【数学】2020届一轮复习北师大版归纳与类比学案(1) 10页

第四节　归纳与类比 [考纲传真]　了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体 会合情推理在数学发现中的作用． 1．归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属 性．我们将这种推理方式称为归纳推理． 2．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他 特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推 理． 3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正 确． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. (　　) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适. (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)× 2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计 算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是(　　) A．an＝3n－1　　　　　 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2.] 3．下面几种推理是合情推理的是 (　　) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°， 归纳出所有三角形的内角和都是 180°； ③李锋某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分； ④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°，由 此得凸 n 边形内角和是(n－2)·180°. A．①② B．①③ C．①②④ D．②④ C　[合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推 理．故选 C.] 4．(教材改编)在等差数列{an}中，若 a10＝0，则有 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2 ＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 b9＝1， 则 b1b2b3…bn＝________. b1·b2·…·b 17－n(n＜17，n∈N*)　[∵b9＝1，∴在等比数列中 b1·b2·b3·…·b n＝ b1·b2·…·b 17－n(n＜17，n∈N*)．] 归纳推理 ►考法 1　与数式有关的推理 【例 1】　(1)(2019·南昌模拟)已知 1 3＋23＝ ( 6 2 )2,13＋23＋33＝ ( 12 2 )2,13 ＋23＋33＋43＝ ( 20 2 )2，…，若 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则 n＝(　　) A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11 (2)(2019·济宁模拟)已知 ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式： a1＋a2 2 ≥ a1a2； a1＋a2＋a3 3 ≥3 a1a2a3； a1＋a2＋a3＋a4 4 ≥4 a1a2a3a4； …… 照此规律，当 n∈N*，n≥2 时，a1＋a2＋…＋an n ≥______. (1)C　(2)n a1a2…an　[(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是 n3 时，等号右边的数为 ( n(n＋1) 2 )2，因此，令 ( n(n＋1) 2 )2＝3 025，则n(n＋1) 2 ＝55，n ＝10 或 n＝－11(舍)．故选 C. (2)由题意得a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an(n∈N*，n≥2)．] ►考法 2　与图形有关的推理 【例 2】　某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段， 长度均为 1，两两夹角为 120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出 发再生成两条长度为原来的1 3 的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分形图． (1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． (1)3×2n－3(n∈N*)　(2)9－9× ( 2 3 )n(n∈N*)　[(1)由题图知，一级分形图 中的线段条数为 3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为 9＝3×22－3，三级分 形图中的线段条数为 21＝3×23－3，按此规律，n 级分形图中的线段条数为 an＝ 3×2n－3(n∈N*)． (2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的1 3 的线段， ∴n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度和为 bn＝3× ( 2 3 ) n－1 (n∈N*)，∴n 级 分形图中所有线段长度之和为 Sn＝3× ( 2 3 ) 0 ＋3× ( 2 3 ) 1 ＋…＋3× ( 2 3 ) n－1 ＝3× 1－( 2 3 )n 1－2 3 ＝9－9× ( 2 3 ) n .] [规律方法]　归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及 符号可解． (2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后 可解． (3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋 值检验法验证其真伪性． (1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但 求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式 的 等 式 具 有 “ 穿 墙 术 ” ： 2 2 3 ＝ 2 2 3 ， 3 3 8 ＝ 3 3 8 ， 4 4 15 ＝ 4 4 15 ， 5 5 24 ＝ 5 5 24 ，…，则按照以上规律，若 9 9 n ＝ 9 9 n 具有“穿墙术”，则 n＝(　　) A．25 B．48 C．63 D．80 (2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律， 写出第 n 个图形中小正方形的个数是________． (1)D　(2)n(n＋1) 2 (n∈N*)　[(1)由 2 2 3 ＝ 2 2 3 ，3 3 8 ＝ 3 3 8 ，4 4 15 ＝ 4 4 15 ，5 5 24 ＝ 5 5 24 ，…， 可得若 9 9 n ＝ 9 9 n 具有“穿墙术”，则 n＝92－1＝80. (2)由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为 n(n＋1) 2 (n∈N*)．] 类比推理 【例 3】　(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一 种无限与有限的转化过程，比如在 2＋ 2＋ 2＋…中“…”即代表无限次重复， 但原式却是个定值 x，这可以通过方程 2＋x＝x 确定出来 x＝2，类似地不难得 到 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝(　　) A. － 5－1 2 B． 5－1 2 C.1＋ 5 2 D．1－ 5 2 (2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为 a，b，则斜边长为 a2＋b2，直角顶点到斜边的距离为 ab a2＋b2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直， 三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，类比推理可得底面积为 S21＋S22＋S23，则三棱 锥顶点到底面的距离为(　　) A.3 S1S2S3 S21＋S22＋S23 B． S1S2S3 S21＋S22＋S23 C. 2S1S2S3 S21＋S22＋S23 D． 3S1S2S3 S21＋S22＋S23 (1)C　(2)C　[(1)令 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝x(x＞0)， 即 1＋1 x ＝x，即 x2－x－1＝0，解得 x＝1＋ 5 2 (x＝1－ 5 2 舍)，故 1＋ 1 1＋ 1 1＋… ＝1＋ 5 2 ，故选 C. (2)设空间中三棱锥 O­ABC 的三条两两垂直的侧棱 OA，OB，OC 的长分别 为 a，b，c，不妨设三个侧面的面积分别为 S△OAB＝1 2ab＝S1，S△OAC＝1 2ac＝S2，S△OBC ＝1 2bc＝S3，则 ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3. 