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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版集合与常用逻辑用语学案

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第 一 章 集合与常用逻辑用语 集合的基本运算 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1.集合的基本概念 指定的某些对象的全体称为一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.是集合A的元素记作 ;不是集合A的元素记作 .‎ ‎(I)集合的性质 确定性 、 无序性 、 互异性;‎ ‎(II)集合的表示 列举法、描述法、韦恩图法、区间法;‎ ‎(3)常见的数集 N( 自然数集 )、 或( 正整数集 )、 ( 整数集 )、Q( 有理数集 )、‎ ‎ R(实数集 ).‎ ‎2.集合与集合的关系 交集、并集、补集 ‎;;‎ ‎3.真子集 集合是集合的真子集,记作 AB ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1.必备技能 集合的表示、集合的概念、集合的运算.‎ ‎2.典型例题 ‎ 例1.【2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考】已知集合,则集合的子集的个数为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合,,集合的子集的个数为8个,故选B.‎ 考点 集合的有关概念.‎ ‎【易错点晴】集合的三要素是 确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.‎ 例2.【2018四川成都七中高三上学期模拟】设全集,集合,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】= ,选C.‎ 考点 集合的基本运算.‎ ‎【方法点睛】(I)用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合;(II)求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1.【2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考】已知集合,则集合的子集的个数为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以的子集由8个,故选B.‎ 考点 集合的有关概念.‎ ‎2.【2018河北衡水中学高三上学期九模考试】若全集为实数集,集合 ‎,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,得,即,∴,∴,故选D.学 ‎ 考点 集合的有关概念.‎ 利用关系或条件求解参数范围问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1. ‎ ‎2.;‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1.必备技能 借助数轴,将集合间的相互关系在数轴上表示出 ,先作出不变的集合,再在数轴上将变动的集合作出,使之满足条件.‎ ‎ 2.典型例题 ‎ 例1.【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知集合,若,则实数的值是 ( )‎ A. B. C. D.或 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得,集合B表示直线,即上的点除去点之外的点组成的集合,结合题意分类讨论 ‎ ‎①直线与直线平行,则;‎ ‎②直线过点,即 ;‎ 综上可得 实数的值是或,故选D.‎ 例2.已知集合或,,若,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知的取值范围是.‎ 延伸探究1‎ 本例(II)中的改为其余不变,该如何求解?‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时,有,则.当时或 解得.综上可知的取值范围是.‎ 延伸探究2‎ 本例(II)中的改为改为,又该如何求解?‎ ‎【答案】‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1.【2018河北衡水中学高三上学期九模考试】已知集合,,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】,∵,∴,∴,故选D.‎ ‎2.【2018上海十二校高三联考】已知集合,,若,则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求解绝对值不等式可得,由题意可知,当时,恒成立,则,结合反比例函数的单调性可得,即实数的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】对于恒成立问题,常用到以下两个结论 ‎ ‎(I)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ 利用逻辑联结词探求参数问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1.命题的四种形式与相互关系 原命题 若则;逆命题 若则;否命题 若则;逆否命题 若则 ‎2.命题的条件与结论间的属性 ‎ 若,则是的 充分条件 ,是的 必要条件 .‎ ‎3.全称量词与存在量词 全称量词 所有的,一切,全部,都,任意一个, 每一个等;‎ 存在量词 存在一个,至少有一个,有个,某个,有的,有些等;‎ 全称命题 否定为 特称命题 否定为.‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 四种命题以及相互关系;充分条件与必要条件的理解;全称命题与特称命题.‎ ‎2典型例题 ‎ 例1.【2018北京海淀模拟】设命题,.命题,,如果命题“”为真命题,“”为假命题,求实数的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若为真,则,∴或.‎ 若为真,,恒成立,∴,即,∴.‎ ‎∵为真,为假,则,一真一假,当真假时,,即或.‎ 当假真时,,即.∴综上,.‎ ‎【名师点睛】以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ 例2.【2018河北阜城模拟】设两个命题,关于的不等式(且)的解集是; 函数的定义域为.如果为真命题,为假命题,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】或a≥1‎ ‎[ ]‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1.【2018江苏淮安】已知命题 表示圆,命题 表示双曲线,若命题为真命题,则实数的取值范围为__________.学 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题 ,命题 ,因为为真命题,所以.‎ ‎2.【2018安徽六安一中模拟】设命题 “已知函数对,f(x)>0恒成立”,命题 “关于x的不等式有实数解”,若且为真命题,则实数m的取值范围为 ______.‎ ‎【答案】(-3,-2] [2,3)‎ ‎【解析】若命题真 ,解得;若命题真 ,解得;∵且为真,则假真,∴,解得,或,∴实数m的取值范围为.‎ 一、选择题 ‎1.【2018陕西省高三教学质量检测】知集合,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得,∴.选B.‎ ‎2.【原创题】已知集合,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,故选C.‎ ‎3.【2018河南省高三一轮复习诊断调研高三上学期联考】集合,,则中元素的个数为 ( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ,中元素的个数为,故选B.‎ ‎4.【2018河北沧州普通高中高三上学期教学质量监测】已知集合,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎5.