• 1.18 MB
  • 2021-07-01 发布

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

  • 40页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
5.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质(二)   必备知识·自主学习 正弦函数、余弦函数的性质 (1)图象与性质 (2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质. (3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值. 【思考】 从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位 置? 提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)y=sin x在(0,π)上单调递增. (  ) (2)存在x∈R满足sin x= . (  ) (3)在区间[0,2π]上,函数y=cos x仅当x=0时取得最大值1. (  ) 提示:(1)×.y=sin x在 上单调递增,在 上单调递减. (2)×.正弦函数y=sin x的值域为[-1,1],所以sin x= 无解. (3)×.当x=2π时,cos x=1也成立. 2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2-sin x取得最大值时,x的取值集合为 _______.  【解析】当sin x=-1时,ymax=2-(-1)=3, 此时x=2kπ- ,k∈Z. 答案: 3.若cos x=m-1有意义,则m的取值范围是_______.  【解析】因为-1≤cos x≤1,要使cos x=m-1有意义, 则-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2. 答案:[0,2] 关键能力·合作学习 类型一 正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算) 【题组训练】 1.下列函数,在 上单调递增的是 (  )                  A.y=sin x B.y=cos x C.y=sin 2x D.y=cos 2x 2.函数y=sin ,x∈ 的单调递减区间为_______.  3.求函数y=1+sin ,x∈[-4π,4π]的单调递减区间. 【解析】1.选D.对于A,B,C,在 上显然都不是单调递增的,对于函 数y=cos 2x,令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z),即 +kπ≤x≤π+kπ(k∈ Z),故y=cos 2x的单调递增区间是 (k∈Z),则当k=0时,单调 递增区间为 2.由 +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 得 又x∈ 所以函数y=sin ,x∈ 的单调递减区间为 . 答案: 3.y=1+sin =-sin +1. 由2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z). 解得4kπ- ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 又因为x∈[-4π,4π], 所以函数y=1+sin 的单调递减区间为 【解题策略】 单调区间的求法 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正 数, (1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x 的范围即为函数的单调递增区间. (2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的 x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内, 可求得函数的单调递增区间. 提醒:求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助 y=sin x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y= sin x的单调性的关系. 【补偿训练】 1.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是_______.  2.已知函数y=cos ,则它的单调递减区间为_______.  【解析】1.因为y=cos x在[-π,0]上是单调递增的,在[0,π]上单调递 减,所以只有-πcos , 即cos >cos . 2.因为cos 1=sin ,而0< <1< 且y=sin x在 上单调递增, 所以sin cos β 【解析】选B.α,β为锐角三角形的两个内角,α+β> ,α> -β, α∈ , -β∈ , 所以cos α0,cos 760°= cos 40°>0且cos 20°>cos 40°,所以cos 150°0).当x∈ 时,f(x)的最大 值为 ,最小值是-2,求a和b的值. 【思路导引】先由x∈ ,求2x- 的取值范围,再求sin 的取值 范围,最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程组求解. 【解析】因为 因为a>0,所以f(x)max=a+b= , f(x)min=- a+b=-2. 【解题策略】 求y=sin(ωx+φ)型三角函数的值域的方法 令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单 调性、有界性求出y=sin t的最值(值域). 1.函数f(x)=-2sin x+1,x∈ 的值域是 (  ) A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] 【解析】选B.因为x∈ ,所以sin x∈[-1,1],所以-2sin x+1∈ [-1,3]. 2.函数y=3-4sin x -4cos2x的值域为 _______.  【解析】y=3-4sin x-4cos2x =3-4sin x-4(1-sin2x) =4sin2x-4sin x-1, 令t=sin x,则-1≤t≤1. 所以y=4t2-4t-1=4 -2(-1≤t≤1). 所以当t= 时,ymin=-2, 当t=-1时,ymax=7. 即函数y=3-4sin x-4cos2x的值域为[-2,7]. 答案:[-2,7] 3.若函数y=a-bcos x(b>0)的最大值为 ,最小值为- ,则函数的解析式 为y=_______.  【解析】因为y=a-bcos x(b>0),所以ymax=a+b= ,ymin=a-b=- . 所以y= -cos x. 答案: -cos x 课堂检测·素养达标 1.(教材二次开发:练习改编)函数y=sin 2x的单调递减区间是 (  ) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z) D. (k∈Z) 【解析】选B.令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,则y=sin 2x的单调递减区间是 2.y=2sin 的值域是 (  )                   A.[-2,2] B.[0,2] C.[-2,0] D.[-1,1] 【解析】选A.因为sin ∈[-1,1], 所以y∈[-2,2]. 3.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是 (  ) A.y=|cos x| B.y=cos|-x| C.y=sin D.y=-sin 【解析】选C.y=|cos x|在 上单调递减,排除A; y=cos |-x|=cos |x|在(0,π)上单调递减.排除B;y=sin =-sin =-cos x是偶函数,且在(0,π)上单调递增,符合题意;y=-sin 在(0,π) 上是单调递减的,排除D. 4.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=_______.  【解析】当a>0时, 当a<0时, 所以ab=±2. 答案:±2 5.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为_______.  【解析】因为1< <2<3<π, sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3. y=sin x在 上单调递增,且0<π-3<1<π-2< ,所以sin(π-3)