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  • 2021-07-01 发布

【数学】2018届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入教案

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第16讲 数系的扩充与复数的引入 项目 内容 课题 数系的扩充与复数的引入(共 2 课时)‎ 修改与创新 课标要 求 ‎1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;‎ ‎2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;‎ ‎3.了解复数的代数表示法及其几何意义;‎ ‎4.行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。‎ 命题走 向 复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势。‎ 教学准备 多媒体 学§科§网Z§X§X§K]‎ 教学过程 一.知识梳理:‎ 形如a+bi(a,b的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。‎ 复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;复数的加法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;复数的除法法则:(a+bi)(c+di)=== =+.‎ 二.典例分析 ‎1.已知a∈R,i为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则a的值等于(  )‎ A.-6          B.-2‎ C.2 D.6‎ 解析:选B 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数,得由此解得a=-2.‎ ‎2.若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则(  )‎ A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1‎ C.a=-1,b=-1 D.a=1,b=-1[ ]‎ 解析:选D 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得a=1,b=-1.‎ ‎3.i是虚数单位,复数=(  )‎ A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 解析:选C ====1+i.‎ ‎4.若复数z满足=2i,则z对应的点位于第________象限.‎ 解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此z对应的点为(-2,2),在第二象限内.‎ 答案:二 ‎5.若复数z满足z+i=,则|z|=________.‎ 解析:因为z=-i=1-3i-i=1-4i,则|z|=.‎ 答案: ‎1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 ‎(1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a;‎ ‎(2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.‎ ‎2.复数中的解题策略 ‎(1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=.‎ ‎(2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi为纯虚数⇔a=0,b≠0(a,b∈R);‎ ‎②b≠0时,z-=2bi为纯虚数;③z是纯虚数⇔z+=0且z≠0.‎ 复数的有关概念 典题导入 ‎[例1] (1)设a, b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于(  )‎ A.-            B. C. D.2‎ ‎[自主解答] (1)若复数a+=a-bi为纯虚数,则a=0,b≠0,ab=0;而ab=0时a=0或b=0,a+不一定是纯虚数,故“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.‎ ‎(2)==,‎ 依题意有2-2b=4+b,解得b=-.‎ ‎[答案] (1)B (2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z=a+bi(a,b∈R)由它的实部与虚部唯一确定,故复数z与点Z(a,b)相对应.‎ 以题试法 ‎1.已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为(  )‎ A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析:选D 依题意得x=(1+i)(1-yi)=(1+y)+(1-y)i;又x,y∈R,于是有解得x=2,y=1.‎ x+yi=2+i,因此x+yi的共轭复数是2-i.‎ 复数的几何意义 典题导入 ‎[例2] 已知复数z的实部为-1,虚部为2,则(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为(  )‎ A.第一象限       B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎[自主解答] 选C 依题意得===,因此该复数在复平面内对应的点的坐标是,位于第三象限.‎ 由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.‎ 以题试法 ‎2.(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )‎ A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ‎(2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ,(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.‎ 解析:(1)复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C对应的复数为2+4i.‎ ‎(2)由条件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),‎ 根据=λ+μ得 ‎(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),‎ ‎∴解得 ‎∴λ+μ=1.‎ 答案:(1)C (2)1‎ 复数的代数运算 ‎ 典题导入 ‎[例3] (1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(  )‎ A.3+5i         B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i ‎(2)复数=(  )‎ A.--i B.-+i C.-i D.+i ‎[自主解答] (1)z====3+5i.‎ ‎(2)== ‎===-i.[ ]‎ ‎[答案] (1)A (2)C 由题悟法 ‎1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.‎ ‎2.记住以下结论,可提高运算速度:‎ ‎①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai;⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).‎ 以题试法 ‎3.(1)设复数z的共轭复数为,若z=1-i(i为虚数单位),则+z2的值为(  )‎ A.-3i B.-2i C.i D.-i ‎(2)i为虚数单位,4=________.‎ 解析:(1)依题意得+z2=+(1-i)2=-2i=i-2i=-i.‎ ‎(2)4=4=i4=1.‎ 答案:(1)D (2)1‎ 板书设计 数系的扩充与复数的引入 ‎1. 形如a+bi(a,b的数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部。‎ ‎(1) z =a+bi是实数b=0 (a,b∈R );‎ ‎(2) z =a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);‎ ‎(3) z =a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R);‎ ‎(4) a +bi=c+dia =c且c=d(a,b,c,d∈R);‎ ‎2.若z =a+bi,则其共轭复数=a-bi;‎ ‎3.若z =a+bi,则;‎ ‎4. 复数的运算:‎ 复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;‎ 复数的加法法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;‎ 复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;‎ 复数的除法法则:(a+bi)(c+di)== ‎ ‎= =+.‎ 复数的知识比较简单,也是高考必考内容,但概念较多。对概念应要求学生准确掌握概念的含义,避免因此丢分。复数的乘除运算是高考出现频率最高的题型,特别是除法运算。需进行适当练习,避免错误。‎ 教学反思 ‎ ‎