【2018河北衡水金卷高三模拟】已知集合,,,则 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合,故,集合表示非负的偶数,故,故选C.‎ ‎6.【2018吉林省普通中学高三第二次调研测试】已知全集,则图中阴影部分表示的集合是 ( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图像知,图中阴影部分所表示的集合是.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,故选C.‎ ‎7.【2018广西南宁高三9月摸底】设集合M={x|x<4},集合,则下列关系中正确的是 ( ) ‎ A.M∪N=M B.M∪∁RN=M C.N∪∁RM=R D.M∩N=M ‎【答案】A ‎8.【2018河南中原名校(即豫南九校)模拟】设全集,集合,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 所以,故选D.‎ ‎9.【2018江西南昌二中高三模拟】在下列结论中,正确的结论为 ( )‎ ‎①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎③“p或q”为真是“”为假的必要不充分条件 ‎④“”为真是“p且q”为假的必要不充分条件 A.①② B.①③ C.②④ D.③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①“且”为真则与都真,“或”为真,“或”为真,为真或 为真,“且”为真不一定为真,“且”为真是“或”为真的充分不必要条件,①正确;②“ 且”为假是“或””为真的既不充分也不必要条件,②错误;③“ 或””为真是“”为假的必要不充分条件,③正确;④“ ”为真是 “且”为真是“且”为假的充分不必要条件,④错误,故选B.‎ ‎10.【2018黑龙江大庆一中高三模拟】已知命题 函数在R上为增函数, 函数在上为减函数,则在命题 , , ‎ 和 中,真命题是 ( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】C ‎11.【2018黑龙江佳木斯一中高三模拟】设有下面四个命题 ‎ 抛物线的焦点坐标为;‎ ‎,方程表示圆;‎ ‎,直线与圆都相交;‎ 过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有条.‎ 那么,下列命题中为真命题的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于 由题意可得,命题为真命题;对于 当时,方程为,表示圆,故命题为真命题;对于 由于直线过定点(3,2),此点在圆外,故直线与圆不一定相交,所以命题为假命题;对于 由题意得点在抛物线上,所以过该点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条,一条是过该点的切线,一条是过该点且与对称轴平行的直线.所以命题为真.综上可得为真命题,选B.‎ ‎12.【2018安徽淮南二中、宿城一中高三第四次考试】已知,集合,集合的所有非空子集的最小元素之和为,则使得 的最小正整数的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎13.【2018上海崇明区高三一模】已知集合,若,则_____. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为集合,且,所以,故答案为.‎ ‎14.【2018上海徐汇区高三一模】已知集合,若,则实数=____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为,所以.学 ‎ ‎15.【2018河南省中原名校(即豫南九校)模拟】已知集合,,则能使成立的实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】集合A={x| +1≤x≤2 },B={x|1≤x≤3},∵A∩B=A,∴A⊆B 当A= 时,满足题意,此时 +1>2 ,解得 <1.当A≠时,要使A⊆B成立,则 ‎,解得 ,综上可得 实数 的取值范围.‎ ‎16.【2018河南南阳一中高三模拟】命题 关于的不等式对恒成立;命题是减函数.若命题为真命题,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由关于的不等式对恒成立,得或,∴命题为真,;‎ ‎∵是减函数, 命题为真,根据复合命题真值表,命题 为真命题,命题至少有一个为真命题,,故答案为.‎ 三、解答题 ‎17.【2018山东济南历城二中上学期第三次调研】已知.‎ ‎(I)求及;‎ ‎(II) 若集合,满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I),(II).‎ ‎【解析】试题分析 (I)利用指数函数的性质与对数函数的性质分别化简集合,由此根据并集的定义、补集的定义一、与交集的定义能求出和;(II)由,得,由此列不等式能求出实数的取值范围.‎ 试题解析 (I)集合,‎ ‎,∴,,∴.‎ ‎(II)∵,∵,∴,∴,即的取值范围是.‎ ‎18.【2018湖南浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三模拟】已知集合,.‎ ‎(I)若,求的取值范围;‎ ‎(II)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(I) (II) 或 ‎19.【2018湖北黄冈】命题 关于的不等式,对一切恒成立.命题 方程 表示焦点在点的左侧的抛物线,若为真命题,为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或或 ‎【解析】试题分析 分别求出关于p,q的a的范围,通过讨论p真q假,p假q真,从而得到a的范围.‎ 试题解析 若为真命题,则△,所以,若为真命题,则或,由题设,命题和必有一真一假.‎ ‎(I)若真假,则,∴ 或.‎ ‎(II)若假真,则,∴.‎ 综上所述,或或 ‎20.【2018江苏宿迁】已知命题,命题点在圆的内部.‎ ‎(I)若命题为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(II)若命题“或”为假命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I) ;(II) .‎ ‎【解析】试题分析 (I)先根据二次不等式恒成立得,解得命题为真时的取值范围(II)根据点在圆内得命题为真时的取值范围,由“”为假命题,得为假命题,为假命题.根据补集得命题为假时的取值范围,最后根据交集得实数的取值范围.‎ 试题解析 (I)因为恒成立,则,解得,所以实数的取值范围是.‎ ‎(II)因为“”为假命题,所以为假命题,为假命题.当为真命题时,,解得,所以为假命题时,由(I)知,为假命题时,从而,解得.所以实数的取值范围为 ‎21.【2018广东清远】设命题实数满足,其中,命题实数满足.‎ ‎(I)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(II) 若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I);(II)的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析 (I)若a=1,分别求出p,q成立的等价条件,利用p∧q为真,求实数x的取值范围;(II)利用是的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ 试题解析 (I)若,,解得,,解得,‎ 若为真,则,∴,∴;‎ ‎(II)若是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件,,则,∴,∴,∴的取值范围是.‎ ‎22.【2018广东潮州】已知,命题,命题.‎ ‎(I)若为真命题,求实数的取值范围;学 + ‎ ‎(II)若命题是假命题,命题是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(I)的取值范围是[1,2];(II)或.‎ ‎【解析】试题分析 (I) 为真命题,则,即,求解关于实数m的不等式可得的取值范围是[1,2];(2)由题意可得,命题为真命题时.满足题意时命题、一真一假.据此分类讨论可得实数的取值范围是或.‎