 5＋2)2，当且仅当 a2＝5＋2 5时取等号．所以 d≥ 5＋2，即 dmin＝ 5＋2. 答案： 5＋2 6．已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，线段 EF 在直线 l：y＝x＋1 上运动，点 P 为线段 EF 上 任意一点，若圆 C 上存在两点 A，B，使得 PA ―→ · PB ―→ ≤0，则线段 EF 长度的最大值是 ________． 解析：过点 C 作 CH⊥l 于 H，因为 C 到 l 的距离 CH＝ 3 2 ＝3 2 2 >2＝r，所以直线 l 与 圆 C 相离，故点 P 在圆 C 外．因为 PA ―→ · PB ―→ ＝| PA ―→ || PB ―→ |cos∠APB≤0，所以 cos∠ APB≤0，所以π 2≤∠APB<π，圆 C 上存在两点 A，B 使得∠APB∈[π 2，π )，由于点 P 在圆 C 外，故当 PA，PB 都与圆 C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB＝π 2，则 PC＝ 2r＝2 2， 所以 PH＝ PC2－CH2＝ (2 2)2－(3 2 2 )2＝ 14 2 ，由对称性可得 EFmax＝2PH＝ 14. 答案： 14