【数学】2019届一轮复习北师大版集合与常用逻辑用语学案 17页

第 一 章 集合与常用逻辑用语 集合的基本运算 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．集合的基本概念 指定的某些对象的全体称为一个集合．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．是集合A的元素记作 ；不是集合A的元素记作 ．‎ ‎（I）集合的性质 确定性 、 无序性 、 互异性；‎ ‎（II）集合的表示 列举法、描述法、韦恩图法、区间法；‎ ‎（3）常见的数集 N（ 自然数集 ）、 或（ 正整数集 ）、 （ 整数集 ）、Q（ 有理数集 ）、‎ ‎ R（实数集 ）．‎ ‎2．集合与集合的关系 交集、并集、补集 ‎；；‎ ‎3．真子集 集合是集合的真子集，记作 AB ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 集合的表示、集合的概念、集合的运算．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考】已知集合，则集合的子集的个数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合，，集合的子集的个数为8个，故选B．‎ 考点 集合的有关概念．‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是 确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．‎ 例2．【2018四川成都七中高三上学期模拟】设全集，集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】= ，选C．‎ 考点 集合的基本运算．‎ ‎【方法点睛】（I）用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合；（II）求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；（3）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考】已知集合，则集合的子集的个数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以的子集由8个，故选B．‎ 考点 集合的有关概念．‎ ‎2．【2018河北衡水中学高三上学期九模考试】若全集为实数集，集合 ‎，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，即，∴，∴，故选D．学 ‎ 考点 集合的有关概念．‎ 利用关系或条件求解参数范围问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1． ‎ ‎2．；‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 借助数轴，将集合间的相互关系在数轴上表示出 ，先作出不变的集合，再在数轴上将变动的集合作出，使之满足条件．‎ ‎ 2．典型例题 ‎ 例1．【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知集合，若，则实数的值是 （ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，集合B表示直线，即上的点除去点之外的点组成的集合，结合题意分类讨论 ‎ ‎①直线与直线平行，则；‎ ‎②直线过点，即 ；‎ 综上可得 实数的值是或，故选D．‎ 例2．已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知的取值范围是．‎ 延伸探究1‎ 本例（II）中的改为其余不变，该如何求解？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，有，则．当时或 解得．综上可知的取值范围是．‎ 延伸探究2‎ 本例（II）中的改为改为，又该如何求解？‎ ‎【答案】‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河北衡水中学高三上学期九模考试】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，∵，∴，∴，故选D．‎ ‎2．【2018上海十二校高三联考】已知集合，，若，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求解绝对值不等式可得，由题意可知，当时，恒成立，则，结合反比例函数的单调性可得，即实数的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论 ‎ ‎（I）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．‎ 利用逻辑联结词探求参数问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．命题的四种形式与相互关系 原命题 若则；逆命题 若则；否命题 若则；逆否命题 若则 ‎2．命题的条件与结论间的属性 ‎ 若，则是的 充分条件 ，是的 必要条件 ．‎ ‎3．全称量词与存在量词 全称量词 所有的，一切，全部，都，任意一个，　每一个等；‎ 存在量词 存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；‎ 全称命题 否定为 特称命题 否定为．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 四种命题以及相互关系；充分条件与必要条件的理解；全称命题与特称命题．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018北京海淀模拟】设命题，．命题，，如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若为真，则，∴或．‎ 若为真，，恒成立，∴，即，∴．‎ ‎∵为真，为假，则，一真一假，当真假时，，即或．‎ 当假真时，，即．∴综上，．‎ ‎【名师点睛】以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．‎ 例2．【2018河北阜城模拟】设两个命题，关于的不等式（且）的解集是； 函数的定义域为．如果为真命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或a≥1‎ ‎[ ]‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江苏淮安】已知命题 表示圆，命题 表示双曲线，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．学 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题 ，命题 ，因为为真命题，所以．‎ ‎2．【2018安徽六安一中模拟】设命题 “已知函数对，f(x)＞0恒成立”，命题 “关于x的不等式有实数解”，若且为真命题，则实数m的取值范围为 ______．‎ ‎【答案】(-3，-2] [2，3)‎ ‎【解析】若命题真 ，解得；若命题真 ，解得；∵且为真，则假真，∴，解得，或，∴实数m的取值范围为．‎ 一、选择题 ‎1．【2018陕西省高三教学质量检测】知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，∴．选B．‎ ‎2．【原创题】已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，故选C．‎ ‎3．【2018河南省高三一轮复习诊断调研高三上学期联考】集合，，则中元素的个数为 （ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，中元素的个数为，故选B．‎ ‎4．【2018河北沧州普通高中高三上学期教学质量监测】已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎5．