高中数学人教a版必修四课时训练：2-3 平面向量的基本定理及坐标表示 2-3-4 word版含答案 4页

2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量 是否共线． 1．两向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当 a∥b 时，有______________________． (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 2．若P1P→ ＝λPP2 → ，则 P 与 P1、P2 三点共线． 当λ∈________时，P 位于线段 P1P2 的内部，特别地λ＝1 时，P 为线段 P1P2 的中点； 当λ∈________时，P 位于线段 P1P2 的延长线上； 当λ∈________时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上． 一、选择题 1．已知三点 A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB→和CD→ 是相反向量，则 D 点坐标是( ) A．(1,0) B．(－1,0) C．(1，－1) D．(－1,1) 2．已知平面向量 a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量 a＋b( ) A．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 3．若 a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且 a∥b，则 tan α等于( ) A．2 B.1 2 C．－2 D．－1 2 4．已知向量 a、b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果 c∥d，那么( ) A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向 5．已知向量 a＝(1,2)，b＝(0,1)，设 u＝a＋kb，v＝2a－b，若 u∥v，则实数 k 的值为( ) A．－1 B．－1 2 C.1 2 D．1 6．已知 A、B、C 三点在一条直线上，且 A(3，－6)，B(－5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点的纵坐标为( ) A．－13 B．9 C．－9 D．13 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知向量 a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若 a∥b，则实数 x 的值等于________． 8．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)且 a∥b，则 2a＋3b＝________. 9．若三点 P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则 x 的值为________． 10．设向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 三、解答题 11．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还 是反向？ 12．如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标． 能力提升 13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(－1，3)，若点 C 满足OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ，其中 m，n∈R 且 m＋n＝1，则点 C 的轨迹方程为( ) A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 14．已知点 A(－1，－3)，B(1,1)，直线 AB 与直线 x＋y－5＝0 交于点 C，则点 C 的坐标为 ________. 1．两个向量共线条件的表示方法 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)当 b≠0，a＝λb. (2)x1y2－x2y1＝0. (3)当 x2y2≠0 时，x1 x2 ＝y1 y2 ，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面． (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共 线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的 应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据． 2．3.4 平面向量共线的坐标表示 答案 知识梳理 1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)x1 x2 ＝y1 y2 2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0) 作业设计 1．C 2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于 y 轴．] 3．A [∵a∥b，∴2cos α×1＝sin α. ∴tan α＝2.故选 A.] 4．D [由 c∥d，则存在λ使 c＝λd，即 ka＋b＝λa－λb， ∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又 a 与 b 不共线， ∴k－λ＝0，且λ＋1＝0. ∴k＝－1.此时 c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故 c 与 d 反向，选 D.] 5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)， v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)， 又 u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得 k＝－1 2.故选 B.] 6．C [C 点坐标(6，y)，则AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)． ∵A、B、C 三点共线，∴ 3 －8 ＝y＋6 8 ，∴y＝－9.] 7.1 2 解析 由 a∥b 得 3(2x＋1)＝4(2－x)，解得 x＝1 2. 8．(－4，－8) 解析 由 a∥b 得 m＝－4. ∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 9．3 解析 PA→＝(1，－5)，PB→＝(x－1，－10)， ∵P、A、B 三点共线，∴PA→与PB→共线． ∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得 x＝3. 10．2 解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴λ＋2 －4 ＝2λ＋3 －7 ，∴λ＝2. 11．解 由已知得 ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－1 3. 此时 ka＋b＝ －1 3 －3，－2 3 ＋2 ＝－1 3(a－3b)， ∴当 k＝－1 3 时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向． 12．解 方法一 由题意知 P、B、O 三点共线，又OB→ ＝(4,4)． 故可设OP→ ＝tOB→ ＝(4t,4t)， ∴AP→＝OP→ －OA→ ＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)， AC→＝OC→ －OA→ ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 又∵A、C、P 三点共线，∴AP→∥AC→， ∴6(4t－4)＋8t＝0，解得 t＝3 4 ， ∴OP→ ＝(3,3)，即点 P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点 P(x，y)，则OP→ ＝(x，y)，OB→ ＝(4,4)． ∵P、B、O 三点共线，∴OP→ ∥OB→ ，∴4x－4y＝0. 又AP→＝OP→ －OA→ ＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， AC→＝OC→ －OA→ ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)， ∵P、A、C 三点共线，∴AP→∥AC→，∴6(x－4)＋2y＝0. 由 4x－4y＝0， 6x－4＋2y＝0， 得 x＝3， y＝3， 所以点 P 的坐标为(3,3)． 13．D [设点 C 的坐标为(x，y)， 则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)， ∴ x＝3m－n， ① y＝m＋3n， ② ①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又 m＋n＝1， ∴x＋2y－5＝0.所以点 C 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0.] 14．(2,3) 解析 设AC→＝λCB→，则得 C 点坐标为 λ－1 1＋λ ，λ－3 1＋λ . 把 C 点坐标 λ－1 1＋λ ，λ－3 1＋λ 代入直线 x＋y－5＝0 的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．