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- 2021-07-01 发布
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高中数学必修 5 第一章 解三角形复习
一、知识点总结
【正弦定理】
1.正弦定理: 2sin sin sin
a b c RA B C
(R 为三角形外接圆的半径).
2.正弦定理的一些变式:
sin sin sini a b c A B C ; sin ,sin ,sin2 2
a bii A B CR R
2
c
R
;
2 sin , 2 sin , 2 siniii a R A b R B b R C ;(iv) RCBA
cba 2sinsinsin
3.两类正弦定理解三角形的问题:
(1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解)
【余弦定理】
1.余弦定理:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c b a ba C
2.推论:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos 2
cos 2
cos 2
b c aA bc
a c bB ac
b a cC ab
.
3.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角.
(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
【面积公式】
已知三角形的三边为 a,b,c,
1. 1 1 1sin ( )2 2 2aS ah ab C r a b c =
R
abc
4
=2R2sinAsinBsinC(其中 r 为三角形内切圆半径)
2.设 )(2
1 cbap , ))()(( cpbpappS (海伦公式)
【三角形中的常见结论】
(1) CBA (2) sin( ) sin ,A B C cos( ) cos ,A B C tan( ) tan ,A B C
2cos2sin CBA ,
2sin2cos CBA ;
(3)若 CBA cba CBA sinsinsin
若 CBA sinsinsin cba CBA (大边对大角,小边对小角)
(4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
(5) 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形 最大角是钝角 最大角的余弦值为负值
(6) C 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 60B .
(7) C 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数列.
二、题型汇总
题型 1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统
一成边的形式或角的形式.
(2)在 ABC 中,由余弦定理可知:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
是直角 ABC是直角三角形
是钝角 ABC是钝角三角形
是锐角
a b c A
a b c A
a b c A
ABC是锐角三角形
(注意: 是锐角A ABC是锐角三角形 )
(3) 若 BA 2sin2sin ,则 A=B 或
2
BA .
例 1.在 ABC 中, Abc cos2 ,且 abcbacba 3))(( ,试判断 ABC 形状.
题型 2【解三角形及求面积】
一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
例 2.在 ABC 中, 1a , 3b , 030A ,求 的值
例 3.在 ABC 中,内角 CBA ,, 对边的边长分别是 cba ,, ,已知 2c ,
3
C .
(Ⅰ)若 ABC 的面积等于 3 ,求 ba, ;
(Ⅱ)若 AABC 2sin2)(sinsin ,求 ABC 的面积.
题型 3【证明等式成立】
证明等式成立的方法:(1)左 右,(2)右 左,(3)左右互相推.
例 4.已知 ABC 中,角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ,求证: BcCba coscos .
题型 4【解三角形在实际中的应用】
实际问题中的有关概念:
仰角 俯角 方位角 方向角
(1)仰角和俯角:
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 1).
(2)方位角:
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α(如图 2).
(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图 3)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.
② 北 偏 西 α° 即 由 指 北 方 向 逆 时 针 旋 转 α° 到 达 目 标 方 向 . ③ 南 偏 西 等 其 他 方 向 角 类 似 .
例 5.如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转
到目标方向线的水平转角)为 140°的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯
塔 A 的方位角为 110°,航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮
到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?
解三角形高考题精选
1. ABC 的三个内角为 A B C、 、 ,求当 A 为何值时, cos 2cos 2
B CA 取得最大值,并求出这个最
大值。
解:由 ,222, ACBCBA 得 所以有 .2sin2cos ACB
2sin2cos2cos2cos AACBA
2sin22sin21 2 AA .2
3)2
1
2(sin2 2 A
当 .2
3
2cos2cos,3,2
1
2sin 取得最大值时即 CBAAA
2.。设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsinA。
(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 CA sincos 的取值范围。
解:(Ⅰ)由 a=2bsinA,根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA,所以 1sin 2B ,
由 ABC△ 为锐角三角形得 π
6B 。
(Ⅱ) cos sin cos sinA C A A
cos sin 6A A
1 3cos cos sin2 2A A A 3sin 3A
。
由 ABC△ 为锐角三角形知,
2 2A B ,
2 2 6 3B 。 2
3 3 6A ,
所以 1 3sin2 3 2A
。由此有 3 33sin 32 3 2A
,
所以,cosA+sinC 的取值范围为 3 3
2 2
, 。
3.设 ABC△ 的内角 A B C, , 所对的边长分别为 a b c, , ,且 3cos cos 5a B b A c .
