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- 2021-07-01 发布
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- 1 -
丹东市五校 联考数学科试卷
单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分。在每小题给出的选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。
1、已知集合 A＝{x|x≥2}，B＝{x|x2－x－6≥0}，则 A∩( Rð B)＝
A.{x|2≤x<3} B.{x|2b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b
多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分。在每小题给出的选项中，有多个选项是
符合题目要求的，全部选对得 5 分，有选错的得零分，部分选对得 3 分。
9、对于二项式(
1
x
＋x3)n(n∈N*)，以下判断正确的有
- 2 -
A. n∈N*，展开式中有常数项； B.对 n∈N*，展开式没有常数项；
C.对 n∈N*，展开式没有 x 一次项； D. n∈N*，展开式中有 x 的一次项。
10、己知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(－x)＝0，f(x＋6)＝－f(x)，且对 x1，x2∈[－3，
0]，当 x1≠x2时，都有 x1f(x1)＋x2f(x2)＝120°，若OC
＝x OA
＋y OB
(x，y∈R)，则 x＋y 的可能取值为
A.－1 B.0 C. 2 D.3
12、朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普
及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和
问题.现有 105 根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰
梯形的“垛”，要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多 1 根，则该“等
腰梯形垛”应堆放的层数可以是
A.4 B.5 C.6 D.7
填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分。
13、圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 截直线 ax＋y－1＝0 的弦长为 2 3 ，则 a＝ 。
14、2012 年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了 2019 年清明
节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1000，σ2)，
若 P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1200)＝b，则
1 2
a b
的最小值为 。
15、一口袋中装有大小完全相同的红色、黄色、蓝色小球各一个，从中随机摸出一个球，记
下颜色后放回袋中继续摸球，当三种颜色都被记到就停止摸球，则恰好摸球五次就停止摸球
的概率为 。
16、某小区拟将如图的一直角三角形 ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形
DEF，在其内建造文化景观。已知 AB＝20 7 m，AC＝10 7 m，则△DEF 区域面积(单位：
m2)的最小值大约为 m2。
(保留到整数，参考数据： 7 ≈2.65； 3 ≈1.73)
- 3 -
解答题：本题共 6 小题，计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(本题满分 10 分)
己知函数 f(x)＝2 3 sin(x＋
4
)cos(x＋
4
)＋sin2x＋a 的最大值为 1。
(1)求实数 a 的值；
(2)若将 f(x)的图象向左平移
6
个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0，
2
]上的
最大值和最小值。
18、(本题满分 12 分)
某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩
和 3 门学生自主选择的高中学业水平等级性考试科目成绩共同构成，该省教育厅为了解正在
读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度，随机从中抽取了 100 名城乡学生家长作为样
本进行调查，调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的
等高条形图。
(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的 2×2列联表，并判断我们能否有 95%的把握认为“赞
成高考改革方案与城乡户口关”？
(2)用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取 3 人，记这 3 个家长
中是城镇户口的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望。