过 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 AD(图略)，由 OA⊥OB，OA⊥OC，且 OB∩OC ＝O，得 OA⊥平面 OBC，所以 OA⊥BC，又 OA∩OD＝O，所以 BC⊥平面 AOD， 又 BC平面 OBC，所以平面 OBC⊥平面 AOD， 所以点 O 在平面 ABC 内的射影 O′在线段 AD 上，连接 OO′. 在直角三角形 OBC 中，OD＝ bc b2＋c2. 因 为 AO⊥OD ， 所 以 在 直 角 三 角 形 OAD 中 ， OO′ ＝ OA·OD OA2＋OD2 ＝ a· bc b2＋c2 a2＋( bc b2＋c2)2 ＝ abc (ab)2＋(ac)2＋(bc)2 ＝ (ab)(bc)(ca) (ab)2＋(ac)2＋(bc)2 ＝ (2S1)·(2S2)·(2S3) (2S1)2＋(2S3)2＋(2S2)2 ＝ 2S1S2S3 S21＋S22＋S23.] [规律方法]　求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以 确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质， 得出一个命题(猜想)． (1)在正项等差数列{an}中有a41＋a42＋…＋a60 20 ＝a1＋a2＋…＋a100 100 成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为________． (2)如图(1)所示，点 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO，并延长交 对边于 A1，B1，C1，则OA1 AA1 ＋OB1 BB1 ＋OC1 CC1 ＝1，类比猜想：点 O 是空间四面体 VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接 VO，BO，CO，DO 并延长分别交面 BCD， VCD，VBD，VBC 于点 V1，B1，C1，D1，则有________． (1)20 b41b42b43…b60＝ 100 b1b2b3…b100　(2)OV1 VV1 ＋OB1 BB1 ＋OC1 CC1 ＋OD1 DD1 ＝1　[(1)由 等 差 数 列 的 性 质 知 ， a41＋a42＋…＋a60 20 ＝ 10(a41＋a60) 20 ＝ a1＋a100 2 ， a1＋a2＋…＋a100 100 ＝50(a1＋a100) 100 ＝a1＋a100 2 ， 所以a41＋a42＋…＋a60 20 ＝a1＋a2＋…＋a100 100 . 在正项等比数列{bn}中，类似的有： 20 b41b42b43…b60＝20 (b41b60)10＝20 (b1b100)10＝ b1b100， 100 b1b2b3…b100＝100 (b1b100)50＝ b1b100， 所以20 b41b42b43…b60＝100 b1b2b3…b100， 所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为20 b41b42b43…b60＝100 b1b2b3…b100. (2)利用类比推理，猜想应有OV1 VV1 ＋OB1 BB1 ＋OC1 CC1 ＋OD1 DD1 ＝1. 用“体积法”证明如下： OV1 VV1 ＋OB1 BB1 ＋OC1 CC1 ＋OD1 DD1 ＝VO­BCD VV­BCD ＋VO­VCD VB­VCD ＋VO­VBD VC­VBD ＋VO­VBC VD­VBC ＝VV­BCD VV­BCD ＝1.] 推理在生活中的应用 【例 4】　(1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说： “乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙 获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则 (　　) A．甲和乙不可能同时获奖 B．丙和丁不可能同时获奖 C．乙和丁不可能同时获奖 D．丁和甲不可能同时获奖 (2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委 员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同， 体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________． (1)C　(2)乙　[(1)若甲未获奖，则乙、丙、丁三位同学获奖，此时甲、乙、 丙说的都错了，与题设矛盾，所以甲一定获奖了；若丙未获奖，则甲、乙、丁三 位同学获奖，此时甲、丙、丁说的都对，与题设矛盾，所以丙也一定获奖了，由 此可知乙、丁只有一个获奖，不可能同时获奖，故选 C. (2)若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习 委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体 育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故 丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙 是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．] [规律方法]　该类问题求解时，需要对题设条件认真分析，常从某一条件出 发，在推理中如果推出矛盾，则将其否定，如果没有推出矛盾，则说明其为正确 的，从而得出结论． 甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交 换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相 同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断 乙读的最后一本书是________读的第一本书． 丙　[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读 的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．] 1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的 成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩， 给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成 绩．根据以上信息，则(　　) A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 D　[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀、1 个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良 好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成 绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优 秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选 D．] 2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三 人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我 的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________ 1 和 3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3. 若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3， 则甲的卡片上的数字是 1 和 3，满足题意； 若丙的卡片上的数字是 1 和 3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3， 则甲的卡片上的数字是 1 和 2，不满足甲的说法． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以丙的卡片上必有数字 2. 又丙的卡片上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的 卡片上相同的数字不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的 数字是 1 和 3.] 3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市 时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． A　[由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城 市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市”，说明乙去过城市 A，由此可知，乙去 过的城市为 A.]