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  • 2021-07-01 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教案

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第一节 集合 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用列举法或描述法表示集合;‎ ‎2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义;‎ ‎3.理解并会求并集、交集、补集;能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算。‎ ‎2016,全国卷Ⅰ,1,5分(集合的交集)‎ ‎2016,全国卷Ⅱ,2,5分(集合的并集)‎ ‎2015,全国卷Ⅱ,1,5分(集合的交集)‎ ‎2014,全国卷Ⅰ,1,5分(集合的交集)‎ ‎2014,全国卷Ⅱ,1,5分(集合的交集)‎ 主要考查具体集合(能确定集合中元素)的基本运算,偶尔涉及集合间的关系及新定义问题。‎ 微知识 小题练 自|主|排|查 ‎1.集合的含义与表示方法 ‎(1)集合的含义:研究对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质:确定性、无序性、互异性。‎ ‎(2)元素与集合的关系:①属于,记为∈;②不属于,记为∉。‎ ‎(3)集合的表示方法:列举法、描述法和图示法。‎ ‎(4)常用数集的记号:自然数集N,正整数集N*或N+,整数集Z,有理数集Q,实数集R。‎ ‎2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A中的元素都是集合B中的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B 或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B,且∃x0∈B,x0∉A AB或 BA 相等 集合A,B的元素完全相同 A⊆B,B⊆A A=B 空集 不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集 ‎∀x,x∉∅,∅⊆A ‎∅‎ ‎3.集合的基本运算 表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A,且x∈B}‎ A∩B 并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A,或x∈B}‎ A∪B 补集 全集U中不属于集合A的元素组成的集合 ‎{x|x∈U,x∉A}‎ ‎∁UA 微点提醒 ‎1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。‎ ‎2.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。‎ ‎3.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。‎ ‎4.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误。‎ ‎5.记住以下结论 ‎(1)若集合A中有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1。‎ ‎(2)A∪B=A⇔B⊆A;A∩B=A⇔A⊆B。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1.(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】 由题意得A可为{0,1},{0,1,2},{0,1,3}。故选C。‎ ‎【答案】 C ‎2.(必修1P12B组T1改编)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B={0,1,2},则集合B有________个。‎ ‎【解析】 由题意知B⊆A,则集合B有8个。‎ ‎【答案】 8‎ 二、双基查验 ‎1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=(  )‎ A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}‎ C.{-1,0,2} D.{0,1}‎ ‎【解析】 M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合,故M∪N={-1,0,1,2}。故选B。‎ ‎【答案】 B ‎2.设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=(  )‎ A.[0,1] B.[0,1)‎ C.(0,1] D.(0,1)‎ ‎【解析】 ∵x2<1,∴-10},且1∉A,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1]‎ C.[1,+∞) D.[0,+∞)‎ ‎(2)已知集合A={x2+x,4x},若0∈A,则x=____。‎ ‎【解析】 (1)若1∈A,则1-2+a>0,解得a>1。因为1∉A,所以a≤1。故选B。‎ ‎(2)由题意,得或 解得x=-1。‎ ‎【答案】 (1)B (2)-1‎ 考点二 ‎ 集合的基本关系…………母题发展 ‎【典例2】 (1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为(  )‎ A.7 B.8‎ C.15 D.16‎ ‎(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+10},若A⊆B,则实数c的取值范围是(  )‎ A.(0,1] B.[1,+∞)‎ C.(0,1) D.(1,+∞)‎ ‎【解析】 (1)因为x⊆A,所以B={∅,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的元素,所以A∈B。故选D。‎ ‎(2)解法一:由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c)。‎ 由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1。故选B。‎ 解法二:因为A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),取c=1,则B=(0,1),所以A⊆B成立,可排除C,D;取c=2,则B=(0,2),所以A⊆B成立,可排除A。故选B。‎ ‎【答案】 (1)D (2)B 考点三 ‎ 集合的运算…………多维探究 角度一:两个集合的交集、并集、补集运算 ‎【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=(  )‎ A.{1} B.{1,2}‎ C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}‎ ‎(2)(2016·天津高考)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=(  )‎ A.