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK
a b c d a c b d
，其中 n＝a＋b＋c＋d。
19、(本题满分 12 分)
已知数列{an}的前 n 项和 Sn满足 2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，且 a1＝2。
(1)求数列{an}的通项公式；
- 4 -
(2)设 bn＝(an－1) na2 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
20、(本题满分 12 分)
在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA//BE，BE＝2，AB＝
PA＝4。
(1)求证：CE//平面 PAD；
(2)求直线 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值；
(3)在棱 AB 上是否存在一点 F，使得二面角 E－PC－F 的大小为 60°？如果存在，确定点 F 的
位置；如果不存在，说明理由。
21、(本题满分 12 分)
已知圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝4。
(1)求经过点(2，5)且与圆 C 相切的直线方程；
(2)设直线 l：y＝x＋n 与圆 C 相交于 A，B 两点，若CA CB
＝2，求实数 n 的值；
(3)若点 M 在以坐标原点为圆心，以 1 为半径的圆上，距离为 4 的两点 P，Q 在圆 C 上，求
MP MQ
的最小值。
22、(本题满分 12 分)
已知函数，f(x)＝2lnx＋x2－4x＋3。
(1)求函数 f(x)在[1，2]上的最小值；
(2)若 f(x)≤a(x－1)3恒成立，求实数 a 的值。
- 5 -
丹东市五校联考数学科试卷参考答案
单选题：1---4 ADAC 5---8 DBBC
多选题：9、AD 10、ABC 11、ABC 12、BCD
填空题：13、
3
4
14、8 5、
81
14
16、 2130m
解答题：
17、（本题满分 10 分）
（1） 2 3 sin cos sin 2
4 4
f x x x x a
3sin 2 sin2 3cos2 sin2
2
f x x x a x x a
2sin 2
3
x a
2 1a ， 1a ------4 分
（2）将 f x 的图象向左平移
6
个单位，得到函数 g x 的图象，
22sin 2 1 2sin 2 1
6 6 3 3
g x f x x x
， ------6 分
0,
2
x
2 2 52 ,
3 3 3
x
当
2 22
3 3
x
时，
2 3sin 2
3 2
x
， g x 取最大值 3 1 ，
当
2 32
3 2
x
时，
2sin 2 1
3
x
， g x 取最小值 3 . ------10 分
18、（本题满分 12 分）
（1）完成列联表， 如下：
代入公式，得 K2＝
100×300－6752
45×55×75×25
≈3.03＜3.841.
∴我们没有 95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”． ------6 分
(2)用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概
率为 0.6，抽中农村户口家长的概率为 0.4.
X的可能取值为 0,1,2,3，
P(X＝0)＝(0.4)3＝0.064； P(X＝1)＝C13×0.6×(0.4)2＝0.288；
P(X＝2)＝C23×0.62×0.4＝0.432； P(X＝3)＝C33×0.63＝0.216.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8. ------12 分
19、（本题满分 12 分）
（1）因为 2 ( 1)n nS n a ,n N ,所以 1 12 ( 2)n nS n a ,n N ,
两式相减得 1 12 ( 2) ( 1)n n na n a n a ,整理得 1 ( 1)n nna n a ,
即 1
1
n na a
n n
,n N ,所以
na
n
为常数列,所以 1 2
1
na a
n
, 所以 2na n ------4 分
赞成 不赞成 总计
城镇居民 30 15 45
农村居民 45 10 55
总计 75 25 100
- 6 -
（2）由（1）, ( 1)2 =(2 1)4na n
n nb a n , ------6 分
所以
1 2 31 4 +3 4 +5 4 + +(2 1)4nnT n
2 3 14 1 4 +3 4 + +(2 3)4 (2 1)4n n
nT n n … 两式相减得：
2 3 13 4+2 (4 +4 + +4 ) (2 1)4n n
nT n … ，
2 +1
14 43 4+2 (2 1)4
1 4
n
n
nT n
，
化简得
120 (6 5)4+
9 9
n
n
nT
------12 分
20、（本题满分 12 分）
（1）证明：取 PA中点H ，连接 EH ，DH ，
/ /EB PA ，
1
2
EB PA AH ，
四边形 ABEH 是平行四边形，
/ /EH AB ， EH AB ，
四边形 ABCD是正方形， / /CD AB ，CD AB ，
/ /EH CD ， EH CD ，
四边形CDHE是平行四边形， / /EC DH ，
又EC 平面 PAD，DH 平面 PAD，
/ /EC 平面 PAD .
