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- 2021-07-01 发布
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第四节 随机事件的概率
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
(对应学生用书第175页)
[基础知识填充]
1.随机事件和确定事件
(1)在条件S下,一定会发生的事件,叫作相对于条件S的必然事件.
(2)在条件S下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件S的不可能事件.
(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫作相对于条件S的随机事件.
(5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C,…表示.
2.频率与概率
在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).
3.事件的关系与运算
互斥事件:在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.
事件A+B:事件A+B发生是指事件A和事件B至少有一个发生.
对立事件:不会同时发生,并且一定有一个发生的事件是相互对立事件.
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B).
②若事件A与事件互为对立事件,则P(A)=1-P().
[知识拓展] 互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(3)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( )
A.必然事件 B.随机事件
C.不可能事件 D.无法确定
B [抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0,1,2,…,10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.]
3.(2016·天津高考)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( )
A. B. C. D.
A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为+=.]
4.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
B [两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不一定成立.]
5.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打中.假设此人射击1次,则中靶的概率约为________;中10环的概率约为________.
0.9 0.2 [中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9,同理,中10环的概率约为0.2.]
(对应学生用书第175页)
随机事件间的关系
(1)(2017·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
(2)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
(1)C (2)A [(1)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:一奇一偶,两个奇数,两个偶数,
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件.
(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“2张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.]
[规律方法] 判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.对立事件是互斥事件的充分不必要条件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
[跟踪训练] 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:
①至少有1个白球与至少有1个黄球;
②至少有1个黄球与都是黄球;
③恰有1个白球与恰有1个黄球;
④恰有1个白球与都是黄球.
其中互斥而不对立的事件共有( )
【导学号:79140352】
A.0组 B.1组
C.2组 D.3组
B [①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.]
随机事件的频率与概率
(2017·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查,这1 000名购物者2015年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为 [0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如图1041.
图1041
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
[解] (1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表:
x
0.3≤x<0.5
0.5≤x<0.6
0.6≤x<0.8
0.8≤x≤0.9
y
50
100
150
200
频率
0.4
0.3
0.28
0.02
这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为
=96.
(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系,由(1)有P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,
P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,
从而获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3.
[规律方法] 1.概率与频率的关系
概率是常数,是频率的稳定值,频率是变量,是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
易错警示:概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
[跟踪训练] (2018·武汉调研)一鲜花店根据一个月(30天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下,将日销售量落入各组区间的频率视为概率.
日销售量(枝)
0~50
50~100
100~150
150~200
200~250
销售天数
3天
5天
13天
6天
3天
(1)试求这30天中日销售量低于100枝的概率;
(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动,求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.
[解] (1)设月销量为x,则P(0