2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 平面向量的基本运算 8页

高考达标检测（二十一） 平面向量的基本运算 一、选择题 1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) ① PQ―→＝3 2 a＋3 2 b； ② PT―→＝3 2 a－b； ③ PS―→＝3 2 a－1 2 b； ④ PR―→＝3 2 a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析：选 C ①根据向量的加法法则，得 PQ―→＝3 2 a＋3 2 b，故①正确； ②根据向量的减法法则，得 PT―→＝3 2 a－3 2 b，故②错误； ③ PS―→＝ PQ―→＋ QS―→＝3 2 a＋3 2 b－2b＝3 2 a－1 2 b，故③正确； ④ PR―→＝ PQ―→＋ QR―→＝3 2 a＋3 2 b－b＝3 2 a＋1 2 b，故④错误，故选 C. 2．(2018·长沙一模)已知向量 OA―→＝(k,12)，OB―→＝(4,5)， OC―→＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是( ) A．－2 3 B.4 3 C.1 2 D.1 3 解析：选 A AB―→＝OB―→－ OA―→＝(4－k，－7)， AC―→＝ OC―→－ OA―→＝(－2k，－2)． ∵A，B，C 三点共线， ∴ AB―→， AC―→共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 解得 k＝－2 3. 3．(2018·嘉兴调研)已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心，且 OA―→＋OB―→＋ CO―→＝0，则△ ABC 的内角 A 等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选 A 由 OA―→＋OB―→＋ CO―→＝0 得， OA―→＋OB―→＝ OC―→， 由 O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形 OACB 为菱形，且 ∠CAO＝60°，故 A＝30°. 4．若 OA―→＝a，OB―→＝b，a 与 b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量OM―→为( ) A. a |a| ＋ b |b| B. a＋b |a＋b| C.|b|a－|a|b |a|＋|b| D.λ a |a| ＋ b |b| ，λ由OM―→确定 解析：选 D 以 OM 为对角线，以 OA―→，OB―→方向为邻边作平行四边形 OCMD， ∵OM 平分∠AOB， ∴平行四边形 OCMD 是菱形． 设 OC＝OD＝λ， 则 OC―→＝λ a |a| ， OD―→＝λ b |b| ， ∴OM―→＝ OC―→＋ OD―→＝λ a |a| ＋ b |b| ，且λ由OM―→确定． 5．设 D，E，F 分别是△ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且 DC―→＝2 BD―→，CE―→＝2 EA―→， AF―→＝2 FB―→，则 AD―→＋ BE―→＋ CF―→与 BC―→ ( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选 A 由题意得 AD―→＝ AB―→＋ BD―→＝ AB―→＋1 3 BC―→， BE―→＝ BA―→＋ AE―→＝ BA―→＋1 3 AC―→， CF―→＝ CB―→＋ BF―→＝ CB―→＋1 3 BA―→， 因此 AD―→＋ BE―→＋ CF―→＝ CB―→＋1 3( BC―→＋ AC―→－ AB―→) ＝ CB―→＋2 3 BC―→＝－1 3 BC―→， 故 AD―→＋ BE―→＋ CF―→与 BC―→反向平行． 6.如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB， AC 两边分别交于 M，N 两点，且 AM―→＝x AB―→， AN―→＝y AC―→，则 xy x＋y 的值为( ) A．3 B.1 3 C．2 D.1 2 解析：选 B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边 BC 的直线， 易得 x＝y＝2 3 ，则 xy x＋y ＝1 3. 7．(2018·兰州模拟)已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝ 1 2 ，1＋sin θ ，若 a∥b，则锐角θ ＝( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.5π 12 解析：选 B 因为 a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×1 2 ＝0， 得 sin2θ＝1 2 ，所以 sin θ＝± 2 2 ，故锐角θ＝π 4. 8．