（2）解：以 A为原点建立空间直角坐标系 A xyz ，如图所示：
则 (0P ，0， 4) ， (4E ，0， 2) ， (4C ，4， 0) ， (0D ，4， 0) ，
(0PD
，4， 4) ， (4PE
，0， 2) ， (0EC
，4， 2) ，
设平面PCE的法向量为 (m x
， y， )z ，则
· 0
· 0
m PE
m EC
，即
4 2 0
4 2 0
x z
y z
，
令 1x 可得 (1m
，1， 2) ，
设直线 PD与平面PCE所成角为，
则
| | | 4 8 | 4 3sin | |
61 1 4 0 16 16 4 2 6
m PD
m PD
，
直线 PD与平面PCE所成角的正弦值为
3
6
.
（3）解：设 )0,0,(aF ，则 (FP a
，0， 4) ， (4FC a
，4， 0) ，
设平面PCF的法向量为 1(n x
， 1y ， 1)z ，则
· 0
· 0
n FP
n FC
，即
1 1
1 1
4 0
(4 ) 4 0
ax z
a x y
，
令 1z a 可得 (4n ， 4a ， )a ，
故 2
| | 3| cos , |
6 2 8 32
m n am n
m n a a
，令 2
3 1
26 2 8 32
a
a a
，即
2 2 8 0a a ，解得 2a ， 4a （舍），
当 F 为 AB的中点时，二面角 E PC F 的大小为60 .
21、（本题满分 12 分）
（1） 5,2 是圆上的点，所以切线的方程为： 5y ------4
分
- 7 -
（2）∵ 2cos4cos ACBACBCBCACBCA
∴ 60ACB 即圆心到直线的距离为 3
∴ 163
2
32
n
n
d 或 16 n . ------8 分
（3）法一:点M 的方程为： 122 yx ，设 )sin,(cos M 。由题意可知 PQ为直径。设
),( 00 yxP ，则 )6,4( 00 yxQ ，
)sin6)(sin()cos4)cos( 0000 yyxxMQMP （
sin4cos614)3()2 2
0
2
0 yx（
)sin(13210
所以 MQMP 的最小值为 13210 ------12 分
法二：
22 )()[(
4
1 MQMPMQMPMQMP
2222
)1(4
4
1
OCMCPQMC
132104)113( 2
所以 MQMP 的最小值为 13210 ------12 分
22、（本题满分 12 分）
（1）因为
22 2( 1)( ) 2 4 0xf x x
x x
≥ ，当且仅当 1x 时， ( ) 0f x ，
所以 ( )f x 在 [1,2]上是增函数，
所以 ( )f x 在 [1,2]上的最小值为 (1) 0f ． ------4 分
（2）设 3 2 3( ) ( ) ( 1) 2ln 4 3 ( 1)g x f x a x x x x a x ，
则
2 2
22( 1) ( 1) (2 3 )( ) 3 ( 1)x x axg x a x
x x
．
①当 0a≤ 时，当 1x 时，由（1）知 ( ) 0f x ，
而 3( 1) 0a x ≤ ，所以 3( ) ( 1)f x a x ≤ 不恒成立． ------6 分
②当
2
3
a 时，
20 1
3a
，当
2
3
x
a
时， ( ) 0g x ≤ ，当且仅当 1x 时， ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 在
2( , )
3a
上是减函数，
所以
2( ) (1) 0
3
g g
a
，即 ( ) 0g x ≤ 不恒成立． ------8 分
③当
20
3
a 时，
2 1
3a
，
当
20
3
x
a
时， ( ) 0g x ≥ ，当且仅当 1x 时， ( ) 0g x ，
所以 ( )g x 在
2(0, )
3a
上是增函数，
所以
2( ) (1) 0
3
g g
a
，即 ( ) 0g x ≤ 不恒成立． ------10 分
④当
2
3
a 时，
32( 1)( ) xg x
x
，
2 1
3a
，
当 0 1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (0,1) 上是增函数；
- 8 -
当 1x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 在 (1, ) 上是减函数．
所以 ( ) (1) 0g x g ≤ ，即 ( ) 0g x ≤ 恒成立．
综上所述，实数 a的值为
2
3
． ------12 分
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