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- 2021-07-01 发布
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5.4.2 正弦函数、余弦函数的
性质(二)
必备知识·自主学习
正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
【思考】
从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位
置?
提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=sin x在(0,π)上单调递增. ( )
(2)存在x∈R满足sin x= . ( )
(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos x仅当x=0时取得最大值1. ( )
提示:(1)×.y=sin x在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)×.正弦函数y=sin x的值域为[-1,1],所以sin x= 无解.
(3)×.当x=2π时,cos x=1也成立.
2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2-sin x取得最大值时,x的取值集合为
_______.
【解析】当sin x=-1时,ymax=2-(-1)=3,
此时x=2kπ- ,k∈Z.
答案:
3.若cos x=m-1有意义,则m的取值范围是_______.
【解析】因为-1≤cos x≤1,要使cos x=m-1有意义,
则-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.
答案:[0,2]
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)
【题组训练】
1.下列函数,在 上单调递增的是 ( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=sin 2x D.y=cos 2x
2.函数y=sin ,x∈ 的单调递减区间为_______.
3.求函数y=1+sin ,x∈[-4π,4π]的单调递减区间.
【解析】1.选D.对于A,B,C,在 上显然都不是单调递增的,对于函
数y=cos 2x,令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z),即 +kπ≤x≤π+kπ(k∈
Z),故y=cos 2x的单调递增区间是 (k∈Z),则当k=0时,单调
递增区间为
2.由 +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ(k∈Z),
得
又x∈
所以函数y=sin ,x∈ 的单调递减区间为 .
答案:
3.y=1+sin =-sin +1.
由2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z).
解得4kπ- ≤x≤4kπ+ π(k∈Z).
又因为x∈[-4π,4π],
所以函数y=1+sin 的单调递减区间为
【解题策略】
单调区间的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正
数,
(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x
的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的
x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,
可求得函数的单调递增区间.
提醒:求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助
y=sin x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=
sin x的单调性的关系.
【补偿训练】
1.函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是_______.
2.已知函数y=cos ,则它的单调递减区间为_______.
【解析】1.因为y=cos x在[-π,0]上是单调递增的,在[0,π]上单调递
减,所以只有-πcos ,
即cos >cos .
2.因为cos 1=sin ,而0< <1< 且y=sin x在 上单调递增,
所以sin cos β
【解析】选B.α,β为锐角三角形的两个内角,α+β> ,α> -β,
α∈ , -β∈ ,
所以cos α0,cos 760°=
cos 40°>0且cos 20°>cos 40°,所以cos 150°0).当x∈ 时,f(x)的最大
值为 ,最小值是-2,求a和b的值.
【思路导引】先由x∈ ,求2x- 的取值范围,再求sin 的取值
范围,最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程组求解.
【解析】因为
因为a>0,所以f(x)max=a+b= ,
f(x)min=- a+b=-2.
【解题策略】
求y=sin(ωx+φ)型三角函数的值域的方法
令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单
调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
1.函数f(x)=-2sin x+1,x∈ 的值域是 ( )
A.[1,3] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-1,1]
【解析】选B.因为x∈ ,所以sin x∈[-1,1],所以-2sin x+1∈
[-1,3].
2.函数y=3-4sin x
-4cos2x的值域为
_______.
【解析】y=3-4sin x-4cos2x
=3-4sin x-4(1-sin2x)
=4sin2x-4sin x-1,
令t=sin x,则-1≤t≤1.
所以y=4t2-4t-1=4 -2(-1≤t≤1).
所以当t= 时,ymin=-2,
当t=-1时,ymax=7.
即函数y=3-4sin x-4cos2x的值域为[-2,7].
答案:[-2,7]
3.若函数y=a-bcos x(b>0)的最大值为 ,最小值为- ,则函数的解析式
为y=_______.
【解析】因为y=a-bcos x(b>0),所以ymax=a+b= ,ymin=a-b=- .
所以y= -cos x.
答案: -cos x
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=sin 2x的单调递减区间是 ( )
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)
D. (k∈Z)
【解析】选B.令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,
得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,则y=sin 2x的单调递减区间是
2.y=2sin 的值域是 ( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,0] D.[-1,1]
【解析】选A.因为sin ∈[-1,1],
所以y∈[-2,2].
3.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是 ( )
A.y=|cos x| B.y=cos|-x|
C.y=sin D.y=-sin
【解析】选C.y=|cos x|在 上单调递减,排除A;
y=cos |-x|=cos |x|在(0,π)上单调递减.排除B;y=sin =-sin
=-cos x是偶函数,且在(0,π)上单调递增,符合题意;y=-sin 在(0,π)
上是单调递减的,排除D.
4.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=_______.
【解析】当a>0时,
当a<0时,
所以ab=±2.
答案:±2
5.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为_______.
【解析】因为1< <2<3<π,
sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.
y=sin x在 上单调递增,且0<π-3<1<π-2< ,所以sin(π-3)
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