{1} B.{4}‎ C.{1,3} D.{1,4}‎ ‎(3)设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={y|y=lg(x2+1)},则(∁UA)∩B=(  )‎ A.{x|x≤-1或x≥0}‎ B.{(x,y)|x≤-1,y≥0}‎ C.{x|x≥0}‎ D.{x|x>-1}‎ ‎【解析】 (1)由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1-1‎ ‎【解析】 (1)由A∪B=A得B⊆A,有m∈A,所以有m=或m=3,即m=3或m=1或m=0,又由集合中元素的互异性知m≠1。故选B。‎ ‎(2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可。故选D。‎ ‎【答案】 (1)B (2)D 角度三:抽象的集合运算 ‎【典例5】 设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的(  )‎ A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎【解析】 由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁UC”,则一定有“A∩B=∅”;反过来,若“A∩B=∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁UC。故选C。‎ ‎【答案】 C 反思归纳 集合的基本运算的关注点 ‎1.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提。‎ ‎2.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决。‎ ‎3.注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。‎ ‎4.根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后应用数形结合求解。‎ 微考场 新提升 ‎1.(2016·四川高考)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是(  )‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ 解析 由集合A={x|-2≤x≤2},易知A∩Z={-2,-1,0,1,2}。故选C。‎ 答案 C ‎2.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(  )‎ A. B. C. D. 解析 由题意得,A={x|1},‎ 则A∩B=。故选D。‎ 答案 D ‎3.设全集U是自然数集N,集合A={x|x2>4,x∈N},B={0,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是(  )‎ A.{x|x>2,x∈N} B.{x|x≤2,x∈N}‎ C.{0,2} D.{1,2}‎ 解析 由题图可知,图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁UA),∁UA={x|x2≤4,x∈N}={x|-2≤x≤2,x∈N}={0,1,2},∵B={0,2,3},∴B∩(∁UA)={0,2}。故选C。‎ 答案 C ‎4.(2016·辽宁五校联考)已知集合M,N,P为全集U的子集,且满足M⊆P⊆N,则下列结论不正确的是(  )‎ A.∁UN⊆∁UP B.∁NP⊆∁NM C.(∁UP)∩M=∅ D.(∁UM)∩N=∅‎ 解析 根据已知条件画出韦恩图结合各选项知,只有D不正确。故选D。‎ 答案 D ‎5.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”。对于集合M={x|ax2-1=0,a>0},N={-,,1},若M与N“相交”,则a=________。‎ 解析 M=,由=,得a=4;由=1,得a=1。‎ 当a=4时,M={-,},此时M⊆N,不合题意;当a=1时,M={-1,1},满足题意。‎ 答案 1‎ 微专题 巧突破 集合中新情境型问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的具体运用,是近几年高考的热点问题,这类试题的特点是:通过给出的新的数学概念或新的运算法则,在新的情境下完成某种推理证明,或在新的运算法则下进行运算。常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型。解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义,然后分析题目中的条件,设法进行套用。‎ ‎1.定义新概念、新公式 ‎【典例1】 设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单一元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“单一元”的集合共有________个。‎ ‎【解析】 符合题意的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个。‎ ‎【答案】 6‎ ‎【变式训练1】 若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M={-1,0,,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(  )‎ A.1    B.‎3 ‎  ‎ C.7    D.31‎ ‎【解析】 具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},,。故选B。‎ ‎【答案】 B ‎2.定义新运算、新法则 ‎【典例2】 设A,B是有限集,定义d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数。‎ 命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>‎0”‎的充分必要条件;‎ 命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),‎ A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 ‎【解析】 命题①显然正确,通过如图韦恩图亦可知d(A,C)表示的区域不大于d(A,B)+d(B,C)的区域,故命题②也正确,故选A。‎ ‎【答案】 A ‎【变式训练2】 定义集合的差集运算为A-B={x|x∈A且x∉B},若A={y|y=|x-1|-|x+1|,x∈R},B={y|y=-,x∈R},则A-B=________。‎ ‎【解析】 先求出集合A,B,再利用差集的定义求A-B。‎ 依题意知,y=|x-1|-|x+1|= 可知-2≤y≤2,所以A=[-2,2]。易知y=-= 在(1,+∞)上单调递减,则0<-≤,即0