已知△ABC 是边长为 4 的正三角形，D，P 是△ABC 内的两点，且满足 AD―→＝ 1 4( AB―→＋ AC―→ )， AP―→＝ AD―→＋1 8 BC―→，则△APD 的面积为( ) A. 3 4 B. 3 2 C. 3 D．2 3 解析：选 A 法一：取 BC 的中点 E，连接 AE，由于△ABC 是边长为 4 的正三角形， 则 AE⊥BC， AE―→＝1 2( AB―→＋ AC―→ )，又 AD―→＝1 4( AB―→＋ AC―→ )，所以点 D 是 AE 的中点，AD ＝ 3.取 AF―→＝1 8 BC―→，以 AD，AF 为邻边作平行四边形，可知 AP―→＝ AD―→＋1 8 BC―→＝ AD―→＋ AF―→. 而△APD 是直角三角形，AF＝1 2 ，所以△APD 的面积为1 2 ×1 2 × 3＝ 3 4 . 法二：以 A 为原点，以 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系． ∵等边三角形 ABC 的边长为 4， ∴B(－2，－2 3)，C(2，－2 3)， 由题知 AD―→＝1 4( AB―→＋ AC―→ )＝1 4[(－2，－2 3)＋(2，－2 3)]＝(0，－ 3)， AP―→＝ AD―→＋1 8 BC―→＝(0，－ 3)＋1 8(4,0)＝ 1 2 ，－ 3 ， ∴△ADP 的面积为 S＝1 2| AD―→ |·| DP―→ |＝1 2 × 3×1 2 ＝ 3 4 . 二、填空题 9．在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 BC―→＝5e1，DC―→＝3e2，则 OC―→＝________.(用 e1，e2 表示) 解析：在矩形 ABCD 中，因为 O 是对角线的交点， 所以 OC―→＝1 2 AC―→＝1 2( AB―→＋ AD―→ )＝1 2( DC―→＋ BC―→ )＝1 2(5e1＋3e2)＝5 2 e1＋3 2 e2. 答案：5 2 e1＋3 2 e2 10．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 BD―→＝x AB―→＋y AC―→＋z AS―→， 则 x＋y＋z＝________. 解析：依题意得 BD―→＝ AD―→－ AB―→＝1 2( AS―→＋ AC―→ )－ AB―→＝－ AB―→＋1 2 AC―→＋1 2 AS―→， 因此 x＋y＋z＝－1＋1 2 ＋1 2 ＝0. 答案：0 11．(2018·贵阳模拟)已知平面向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(1,1)，且 a∥b，则向量 a 的坐 标是________． 解析：设 a＝(x，y)， ∵平面向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(1,1)，且 a∥b， ∴ x2＋y2＝1，且 x－y＝0，解得 x＝y＝± 2 2 . ∴a＝ 2 2 ， 2 2 或 － 2 2 ，－ 2 2 . 答案： 2 2 ， 2 2 或 － 2 2 ，－ 2 2 12.在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB ＝2，E，F 分别为 AB，BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心，AD 为半径的 圆弧 DE 上变动(如图所示)，若 AP―→＝λ ED―→＋μ AF―→，其中λ，μ∈R，则 2λ－μ的取值范围是________． 解析：以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，则 A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F 3 2 ，1 2 ， 设 P(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵ AP―→＝λ ED―→＋μ AF―→， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ 3 2 ，1 2 ＝ －λ＋3 2μ，λ＋μ 2 ， ∴cos α＝－λ＋3 2μ，sin α＝λ＋μ 2 ， ∴λ＝1 4(3sin α－cos α)，μ＝1 2(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝ 2sin(α－45°)， ∵0°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－ 2 2 ≤sin(α－45°)≤ 2 2 ， ∴－1≤ 2sin(α－45°)≤1， ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答题 13.如图所示，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， AE―→ ＝2 3 AD―→， AB―→＝a， AC―→＝b. (1)用 a，b 表示向量 AD―→，AE―→，AF―→，BE―→，BF―→； (2)求证：B，E，F 三点共线． 