2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（四十） 轨迹方程求解3方法直接法定义法代入法 7页

高考达标检测（四十） 轨迹方程求解 3 方法 ——直接法、定义法、代入法 一、选择题 1．(2018·深圳调研)已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 QP―→· QF―→＝ FP―→· FQ―→，则动点 P 的轨迹方程为( ) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 解析：选 A 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． ∵ QP―→ · QF―→＝ FP―→ · FQ―→， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹方程为 x2＝4y. 2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆 的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选 B 设椭圆的右焦点是 F2， 由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c， 所以|PF1|＋|PO|＝1 2(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c， 所以点 P 的轨迹是以 F1 和 O 为焦点的椭圆． 3．已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点 D，E 分别在线 段 OC，AB 上运动，且|OD|＝|BE|，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方程是( ) A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) B．x＝y(1－y)(0≤y≤1) C．y＝x2(0≤x≤1) D．y＝1－x2(0≤x≤1) 解析：选 A 设 D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1， 所以线段 AD 的方程为 x＋y λ ＝1(0≤x≤1)，线段 OE 的方程为 y＝(1－λ)x(0≤x≤1)， 联立方程组 x＋y λ ＝1， y＝1－λx (λ为参数)，消去参数λ得 点 G 的轨迹方程为 y＝x(1－x)(0≤x≤1)． 4.(2018·安徽六安一中月考)如图，已知 F1，F2 是椭圆Γ：x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过 F2 作∠F1PF2 的外 角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹为( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选 B 延长 F2Q 与 F1P 的延长线交于点 M，连接 OQ. 因为 PQ 是∠F1PF2 的外角的角平分线，且 PQ⊥F2M， 所以在△PF2M 中，|PF2|＝|PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点． 又 O 为线段 F1F2 的中点， 由三角形的中位线定理，得|OQ|＝1 2|F1M|＝1 2(|PF1|＋|PF2|)． 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a， 所以点 Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆． 5．已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，椭圆的另一 个焦点 F 的轨迹方程是( ) A．y2－x2 48 ＝1(y≤－1) B．y2－x2 48 ＝1 C．y2－x2 48 ＝－1 D．x2－y2 48 ＝1 解析：选 A 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2， 故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支． ∵c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点 F 的轨迹方程为 y2－x2 48 ＝1(y≤－1)． 6．(2018·梅州质检)动圆 M 经过双曲线 x2－y2 3 ＝1 的左焦点且与直线 x＝2 相切，则圆 心 M 的轨迹方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：选 B 双曲线 x2－y2 3 ＝1 的左焦点 F(－2,0)，动圆 M 经过点 F 且与直线 x＝2 相 切，则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x＝2 的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线， 其方程为 y2＝－8x. 二、填空题 7．已知 F 是抛物线 y＝1 4x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方 程是____________． 解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0,1)， 设线段 PF 的中点坐标是(x，y)， 则 P(2x,2y－1)在抛物线 x2＝4y 上， 所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得 x2＝2y－1. 答案：x2＝2y－1 8．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线， 则抛物线的焦点的轨迹方程是____________． 解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1， 则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4， 由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|， ∴|FA|＋|FB|＝4， 故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)． 所以抛物线的焦点轨迹方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0)． 答案：x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0) 9．(2018·河北定州中学测试)已知 A(1,2)，B(－1,2)，动点 P 满足 AP―→⊥ BP―→，若双曲线 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围 是__________． 解析：由 AP―→⊥ BP―→，可得动点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－2)2＝1， 易知双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax， 由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径 1， 所以 2a b2＋a2>1，即 3a2>b2，又 b2＝c2－a2， 所以离心率 e＝c a<2， 又双曲线的离心率 e>1，所以 1b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的 轨迹方程． 