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  • 2021-07-01 发布

天津市静海区第一中学2019-2020学年高一下学期周测数学试题(4月24日)

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静海区第一中学2019-2020学年高一下学期周测数学试题(‎4月24日)‎ ‎1.已知a,bR,i是虚数单位,若(2+2i)(1﹣bi)=a,则|a+bi|=(  ) ‎ A. B‎.17 C. D.5‎ 2. 如图所示,已知点M是ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且,则向量(  ) A. B. C. D.‎ ‎3.已知m、n是不重合的直线,、是不重合的平面,则下列命题正确的是(  ) ‎ A.若m,n∥,则m∥n B.若m∥,m∥,则∥‎ C.若=n,m∥n,则m∥ D.若m,m,则∥‎ 4. 已知圆锥的底面直径为r,且它的侧面展开图是一个半圆,若圆锥的表面积,则r=(  )‎ ‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎5.如图,在铁路建设中,需要确定隧道两端的距离(单位:百米),已测得隧道两端点A,B到某一点C的距离分别为6和8,ACB=,则A,B之间的距离为(  )‎ A.7 B. C. D.6‎ ‎6.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为(  ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知三棱锥P﹣ABC,过点P作PO面ABC,O为ABC中的一点,且PAPB,PBPC,PCPA,则点O为ABC的(  ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 ‎8.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,若A‎1C1=4,ABC的面积为,则A1B1的长为______.‎ ‎9.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=‎2a,‎ ‎3sinA=5sinB,则角C=_____. ‎ ‎10.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=(,﹣1),=(cosA,sinA).若,且acosB+bcosA=csinC,则角B=____.  ‎ ‎11.ABC中,AB=,AC=1,B=,则ABC的面积等于____‎ ‎12.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,,AP=3,,Q是边BC上的一动点,且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为____‎ ‎13.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=acosC+ccosA.‎ ‎(1) 求角A的大小;(2) 若b=3,c=4,=,求AD的长.‎ ‎14.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形, PCD为等边三角形,PA⊥平面PCD,CD=2,AD=3.(1) 设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;‎ ‎(2) 求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. ‎ ‎15.如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面,,为的中点,在棱上,且. ‎ 求三棱锥的体积;求证:平面;‎ ‎ 若为中点,在棱上,且,求证:平面. ‎ ‎1.A ‎2. D ‎3. D ‎ ‎4. A ‎ ‎5. C ‎ ‎6. A ‎ ‎7. D ‎ ‎8. 2 ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11.由,AC=1,cosB=cos30°=, 根据余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB,即1=3+BC2﹣3BC, 即(BC﹣1)(BC﹣2)=0,解得:BC=1或BC=2, 当BC=1时,△ABC的面积S=AB•BCsinB=; 当BC=2时,△ABC的面积S=AB•BCsinB=, 所以△ABC的面积等于或.‎ ‎12.三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,直线PQ与平面ABC所成角为θ, 如图所示:   则,且sinθ的最大值是, ∴,∴AQ的最小值是,即A到BC的距离为, ∴AQ⊥BC,∵AB=,在Rt△ABQ中可得,即可得BC=6; 取△ABC的外接圆圆心为O′,作OO′∥PA, ∴,解得; ∴, 取H为PA的中点,∴,, 由勾股定理得, ∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积是 ‎ ‎13(1)解:因为2bcosA=acosC+ccosA, 所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, 即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB, 因为sinB≠0,所以2cosA=1,,∵A∈(0,π),故;‎ 解:因为2bcosA=acosC+ccosA, 所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, 即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB, 因为sinB≠0,所以2cosA=1,,∵A∈(0,π),故;‎ ‎(2)解:由,得, 所以, 所以. 解:由,得, 所以, 所以.‎ ‎14(1)证明:连结BD,由题意得AC∩BD=H,BH=DH, 又由BG=PG,得GH∥PD, ∵GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, ∴GH∥平面PAD.‎ ‎(2)法1:解:取棱PC中点N,连结DN,DN⊥平面PAC, 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角, ∵△PCD是等边三角形,CD=2,且N为PC中点, ∴DN=,又DN⊥AN,在Rt△AND中,. ∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为. ‎ 法2:解:连结AN,由(Ⅱ)中DN⊥平面PAC, 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角, ∵△PCD是等边三角形,CD=2,且N为PC中点, ∴DN=,又DN⊥AN, 在Rt△AND中,. ∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为. 15.解:∵ 是正三角形, 平面, , ∴ 三棱锥的体积 .‎ 证明:取的中点, 连结. 如图 ‎ ‎ ∵ , ∴ . ∵ , ∴ 为的中点. ∵ 为的中点, ∴ . 则. ∵ 是正三角形, ∴ . ∵ 平面, ∴ . ∵ , ∴ 平面. ∴ . ∵ , ∴ 平面.‎ 连结,设,连结. ‎ ‎ 由条件知,为的重心, 则. 当时,, ∴ . ∵ 平面,平面, ∴ 平面.‎