【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教案 11页

第一节　集合 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合；‎ ‎2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；‎ ‎3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)‎ ‎2014，全国卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)‎ 主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算，偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．集合的含义与表示方法 ‎(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。‎ ‎(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。‎ ‎(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。‎ ‎(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。‎ ‎2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A中的元素都是集合B中的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B 或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A AB或 BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集 ‎∀x，x∉∅，∅⊆A ‎∅‎ ‎3.集合的基本运算 表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ A∩B 并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ A∪B 补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 ‎{x|x∈U，x∉A}‎ ‎∁UA 微点提醒 ‎1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。‎ ‎2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。‎ ‎3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。‎ ‎4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误。‎ ‎5．记住以下结论 ‎(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。‎ ‎(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。‎ ‎【解析】　由题意知B⊆A，则集合B有8个。‎ ‎【答案】　8‎ 二、双基查验 ‎1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)‎ A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}‎ C．{－1,0,2} D．{0,1}‎ ‎【解析】　M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝(　　)‎ A．[0,1] B．[0,1)‎ C．(0,1] D．(0,1)‎ ‎【解析】　∵x2<1，∴－10}，且1∉A，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)‎ ‎(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝____。‎ ‎【解析】　(1)若1∈A，则1－2＋a>0，解得a>1。因为1∉A，所以a≤1。故选B。‎ ‎(2)由题意，得或 解得x＝－1。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)－1‎ 考点二 ‎ 集合的基本关系…………母题发展 ‎【典例2】　(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)‎ A．7 B．8‎ C．15 D．16‎ ‎(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋10}，若A⊆B，则实数c的取值范围是(　　)‎ A．(0,1] B．[1，＋∞)‎ C．(0,1) D．(1，＋∞)‎ ‎【解析】　(1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故选D。‎ ‎(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。‎ 由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。故选B。‎ 解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A⊆B成立，可排除A。故选B。‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 考点三 ‎ 集合的运算…………多维探究 角度一：两个集合的交集、并集、补集运算 ‎【典例3】　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1} B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ ‎(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1} B．{4}‎ C．{1,3} D．{1,4}‎ ‎(3)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，则(∁UA)∩B＝(　　)‎ A．{x|x≤－1或x≥0}‎ B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}‎ C．{x|x≥0}‎ D．{x|x＞－1}‎ ‎【解析】　(1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1－1‎ ‎【解析】　(1)由A∪B＝A得B⊆A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。‎ ‎(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y－1即可。故选D。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)D 角度三：抽象的集合运算 ‎【典例5】　设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【解析】　由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC。故选C。‎ ‎【答案】　C 反思归纳 集合的基本运算的关注点 ‎1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。‎ ‎2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。‎ ‎3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。‎ ‎4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解。‎ 微考场　新提升 ‎1．(2016·四川高考)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析　由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故选C。‎ 答案　C ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意得，A＝{x|1}，‎ 则A∩B＝。故选D。‎ 答案　D ‎3.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}‎ C．{0,2} D．{1,2}‎ 解析　由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA)，∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁UA)＝{0,2}。故选C。‎ 答案　C ‎4．(2016·辽宁五校联考)已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是(　　)‎ A．∁UN⊆∁UP B．∁NP⊆∁NM C．(∁UP)∩M＝∅ D．(∁UM)∩N＝∅‎ 解析　根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有D不正确。故选D。‎ 答案　D ‎5．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”。对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝________。‎ 解析　M＝，由＝，得a＝4；由＝1，得a＝1。‎ 当a＝4时，M＝{－，}，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意。‎ 答案　1‎ 微专题　巧突破 集合中新情境型问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用。‎ ‎1．定义新概念、新公式 ‎【典例1】　设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个。‎ ‎【解析】　符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个。‎ ‎【答案】　6‎ ‎【变式训练1】　若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－1,0，，2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A．1　　　 B．‎3　‎　　‎ C．7　　　 D．31‎ ‎【解析】　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．定义新运算、新法则 ‎【典例2】　设A，B是有限集，定义d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数。‎ 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>‎0”‎的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，‎ A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 ‎【解析】　命题①显然正确，通过如图韦恩图亦可知d(A，C)表示的区域不大于d(A，B)＋d(B，C)的区域，故命题②也正确，故选A。‎ ‎【答案】　A ‎【变式训练2】　定义集合的差集运算为A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，则A－B＝________。‎ ‎【解析】　先求出集合A，B，再利用差集的定义求A－B。‎ 依题意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝ 可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝－＝ 在(1，＋∞)上单调递减，则0<－≤，即0