【数学】2018届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入教案 7页

第16讲 数系的扩充与复数的引入 项目 内容 课题 数系的扩充与复数的引入（共 2 课时）‎ 修改与创新 课标要 求 ‎1．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；‎ ‎2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；‎ ‎3．了解复数的代数表示法及其几何意义；‎ ‎4．行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。‎ 命题走 向 复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势。‎ 教学准备 多媒体 学§科§网Z§X§X§K]‎ 教学过程 一．知识梳理：‎ 形如a+bi(a,b的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。‎ 复数的加法法则：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法则：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；复数的乘法法则：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；复数的除法法则：(a+bi)(c+di)=== =+.‎ 二．典例分析 ‎1．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值等于(　　)‎ A．－6　　　　　　　　　 B．－2‎ C．2 D．6‎ 解析：选B　由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数，得由此解得a＝－2.‎ ‎2．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1[ ]‎ 解析：选D　由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.‎ ‎3．i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1－i B．－1＋i C．1＋i D．－1－i 解析：选C　＝＝＝＝1＋i.‎ ‎4．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于第________象限．‎ 解析：z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．‎ 答案：二 ‎5．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.‎ 解析：因为z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝.‎ 答案： ‎1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 ‎(1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；‎ ‎(2)|z－z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．‎ ‎2．复数中的解题策略 ‎(1)证明复数是实数的策略：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝.‎ ‎(2)证明复数是纯虚数的策略：①z＝a＋bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0(a，b∈R)；‎ ‎②b≠0时，z－＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z＋＝0且z≠0.‎ 复数的有关概念 典题导入 ‎[例1]　(1)设a， b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　　　　 B. C. D．2‎ ‎[自主解答]　(1)若复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，ab＝0；而ab＝0时a＝0或b＝0，a＋不一定是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．‎ ‎(2)＝＝，‎ 依题意有2－2b＝4＋b，解得b＝－.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z与点Z(a，b)相对应．‎ 以题试法 ‎1．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：选D　依题意得x＝(1＋i)(1－yi)＝(1＋y)＋(1－y)i；又x，y∈R，于是有解得x＝2，y＝1.‎ x＋yi＝2＋i，因此x＋yi的共轭复数是2－i.‎ 复数的几何意义 典题导入 ‎[例2]　已知复数z的实部为－1，虚部为2，则(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[自主解答]　选C　依题意得＝＝＝，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限．‎ 由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．‎ 以题试法 ‎2．(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)‎ A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i ‎(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ 解析：(1)复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.‎ ‎(2)由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ 答案：(1)C　(2)1‎ 复数的代数运算 ‎ 典题导入 ‎[例3]　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)‎ A．3＋5i　　　　　　　　 B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i ‎(2)复数＝(　　)‎ A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i ‎[自主解答]　(1)z＝＝＝＝3＋5i.‎ ‎(2)＝＝ ‎＝＝＝－i.[ ]‎ ‎[答案]　(1)A　(2)C 由题悟法 ‎1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎2．记住以下结论，可提高运算速度：‎ ‎①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ 以题试法 ‎3．(1)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的值为(　　)‎ A．－3i B．－2i C．i D．－i ‎(2)i为虚数单位，4＝________.‎ 解析：(1)依题意得＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝i－2i＝－i.‎ ‎(2)4＝4＝i4＝1.‎ 答案：(1)D　(2)1‎ 板书设计 数系的扩充与复数的引入 ‎1. 形如a+bi(a,b的数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。‎ ‎(1) z =a+bi是实数b=0 (a,b∈R )；‎ ‎(2) z =a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；‎ ‎(3) z =a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)；‎ ‎(4) a +bi=c+dia =c且c=d(a,b,c,d∈R)；‎ ‎2.若z =a+bi，则其共轭复数=a-bi；‎ ‎3.若z =a+bi，则；‎ ‎4. 复数的运算：‎ 复数的加法法则：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；‎ 复数的加法法则：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；‎ 复数的乘法法则：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；‎ 复数的除法法则：(a+bi)(c+di)== ‎ ‎= =+.‎ 复数的知识比较简单，也是高考必考内容，但概念较多。对概念应要求学生准确掌握概念的含义，避免因此丢分。复数的乘除运算是高考出现频率最高的题型，特别是除法运算。需进行适当练习，避免错误。‎ 教学反思 ‎ ‎