江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十六次周考理A层13班2（含解析） 8页

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第十六次周考（理 A 层）（13 班） 一．选择题（50 分） 1 若双曲线x2 a2－y2 3 ＝1 的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2，则该双曲线的实轴 长为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．6 2 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且 都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D.7 8 3、如图，在棱长为 的正方体 中，给出以下结论： ① 直线 与 所成的角为 ； ② 若 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ； ③ 若 是线段 上的动点，且 ，则四面体 的体积恒为 . 其中，正确结论的个数是( ) - 2 - 4 设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆 x2 10 ＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 ( ) A．5 2 B. 46＋ 2 C．7＋ 2 D．6 2 5、已知空间 个球，它们的半径均为 ，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这 个 球都外切，则这个小球的半径（ ） A. B. C. D. 6 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期 五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种 7．过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 且倾斜角为 60 的直线l 与抛物线在第一、四象限分别 交于 A、B 两点，则 AF BF  （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 8、抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，准线为 ,l P 为抛物线C 上一点，且 P 在第一象限，PM l 并交于点 M ，线段 MF 与抛物线C 交于点 N ，若 PF 的斜率为 3 4 ，则 MN NF  （ ） A． 5 B． 10 C． 5 2 D． 10 2 9 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被 分在同一组的概率为（ ） A． 1 55 B． 3 55 C． 1 4 D． 1 3 - 3 - 10.不等式 2ln ( 2) 2x x x a x a   ≤ 有且只有一个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A．[ 1 )  ， B． ( 4 4ln 2] [ 1 )     ， ， C.( 3 3ln3] [ 1 + )    ， ， D． ( 4 4ln 2 3 3ln3] [ 1 )      ， ， 二．填空题（25 分） 11 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节， 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为________(用数字作答)． 12、小波玩已知闯关游戏，有 5 次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止游戏，闯关成功；否 则，闯关失败，若小波每次挑战胜利的概率均为 0.8，且各次挑战相互独立，那么小波恰好挑 战 4 次成功的概率为 13、已知空间四边形 中, , , ,若平面 平面 ,则该几何体的外接球表面积为_______. 三．解答题（48 分） 14 如图，已知长方形 ABCD 中， 1,2  ADAB , M 为 DC 的中点.将 ADM 沿 AM 折起， 使得平面 ADM  平面 ABCM . （1）求证： BMAD  ； （2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 DAME  的余弦值为 5 5 ． 15．一场娱乐晚会上有 5 位歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌 手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众 A 是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号, 不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众 B 和 C 对 5 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. A - 4 - (1)求观众 A 选中 4 号歌手且观众 B 未选中 4 号歌手的概率. (2)X 表示 4 号歌手得到观众 A、B、C 的票数之和,求 X 的分布列和数学期望. 16 设椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，其中长轴是短轴长的 2 倍，过焦点且垂直于 x 轴 的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 。 （I）求椭圆 E 的方程； （II）点 P 是椭圆 E 上动点，且横坐标大于 2 ，点 B ，C 在 y 轴上， 1)1( 22  yx 内切于 PBC ，试判断点 P 的横坐标为何值时 PBC 的 面积 S 最小。 17（12 分）已知函数 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x    （其中 0a  ）. （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 21( ) ( )2 ag x x f x   ，设  1 2 1 2,x x x x 是函数 ( )g x 的两个极值点，若 3 2a  ， 且    1 2g x g x k  恒成立，求实数 k 的取值范围. - 5 - 2019 年高三（13）班第十六次数学周考卷参考答案 一选择踢 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A B C B B D 二.