解：(1)延长 AD 到 G，使 AD―→＝1 2 AG―→， 连接 BG，CG，得到平行四边形 ABGC， 所以 AG―→＝a＋b， AD―→＝1 2 AG―→＝1 2(a＋b)， AE―→＝2 3 AD―→＝1 3(a＋b)， AF―→＝1 2 AC―→＝1 2 b， BE―→＝ AE―→－ AB―→＝1 3(a＋b)－a＝1 3(b－2a)， BF―→＝ AF―→－ AB―→＝1 2 b－a＝1 2(b－2a)． (2)证明：由(1)可知 BE―→＝2 3 BF―→， 又因为 BE―→， BF―→有公共点 B， 所以 B，E，F 三点共线． 14．(2018·郑州模拟)平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k 的值； (2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标． 解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－16 13. (2)设 d＝(x，y)，则 d－c＝(x－4，y－1)， 又 a＋b＝(2,4)，|d－c|＝ 5， ∴ 4x－4－2y－1＝0， x－42＋y－12＝5， 解得 x＝3， y＝－1 或 x＝5， y＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． 15.如图，在△OAB 中， OC―→＝1 4 OA―→， OD―→＝1 2OB―→，AD 与 BC 交于点 M，设 OA―→＝a，OB―→＝b. (1)用 a，b 表示OM―→； (2)在线段 AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 EF 过 M 点，设 OE―→＝p OA―→，OF―→ ＝qOB―→，求证： 1 7p ＋ 3 7q ＝1. 解：(1)设OM―→＝xa＋yb， 由 OC―→＝1 4 OA―→，得OM―→＝4x OC―→＋yb， ∵C，M，B 三点共线， ∴4x＋y＝1. ① 由 OD―→＝1 2OB―→，得OM―→＝xa＋2y OD―→， ∵A，M，D 三点共线， ∴x＋2y＝1， ② 联立①②得，x＝1 7 ，y＝3 7. ∴OM―→＝1 7 a＋3 7 b. (2)证明：∵ OE―→＝p OA―→， OF―→＝qOB―→， ∴ OA―→＝1 p OE―→，OB―→＝1 q OF―→， ∴OM―→＝1 7·1 p OE―→＋3 7·1 q OF―→ . ∵E，M，F 三点共线， ∴ 1 7p ＋ 3 7q ＝1. 1．已知点 P 是△ABC 的中位线 EF 上任意一点，且 EF∥BC，实数 x，y 满足 PA―→＋x PB―→ ＋y PC―→＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB 的面积分别为 S，S1，S2，S3，记S1 S ＝λ1， S2 S ＝λ2，S3 S ＝λ3，则λ2·λ3 取最大值时，3x＋y 的值为( ) A.1 2 B.3 2 C．1 D．2 解析：选 D 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1. ∵P 是△ABC 的中位线 EF 上任意一点，且 EF∥BC， ∴λ1＝1 2 ，∴λ2＋λ3＝1 2 ， ∴λ2λ3≤ λ2＋λ3 2 2＝ 1 16 ， 当且仅当λ2＝λ3＝1 4 时取等号， ∴λ2·λ3 取最大值时，P 为 EF 的中点． 延长 AP 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点， ∴PA＝PM， ∴ PA―→＝－ PM―→＝－1 2( PB―→＋ PC―→ )， 又∵ PA―→＋x PB―→＋y PC―→＝0， ∴x＝y＝1 2 ， ∴3x＋y＝2. 2.如图，在 Rt△ABC 中，P 是斜边 BC 上一点，且满足 BP―→＝1 2 PC―→，点 M，N 在过点 P 的直线上，若 AM―→＝λ AB―→， AN―→＝μ AC―→ (λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( ) A．2 B.8 3 C．3 D.10 3 解析：选 B ∵ AM―→＝λ AB―→， AN―→＝μ AC―→ (λ>0，μ>0)， ∴ MB―→＝ MP―→＋ PB―→＝(1－λ) AB―→ . ∵M，P，N 三点共线， ∴存在实数 k，使 MP―→＝kMN―→＝k( AN―→－ AM―→ )＝－kλ AB―→＋kμ AC―→ . ∵ BP―→＝1 2 PC―→，∴ PB―→＝1 3 CB―→＝1 3 AB―→－1 3 AC―→. ∴ MP―→＋ PB―→＝ 1 3 －kλ AB―→＋ kμ－1 3 AC―→＝(1－λ) AB―→， ∴ 1 3 －kλ＝1－λ， ① kμ－1 3 ＝0， ② 由②得，k＝ 1 3μ 代入①得，1 3 － λ 3μ ＝1－λ， ∴μ＝ λ 3λ－2 ，∴λ＋2μ＝λ＋ 2λ 3λ－2 . 设 f(λ)＝λ＋ 2λ 3λ－2 ，λ>0， ∴f′(λ)＝9λ2－12λ 3λ－22 ，令 f′(λ)＝0，得λ＝0 或λ＝4 3. 当λ∈ 0，4 3 时，f′(λ)<0，当λ∈ 4 3 ，＋∞ 时，f′(λ)>0. ∴λ＝4 3 时，f(λ)取极小值，也是最小值， 又 f 4 3 ＝8 3 ，∴f(λ)的最小值为8 3 ， 即λ＋2μ的最小值为8 3.