【2018河北衡水金卷高三模拟】已知集合，，，则 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C．‎ ‎6．【2018吉林省普通中学高三第二次调研测试】已知全集，则图中阴影部分表示的集合是 （ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图像知，图中阴影部分所表示的集合是．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，故选C．‎ ‎7．【2018广西南宁高三9月摸底】设集合M={x|x＜4}，集合，则下列关系中正确的是 （ ） ‎ A．M∪N=M B．M∪∁RN=M C．N∪∁RM=R D．M∩N=M ‎【答案】A ‎8．【2018河南中原名校（即豫南九校）模拟】设全集，集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 所以，故选D．‎ ‎9．【2018江西南昌二中高三模拟】在下列结论中，正确的结论为 （ ）‎ ‎①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎③“p或q”为真是“”为假的必要不充分条件 ‎④“”为真是“p且q”为假的必要不充分条件 A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①“且”为真则与都真，“或”为真，“或”为真，为真或 为真，“且”为真不一定为真，“且”为真是“或”为真的充分不必要条件，①正确；②“ 且”为假是“或””为真的既不充分也不必要条件，②错误；③“ 或””为真是“”为假的必要不充分条件，③正确；④“ ”为真是 “且”为真是“且”为假的充分不必要条件，④错误，故选B．‎ ‎10．【2018黑龙江大庆一中高三模拟】已知命题 函数在R上为增函数， 函数在上为减函数，则在命题 ， ， ‎ 和 中，真命题是 （ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎11．【2018黑龙江佳木斯一中高三模拟】设有下面四个命题 ‎ 抛物线的焦点坐标为；‎ ‎，方程表示圆；‎ ‎，直线与圆都相交；‎ 过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条．‎ 那么，下列命题中为真命题的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于 由题意可得，命题为真命题；对于 当时，方程为，表示圆，故命题为真命题；对于 由于直线过定点（3，2），此点在圆外，故直线与圆不一定相交，所以命题为假命题；对于 由题意得点在抛物线上，所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，一条是过该点的切线，一条是过该点且与对称轴平行的直线．所以命题为真．综上可得为真命题，选B．‎ ‎12．【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得 的最小正整数的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎13．【2018上海崇明区高三一模】已知集合，若，则_____． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为集合，且，所以，故答案为．‎ ‎14．【2018上海徐汇区高三一模】已知集合，若，则实数=____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为，所以．学 ‎ ‎15．【2018河南省中原名校（即豫南九校）模拟】已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】集合A={x| +1≤x≤2 }，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A⊆B 当A= 时，满足题意，此时 +1＞2 ，解得 ＜1．当A≠时，要使A⊆B成立，则 ‎，解得 ，综上可得 实数 的取值范围．‎ ‎16．【2018河南南阳一中高三模拟】命题 关于的不等式对恒成立；命题是减函数．若命题为真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由关于的不等式对恒成立，得或，∴命题为真，；‎ ‎∵是减函数， 命题为真，根据复合命题真值表，命题 为真命题，命题至少有一个为真命题，，故答案为．‎ 三、解答题 ‎17．【2018山东济南历城二中上学期第三次调研】已知．‎ ‎（I）求及；‎ ‎（II） 若集合，满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I），（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用指数函数的性质与对数函数的性质分别化简集合，由此根据并集的定义、补集的定义一、与交集的定义能求出和；（II）由，得，由此列不等式能求出实数的取值范围．‎ 试题解析 （I）集合，‎ ‎，∴，，∴．‎ ‎（II）∵，∵，∴，∴，即的取值范围是．‎ ‎18．【2018湖南浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三模拟】已知集合，．‎ ‎（I）若，求的取值范围；‎ ‎（II）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I） （II） 或 ‎19．【2018湖北黄冈】命题 关于的不等式，对一切恒成立．命题 方程 表示焦点在点的左侧的抛物线，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】或或 ‎【解析】试题分析 分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p真q假，p假q真，从而得到a的范围．‎ 试题解析 若为真命题，则△，所以，若为真命题，则或，由题设，命题和必有一真一假．‎ ‎（I）若真假，则，∴ 或．‎ ‎（II）若假真，则，∴．‎ 综上所述，或或 ‎20．【2018江苏宿迁】已知命题，命题点在圆的内部．‎ ‎（I）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）先根据二次不等式恒成立得，解得命题为真时的取值范围（II）根据点在圆内得命题为真时的取值范围，由“”为假命题，得为假命题，为假命题．根据补集得命题为假时的取值范围，最后根据交集得实数的取值范围．‎ 试题解析 （I）因为恒成立，则，解得，所以实数的取值范围是．‎ ‎（II）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题．当为真命题时，，解得，所以为假命题时，由（I）知，为假命题时，从而，解得．所以实数的取值范围为 ‎21．【2018广东清远】设命题实数满足，其中，命题实数满足．‎ ‎（I）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（II） 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）的取值范围是．‎ ‎【解析】试题分析 （I）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；（II）利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 试题解析 （I）若，，解得，，解得，‎ 若为真，则，∴，∴；‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，，则，∴，∴，∴的取值范围是．‎ ‎22．【2018广东潮州】已知，命题，命题．‎ ‎（I）若为真命题，求实数的取值范围；学 + ‎ ‎（II）若命题是假命题，命题是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）的取值范围是[1，2]；（II）或．‎ ‎【解析】试题分析 （I） 为真命题，则，即，求解关于实数m的不等式可得的取值范围是[1，2]；(2)由题意可得，命题为真命题时．满足题意时命题、一真一假．据此分类讨论可得实数的取值范围是或．‎