填空题 11 答案 3 5 12 0.128 13【答案】 、 三.解答题 14（1）证明：连接 BM，则 AM=BM= 2 ，所以 AM BM 又因为面 ADM  平面 ABCM ， 面ADM 面ABCM=AM 所以， BM ADM BM AD  面 （2）建立如图所示的空间直角作标系 M xyz 由（1）可知，平面 ADM 的法向量 (0,1,0)m  设平面 ABCM 的法向量 ( , , )n x y z ， 所以， 2 2( 2,0,0), (0, 2,0), ( ,0, ), (0,0,0)2 2A B D M 2 2 2 2( , 2, ), ((1 ) , 2 ,(1 ) )2 2 2 2DB DE DB E            2 2( 2,0,0), ((1 ) , 2 ,(1 ) )2 2MA ME        0 (0,1 , 2 ) 0 n MA n n ME                  二面角 DAME  的余弦值为 5 5 - 6 - 得， 1 2   ，即：E 为 DB 的中点。 15. (1) 设事件 D 表示:观众 A 选中 4 号歌手且观众 B 未选中 4 号歌手。观众 A 选中 4 号歌 手的概率为 3 2 ,观众 B 未选中 4 号歌手的概率为 5 3-1 。所以 P(D) = 15 4 5 3-13 2  ）（ . 因此，观众 A 选中 4 号歌手且观众 B 未选中 4 号歌手的概率为 15 4 . (2) X 表示 4 号歌手得到观众 A、B、C 的票数之和，则 X 可取 0,1,2,3.观众 A 选中 4 号歌手 的概率为 3 2 ,观众 B、C 选中 4 号歌手的概率为 5 3 。 当观众 A、B、C 均未选中 4 号歌手时，这时 X=0，P(X = 0) = 75 4)5 31()3 21( 2  . 当观众 A、B、C 中只有 1 人选中 4 号歌手时，这时 X=1，P(X = 1) = 75 20 75 668 5 3)5 31(3 21()5 31(5 3 3 21()5 31(3 2 2  ）） . 当观众 A、B、C 中只有 2 人选中 4 号歌手时，这时 X=2，P(X = 2) = 75 33 75 12912 5 3)5 31(3 2 5 3 5 3 3 21()5 31(5 3 3 2  ） . 当观众 A、B、C 均选中 4 号歌手时，这时 X=3，P(X =3) = 75 18)5 3(3 2 2  . X 的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 75 4 75 20 75 33 75 18 4 20 33 18 20 66 54 28E 0 1 2 375 75 75 75 75 15 x            所以，数学期望 15 28EX . 16 由已知 3,2 2  a bba ，解得： 6,32  ba ，故所求椭圆方程为： 1612 22  yx …………………………3 分 （II）设 ),( 00 yxP )322( 0  x ),0( mB ， ),0( nC .不妨设 nm  ，则直线 PB 的 方程为 xx mymylPB 0 0:  ，即 0)( 000  mxyxxmy ，又圆心 )0,1( 到 - 7 - 直线 PB 的距离为1，即 1 )( || 2 0 2 0 00    xmy mxmy ， 20 x ，化简得 02)2( 00 2 0  xmymx ，…………………………5 分 同理 02)2( 00 2 0  xnynx ，所以 nm, 是方程 02)2( 00 2 0  xxyxx 的两个根，所以 2 2 0 0   x ynm ， 20 0   x xmn ， 则 2 0 0 2 0 2 02 )2( 844)(   x xyxnm ………………………7 分 因为 ),( 00 yxP 是椭圆上的点，所以 )121(6 2 02 0 xy  ， 2 0 0 2 02 )2( 2482)(   x xxnm ， 则      2 0 0 2 02 02 0 0 2 02 )2(2 124 )2( 2482 4 1 x xxx x xxS 2 02 0 2 02 0 )2(2 8)2( x x xx    ， …………………………9 分 令 tx  20 ))13(20(  t ，则 20  tx ，令 2 22 2 )2)(8()( t tttf  化简 2 2 1616622 1)( tttttf  ，则 3 3 32 ' )16)(2(32162)( t tt tt ttf  ， 令 0)(' tf ，得 )13(2223 t ，而，所以函数 )(tf 在 )]13(2,0[  上单调递减， 当 )13(2 t 即 320 x 即点 P 的横坐标为 320 x 时，的 PBC 面积 S 最小。 …………………………12 分 17 解：（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) x axf x ax ax x        （i）若 0 1a  ，则 1 1a  .由 ( ) 0f x  得 0 1x  或 1x a  ；由 ( ) 0f x  得 11 x a   ∴ ( )f x 在 (0,1) ， 1 ,a     上单调递增，在 11, a      上单调递减； （ii）若 1a  ，则 ( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； - 8 - （iii）若 1a  ，则 10 1a   ，由 ( ) 0f x  得 10 x a   或 1x  ；由 ( ) 0f x  得 1 1xa   ∴ ( )f x 在 10, a      ， (1, ) 上单调递增，在 1 ,1a      上单调递减. （2）∵ 21( ) ln ( 1)2g x x x a x    ， 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x ax x         ， 由 ( ) 0g x  得 2 ( 1) 1 0x a x    ，∴ 1 2 1x x a   ， 1 2 1x x ，∴ 2 1 1x x  ∵ 3 2a  ∴ 1 1 1 1 1 5 2 10 x x x x       解得 1 10 2x ≤ ∴        2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1ln ( 1) 2ln2 2 xg x g x x x a x x x xx x               设 2 2 1 1( ) 2ln 2h x x x x       10 2x     ，则  22 3 3 12 1( ) 0 x h x xx x x         ∴ ( )h x 在 10, 2      上单调递减；当 1 1 2x  时， min 1 15( ) 2ln 22 8h x h     