(Ⅰ)求 tan cotA B 的值; (Ⅱ)求 tan( )A B 的最大值.
a b c= = =2R,sinA sinB sinc
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2rsinC
3 3acosB bcosA c 2RsinAcosB 2RsinBcosA= 2RsinC5 5
3sinAcosB sinBcosA= sin(A+B)5
3 3sinAcosB sinBcosA= sinAcosB+ cosAsinB5 5
2 8sinAcosB= sinBcosA,5 5
解:⑴由正弦定理得:
∴
- = ,∴ -
∴ -
-
∴ 两边同除 2 sinBcosA5
tanAcotB=4.
以
∴
tanA=4tanB,⑵由第⑴知,
2
tanA tanB 3tanB 3 3tanA=4tanB, tan(A B)= = = 11+tanAtanB 1+4tan B 4+4tanB
tanB
1 1=4tanB, tanB=
tanB 2
-⑵∵ 而 -
当且仅且 ∴ 时“=”成立。
4.在 ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 2 2 2a c b ,且 sin cos 3cos sin ,A C A C
求 b
解 法 一 : 在 ABC 中 sin cos 3cos sin ,A C A C 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理
有 :
2 2 2 2 2 2
3 ,2 2
a b c b c aa cab bc
化 简 并 整 理 得 : 2 2 22( )a c b . 又 由 已 知
2 2 2a c b 24b b .解得 4 0(b b 或 舍).
解法二:
由余弦定理得:
2 2 2 2 cosa c b bc A .
又 2 2 2a c b , 0b 。
所以 2 cos 2b c A …………………………………①
又 sin cos 3cos sinA C A C ,
sin cos cos sin 4cos sinA C A C A C
sin( ) 4cos sinA C A C ,
即 sin 4cos sinB A C
由正弦定理得 sin sinbB Cc
,
故 4 cosb c A ………………………②
由①,②解得 4b 。
5. 已知 ABCV 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 cot cota b a A b B ,求内角C .
解:由 cot cota b a A b B 及正弦定理得
sin sin cos cos
sin cos cos sin
A B A B
A A B B
从而 sin cos cos sin cos sin sin cos4 4 4 4A A B B
sin( ) sin( )4 4A B
又 0 A B
故
4 4A B
2A B
所以
2C
6.(12) ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos( ) cos 1A C B , 2a c ,求C 。
7. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.
(1)若 PB= 1
2
,求 PA;
(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.
解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA 中,由余弦定理得 PA2= 1 1 73 2 3 cos 304 2 4
.
故 PA= 7
2
.
(2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α.
在△PBA 中,由正弦定理得 3 sin
sin150 sin(30 )
,
化简得 3 cos α=4sin α.
所以 tan α= 3
4
,即 tan∠PBA= 3
4
.
8. ABC△ 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ,已知 cAbBaC )coscos(cos2 .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 7c , ABC△ 的面积为
2
33 .求 ABC△ 的周长.
解:
(I) 由已知及正弦定理的,
CABBAC sin)cossincos(sincos2 ,
即 CBAC sin)sin(cos2 ,
故 CCC sincossin2 ,
可得
2
1cos C ,∴
3
C .
(II) 由已知,
2
33sin2
1 Cab ,
又
3
C ,∴ 6ab ,
由已知及余弦定理得, 7cos222 Cabba ,
故 1322 ba ,从而 25)( 2 ba ,
∴ ABC△ 的周长为 75
9. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现测得
BCD BDC CD s , , ,并在点C 测得塔顶 A 的仰角为 ,求塔高 AB .
解:在 BCD△ 中, πCBD .
由正弦定理得
sin sin
BC CD
BDC CBD
.
所以 sin sin
sin sin( )
CD BDC sBC CBD
· .
在 ABC△ 中 tan sintan sin( )
sAB BC ACB
· .
10.如图,甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 1A
处时,乙船位于甲船的北偏西105 的方向 1B 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时,乙
船航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处,此时两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
解:如图,连结 1 2A B , 2 2 10 2A B , 1 2
20 30 2 10 260A A ,
1 2 2A A B 是等边三角形, 1 1 2 105 60 45B A B ,
在 1 2 1A B B 中,由余弦定理得
2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 2
2 cos45
220 (10 2) 2 20 10 2 2002
B B A B A B A B A B
,
1 2 10 2.B B
因此乙船的速度的大小为10 2 60 30 2.20
答:乙船每小时航行30 2 海里.
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