【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6-3-1　平面向量基本定理 6-3 6页

‎6.3　平面向量基本定理及坐标表示 ‎6.3.1　平面向量基本定理 ‎6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4‎ 解析因为向量e1与e2不共线,‎ 所以解得 答案D ‎2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=(　　)‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解析)=.‎ 答案D ‎3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)‎ A.m>0,n>0 B.m>0,n<0‎ C.m<0,n>0 D.m<0,n<0‎ 解析如图所示,利用平行四边形法则,‎ 将分解到上,有,‎ 则=m=n,‎ 很明显方向相同,则m>0;‎ 方向相反,则n<0.‎ 答案B ‎4.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是(　　)‎ A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)‎ B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2‎ C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)‎ 解析由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故D错误.‎ 答案BCD ‎5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　. ‎ 解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,‎ 即xe1+2e2=3λe1+λye2,‎ 所以故xy=3λ·=6.‎ 答案6‎ ‎6.‎ 如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示=　　　　,=　. ‎ 解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,‎ ‎=(e2-e1)=e1+e2.‎ 答案e1+e2　e1+e2‎ ‎7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.‎ ‎(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;‎ ‎(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.‎ ‎(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),‎ 则e1-2e2=λ(e1+3e2).‎ 由e1,e2不共线,得 所以λ不存在,故a,b不共线,‎ 即{a,b}可以作为一个基底.‎ ‎(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),‎ 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)‎ ‎=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.‎ 所以解得 故c=2a+b.‎ ‎8.‎ 如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.‎ ‎(1)用a,b表示;‎ ‎(2)求证:B,E,F三点共线.‎ ‎(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,‎ ‎(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).‎ ‎(2)证明由(1)知,,∴共线.‎ 又有公共点B,∴B,E,F三点共线.‎ 能力提升练 ‎1.(多选题)已知向量e1,e2不共线,则下列各组向量不可以作为平面内的一组基底的是(　　)‎ A.e1-e2与e2-e1‎ B.2e1-3e2与e1-e2‎ C.-e1-2e2与2e1+4e2‎ D.e1-2e2与2e1-e2‎ 解析选项A,B,C中的两个向量都共线,所以不能作为基底,D中的两个向量不共线,故可作为基底.‎ 答案ABC ‎2.(2020四川绵阳高一检测)如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若=ma+nb,则m+n=(　　)‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.1‎ 解析由题意可得=2=2,‎ ‎=a=+2,①‎ ‎=b,②‎ 由①②求得a+b.‎ 再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.‎ 答案C ‎3.‎ ‎(2020黑龙江哈尔滨三中高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=(　　)‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.‎ 过点E作EH⊥AB于点H,则EH=m,EH∥AD,AH=m.‎ 所以AH=AB,HE=AD.‎ 所以a+b.故选A.‎ 答案A ‎4.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为　　　　　. ‎ 解析由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=().‎ 答案()‎ ‎5.‎ 如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　　. ‎ 解析如图,作平行四边形ODCE,则.‎ 在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,‎ 即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.‎ 答案6‎ ‎6.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求的值.‎ 解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,‎ ‎=μ=2μe1+μe2,‎ ‎∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.‎ 又=2e1+3e2,‎ ‎∴解得 ‎∴,即=4∶1.‎ 素养培优练 ‎(2020江西上饶中学高一检测)在△ABC中,.‎ ‎(1)求△ABM与△ABC的面积之比;‎ ‎(2)若N为AB的中点,交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值.‎ 解(1)在△ABC中,,4=3,3()=,‎ 即3,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为.‎ ‎(2)因为,‎ ‎=x+y(x,y∈R),所以x=3y.‎ 因为N为AB的中点,‎ 所以=x+y+y=x+y=x+(y-1),‎ 因为,所以(y-1)=xy,‎ 即2x+y=1,又x=3y,‎ 所以x=,y=,所以x+y=.‎