【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式学案 12页

第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α ‎ cos__α ‎ ‎－cos__α ‎ sin__α ‎－sin__α ‎ 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎2.同角三角函数基本关系式的常用变形：‎ ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)‎ ‎(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(2018·上饶诊断)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－，故选A.‎ 答案　A ‎3.已知sin＝，那么cos α＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C.‎ 答案　C ‎4.(教材习题改编)已知tan α＝2，则的值为________.‎ 解析　原式＝＝＝3.‎ 答案　3‎ ‎5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.‎ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　－ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2018·汉中测试)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－‎ sin α的值为(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A. B. C.1 D. 解析　(1)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ 解析　(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)由tan α＝2得sin α＝2 cos α，‎ 又sin 2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.‎ 因为α∈，所以cos α＝，sin α＝.‎ 因为cos＝cos αcos ＋sin αsin ，‎ 所以cos＝×＋×＝.‎ 答案　(1)A　(2) 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)‎ A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}‎ C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}‎ 解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ k为奇数时，A＝－＝－2.‎ 答案　C ‎(2)求值：‎ 设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求 f 的值.‎ 解　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝ ‎＝.‎ 规律方法　1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 ‎2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.‎ ‎(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.‎ 解析　(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.‎ ‎(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.‎ 答案　(1)　(2)1‎ 考点三　诱导公式、同角三角函数基本关系式的活用 ‎【例3】 (1)(2018·渭南模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)‎ A. B. C.－ D.－ ‎(2)已知tan＝，则tan＝________.‎ 解析　(1)因为＋＝，‎ 所以cos＝sin＝sin.‎ 因为－π<α<－，所以－<α＋<－.‎ 又cos＝>0，所以－<α＋<－，‎ 所以sin＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎(2)∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan ‎＝－tan＝－.‎ 答案　(1)D　(2)－ 规律方法　1.常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.‎ ‎2.常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.‎ ‎【训练3】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A.－1 B.－ C. D.1‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析　(1)由 得2cos2α＋2cos α＋1＝0，即＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.‎ ‎(2)由题意，得cos＝，∴tan＝.‎ ‎∴tan＝tan＝－＝－.‎ 答案　(1)A　(2)－ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.sin 600°的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°‎ ‎＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 答案　B ‎2.(2018·武汉模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，‎ 所以cos α＝＝，故tan α＝＝－.‎ 答案　C ‎3.(2018·九江一模)已知tan θ＝3，则cos＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.‎ 答案　C ‎4.＝(　　)‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 ‎ 解析　＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案　A ‎5.(2018·兰州质检)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D.－ 解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，‎ ‎∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，‎ ‎∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案　A ‎6.(2018·郴州二模)已知sin＝，则cos＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.‎ 答案　B ‎7.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.‎ 答案　B ‎8.(2018·咸阳月考)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 018)的值为(　　)‎ A.－1 B.1 C.3 D.－3‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3.‎ 答案　C 二、填空题 ‎9.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为________.‎ 解析　由sin(π－α)＝，得sin α＝，‎ 又≤α≤π，所以cos α＝－，‎ 则sin 2α＝2sin αcos α＝－.‎ 答案　－ ‎10.化简：＝________.‎ 解析　原式＝＝＝1.‎ 答案　1‎ ‎11.已知sin＝，则cos＝________.‎ 解析　∵＋＝，‎ ‎∴cos＝cos＝sin＝.‎ 答案　 ‎12.(2018·孝感质检)已知tan α＝3，则的值是________.‎ 解析　原式＝ ‎＝＝＝＝＝2.‎ 答案　2‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案　D ‎14.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A.1＋ B.1－ C.1± D.－1－ 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案　B ‎15.sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.‎ 解析　sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.‎ 答案　 ‎16.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________.‎ 解析　由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，‎ 所以f ＝f ‎＝f ＝f ＝f ＋sinπ.‎ 因为当0≤x<π时，f(x)＝0.‎ 所以f ＝0＋＝.‎ 答案