解：(1)依题意得，c＝ 5，e＝c a ＝ 5 3 ， 因此 a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故椭圆 C 的方程是x2 9 ＋y2 4 ＝1. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y0)的切线方程是 y＝k(x－x0)＋y0， 则由 y＝kx－x0＋y0， x2 9 ＋y2 4 ＝1， 得x2 9 ＋[kx－x0＋y0]2 4 ＝1， 即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0， Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0， 整理得(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1，k2， 于是有 k1k2＝－1，即y20－4 x20－9 ＝－1， 故 x20＋y20＝13(x0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得 x0＝3， y0＝2 或 x0＝－3， y0＝2 或 x0＝3， y0＝－2 或 x0＝－3， y0＝－2， 经检验知均满足 x20＋y20＝13. 因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2＋y2＝13. 11．已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最 长时，求|AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心坐标为 M(－1,0)，半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝3. 设圆 P 的圆心坐标为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的 椭圆(左顶点除外)，其方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1(x≠－2)． (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)， 由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以 R≤2， 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若 l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|＝2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°，由 r1≠R，知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP| |QM| ＝R r1 ，可求得 Q(－4,0)， 所以可设 l：y＝k(x＋4)， 由 l 与圆 M 相切得 |3k| 1＋k2 ＝1，解得 k＝± 2 4 . 当 k＝ 2 4 时，y＝ 2 4 x＋ 2代入x2 4 ＋y2 3 ＝1， 并整理得 7x2＋8x－8＝0，解得 x1,2＝－4±6 2 7 . 所以|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝18 7 . 当 k＝－ 2 4 时，由图形的对称性可知|AB|＝18 7 . 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝18 7 . 12．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为(0,1)，(0，－1)，动点 P 满足 直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为－1 4 ，直线 AP，BP 与直线 y＝－2 分别交于点 M，N. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)求线段 MN 的最小值； (3)以线段 MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过 定点，请说明理由． 解：(1)已知 A(0,1)，B(0，－1)，设动点 P 的坐标为(x，y)， 则直线 AP 的斜率 k1＝y－1 x ，直线 BP 的斜率 k2＝y＋1 x (x≠0)， 又 k1k2＝－1 4 ，∴y－1 x ·y＋1 x ＝－1 4 ， 即x2 4 ＋y2＝1(x≠0)． (2)设直线 AP 的方程为 y－1＝k1(x－0)，直线 BP 的方程为 y＋1＝k2(x－0)， 由 y－1＝k1x， y＝－2， 得 x＝－ 3 k1 ， y＝－2， ∴M － 3 k1 ，－2 . 由 y＋1＝k2x， y＝－2， 得 x＝－ 1 k2 ， y＝－2， ∴N － 1 k2 ，－2 . ∵k1k2＝－1 4 ，∴|MN|＝| 3 k1 － 1 k2|＝| 3 k1 ＋4k1|≥2 3 |k1|·4|k1|＝4 3， 当且仅当 3 |k1| ＝4|k1|，即 k1＝± 3 2 时等号成立， ∴线段 MN 长的最小值为 4 3. (3)设点 Q(x，y)是以线段 MN 为直径的圆上的任意一点，则QM―→ · QN―→＝0， 即 x＋ 3 k1 x＋ 1 k2 ＋(y＋2)(y＋2)＝0， 又 k1k2＝－1 4 ，故以线段 MN 为直径的圆的方程为 x2＋ 3 k1 －4k1 x＋(y＋2)2－12＝0， 令 x＝0，得(y＋2)2＝12，解得 y＝－2±2 3， ∴以线段 MN 为直径的圆经过定点(0，－2＋2 3)或(0，－2－2 3)． 在平面直角坐标系中，动圆经过点 M(0，t－2)，N(0，t＋2)，P(－2,0)．其中 t∈R. (1)求动圆圆心 E 的轨迹方程； (2)过点 P 作直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A，B，直线 OA 与直线 OB 分别交直线 x＝2 于两点 C，D，记△ACD 与△BCD 的面积分别为 S1，S2.求 S1＋S2 的最小值． 解：(1)设动圆的圆心为 E(x，y)， 则|PE|2＝ |MN| 2 2＋x2， 即(x＋2)2＋y2＝4＋x2，∴y2＝－4x. 即动圆圆心 E 的轨迹方程为 y2＝－4x. (2)当直线 AB 的斜率不存在时，AB⊥x 轴，此时，A(－2，2 2)，B(－2，－2 2)， ∴|AB|＝|CD|＝4 2， ∴S1＝S2＝1 2 ×4 2×4＝8 2， ∴S1＋S2＝16 2. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的斜率为 k， 直线 AB 的方程是 y＝k(x＋2)，k≠0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 y＝kx＋2， y2＝－4x 消去 y， 得 k2x2＋4(k2＋1)x＋4k2＝0， ∴Δ＝16(2k2＋1)>0，x1＋x2＝－4k2＋1 k2 ，x1x2＝4. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)知，直线 AC 的方程为 y＝y1 x1 x，直线 BD 的方程为 y＝y2 x2 x， ∴C 2，2y1 x1 ，D 2，2y2 x2 ， ∴|CD|＝2|y1 x1 －y2 x2|＝|k(x2－x1)|. ∵S1＝1 2(2－x1)·|CD|，S2＝1 2(2－x2)·|CD|， ∴S1＋S2＝1 2[4－(x1＋x2)]·|CD| ＝8 2＋ 1 k2 3. 令 t＝ 1 k2 ，则 t>0，S1＋S2＝8(2＋t) 3 2 ， 由于函数 y＝8(2＋t) 3 2 在(0，＋∞)上是增函数． ∴y>16 2， 即 S1＋S2>16 2， 综上所述，S1＋S2≥16 2， ∴S1＋S2 的最小值为 16 2.