天津市静海区第一中学2019-2020学年高一下学期周测数学试题（4月24日） 8页

静海区第一中学2019-2020学年高一下学期周测数学试题（‎4月24日）‎ ‎1.已知a，bR，i是虚数单位，若(2+2i)(1﹣bi)＝a，则|a+bi|＝（　　） ‎ A. B‎.17 C. D.5‎ 2. 如图所示，已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量(　　) A. B. C. D.‎ ‎3.已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，则下列命题正确的是（　　） ‎ A.若m，n∥，则m∥n B.若m∥，m∥，则∥‎ C.若＝n，m∥n，则m∥ D.若m，m，则∥‎ 4. 已知圆锥的底面直径为r，且它的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积，则r=（　　）‎ ‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎5.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离(单位：百米)，已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为6和8，ACB=，则A，B之间的距离为(　　)‎ A.7 B. C. D.6‎ ‎6.在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为(　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知三棱锥P﹣ABC，过点P作PO面ABC，O为ABC中的一点，且PAPB，PBPC，PCPA，则点O为ABC的（　　） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 ‎8.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，若A‎1C1=4，ABC的面积为，则A1B1的长为______．‎ ‎9.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c＝‎2a，‎ ‎3sinA＝5sinB，则角C＝_____． ‎ ‎10.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（，﹣1），＝（cosA，sinA）．若，且acosB+bcosA＝csinC，则角B＝____．  ‎ ‎11.ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则ABC的面积等于____‎ ‎12.在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，，AP=3，，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为____‎ ‎13.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=acosC+ccosA．‎ ‎(1) 求角A的大小；(2) 若b=3，c=4，=，求AD的长.‎ ‎14.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形， PCD为等边三角形，PA⊥平面PCD，CD＝2，AD＝3．(1) 设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；‎ ‎(2） 求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． ‎ ‎15.如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且． ‎ 求三棱锥的体积；求证：平面；‎ ‎ 若为中点，在棱上，且，求证：平面． ‎ ‎1.A ‎2. D ‎3. D ‎ ‎4. A ‎ ‎5. C ‎ ‎6. A ‎ ‎7. D ‎ ‎8. 2 ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11.由，AC＝1，cosB＝cos30°＝， 根据余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1＝3+BC2﹣3BC， 即(BC﹣1)(BC﹣2)＝0，解得：BC＝1或BC＝2， 当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB•BCsinB＝； 当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB•BCsinB＝， 所以△ABC的面积等于或．‎ ‎12.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ， 如图所示：   则，且sinθ的最大值是， ∴，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为， ∴AQ⊥BC，∵AB=，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6； 取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA， ∴，解得； ∴， 取H为PA的中点，∴，， 由勾股定理得， ∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积是 ‎ ‎13（1）解：因为2bcosA=acosC+ccosA， 所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA， 即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB， 因为sinB≠0，所以2cosA=1，，∵A∈(0，π)，故；‎ 解：因为2bcosA=acosC+ccosA， 所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA， 即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB， 因为sinB≠0，所以2cosA=1，，∵A∈(0，π)，故；‎ ‎(2)解：由，得， 所以， 所以． 解：由，得， 所以， 所以．‎ ‎14（1）证明：连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH， 又由BG＝PG，得GH∥PD， ∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴GH∥平面PAD．‎ ‎（2）法1：解：取棱PC中点N，连结DN，DN⊥平面PAC， 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角， ∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点， ∴DN=，又DN⊥AN，在Rt△AND中，． ∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为． ‎ 法2：解：连结AN，由(Ⅱ)中DN⊥平面PAC， 知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角， ∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点， ∴DN=，又DN⊥AN， 在Rt△AND中，． ∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为． 15.解：∵ 是正三角形， 平面， ， ∴ 三棱锥的体积 ．‎ 证明：取的中点， 连结. 如图 ‎ ‎ ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 为的中点． ∵ 为的中点， ∴ . 则． ∵ 是正三角形， ∴ ． ∵ 平面， ∴ ． ∵ ， ∴ 平面． ∴ ． ∵ ， ∴ 平面．‎ 连结，设，连结． ‎ ‎ 由条件知，为的重心， 则． 当时，， ∴ ． ∵ 平面，平面， ∴ 平面．‎