高中数学第三章不等式3_1不等关系与不等式3_1_2不等式的性质学案新人教B版必修51 5页

3.1.2 不等式的性质 1．掌握不等式的性质． 2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明． 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔______. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒______. (3)加法法则：a＞b⇔________. 推论 1 a＋b＞c⇒a＞______； 推论 2 a＞b，c＞d⇒a＋c＞______. (4)乘法法则：a＞b，c＞0⇒______；a＞b，c＜0⇒______. 推论 1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒______； 推论 2 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)； 推论 3 a＞b＞0⇒ n a＞ n b(n∈N＋，n＞1)． 在不等式的基本性质中，乘法法则的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除以)一个 数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【做一做 1】已知 a＞b，则下列各式中正确的个数是( )． ①ac＜bc；②ac＞bc；③(a－b)c＞0. A．0 B．1 C．2 D．3 【做一做 2】已知 a＞b，c＞d，e＞0，则 a＋ce______b＋de(填“＞”或“＜”)． 【做一做 3】已知 a＞b＞0，c＜0，则c a ________c b (填“＞”或“＜”)． 一、不等式的性质的应用误区 剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成 立的条件，盲目套用，例如： (1)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式； (2)a＞b＞0，且 c＞d＞0⇒ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两 边必须为正值； (3)a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n＞1)及 a＞b＞0⇒ n a＞ n b(n∈N＋，n＞1)，成立的条件是 已知不等式的两边为正值，并且 n∈N＋，n＞1，否则结论就不成立．假设去掉 b＞0 这个条 件，取 a＝3，b＝－4，n＝2，就会出现 32＞(－4)2 的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1” 这个条件，取 a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现 3－1＞2－1，即1 3 ＞1 2 的错误结论． 对于性质 4 的推论 2 和推论 3，在 n 取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a ＞b⇒an＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b⇒ n a＞ n b(n＝2k＋1，k∈N)． (1)性质中的 a 和 b 可以是实数，也可以是代数式． (2)性质 3 是不等式移项法则的基础． (3)性质 3 的推论 2 是同向不等式相加法则的依据． (4)若 a＞b 且 ab＞0，则1 a ＜1 b .若 a＞b，且 ab＜0，则1 a ＞1 b ，即“同号取倒数，方向改 变，异号取倒数，方向不变”． (5)若 a＞b，c＜d，则 a－c＞b－d. (6)若 a＞b＞0，c＞d＞0，则a d ＞b c . 二、教材中的“？” 在解一元一次不等式 3x－2≤5x＋1 的过程中，应用了不等式的哪些性质？ 剖析： 不等式的解 运用性质 3x－2≤5x＋1 －2x≤3 移项：性质 3 的推论 1 2x≥－3 同乘－1：性质 4 x≥－3 2 同乘1 2 ：性质 4 题型一 判断真假 【例 1】下列命题中，一定正确的是( )． A．若 a＞b，且1 a ＞1 b ，则 a＞0，b＜0 B．若 a＞b，b≠0，则a b ＞1 C．若 a＞b，且 a＋c＞b＋d，则 c＞d D．若 a＞b，且 ac＞bd，则 c＞d 反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能 弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值 法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验 证计算． 题型二 应用不等式的性质证明不等式 【例 2】已知 a，b 为正实数，求证： a b ＋ b a ≥ a＋ b. 分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形 这一步最为关键，不管用何种方法变形，一定要向有利于判定差的符号的方向进行，另一种 是先平方，再根据两式特点变形比较大小． 反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差(或 n 次方作 差)——变形——确定符号——得出结论．其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号 是目的，证题的思路体现了数学中的转化思想．这里，关键的步骤是对差式的变形． 题型三 不等式性质的实际应用 【例 3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户 面积与地板面积的比值应不小于 10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时 增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为 a，b，根据题意知 a＜b 且a b ≥10%，然 后设同时增加的面积为 m，得到 a＋m＜b＋m，用比较法判断a＋m b＋m 与a b 的大小即可． 反思：一般地，设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则a＋m b＋m ＞a b .利用这个不等式，可以 解释很多现象，比如 b 克糖水中有 a 克糖(b＞a＞0)，若再添上 m 克糖(m＞0 且未达到饱和 状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因 为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比 0.618，从 而带给观众更美的享受． 题型四 易错辨析 【例 4】已知－π 2 ＜β＜α＜π 2 ，求 2α－β的取值范围． 错解：∵－π 2 ＜α＜π 2 ，∴－π＜2α＜π. 又∵－π 2 ＜β＜π 2 ，∴－π 2 ＜－β＜π 2 . ∴－3π 2 ＜2α－β＜3π 2 . 错因分析：2α－β的取值范围可看做α＋(α－β)的取值范围，因为忽视了不等式自 身的隐含条件β＜α⇔α－β＞0 而导致扩大了取值范围． 1a≥b 可以推出( )． A．1 a ≥1 b B．ac2≥bc2 C．a c2＞b c2 D．(ac)2≥(bc)2 2 若1 a ＜1 b ＜0，则下列结论不正确的是( )． A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．b a ＋a b ＞2 D．|a|－|b|＝|a－b| 3 已知 a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是( )． A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a 4 已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，则 b2－4ac 的值的符号为________． 5 实数 a，b，c，d 满足三个条件：①d＞c，②a＋b＝c＋d，③a＋d＜b＋c，则将 a，b， c，d 按照从大到小的次序排列为________． 答案： 基础知识·梳理 (1)b＜a (2)a＞c (3)a＋c＞b＋c c－b b＋d (4)ac＞bc ac＜bc ac＞bd 【做一做 1】A 【做一做 2】＞ 【做一做 3】＞ 典型例题·领悟 【例 1】A 对选项 A，∵1 a ＞1 b ，∴b－a ab ＞0. 又 a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0； 对选项 B，当 a＞0，b＜0 时，有a b ＜1，故 B 错； 对选项 C，当 a＝10，b＝2，c＝1，d＝3 时，虽然 10＋1＞2＋3，但 1＜3，故 C 错； 对选项 D，当 a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3 时， 有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故 D 错． 【例 2】证明：证法一：( a b ＋ b a )－( a＋ b)＝( a b － b)＋( b a － a)＝a－b b ＋b－a a ＝ (a－b)( a－ b) ab ＝( a＋ b)( a－ b)2 ab . 因为 a，b 为正实数，所以 a＋ b＞0， ab＞0，( a－ b)2≥0. 于是有( a＋ b)( a－ b)2 ab ≥0.当且仅当 a＝b 时，等号成立． 所以 a b ＋ b a ≥ a＋ b，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 证法二：因为( a b ＋ b a )2＝a2 b ＋b2 a ＋2 ab，( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，所以( a b ＋ b a )2 －( a＋ b)2＝a2 b ＋b2 a ＋2 ab－(a＋b＋2 ab)＝a3＋b3－ab(a＋b) ab ＝(a＋b)(a－b)2 ab ，因为 a， b 为正实数，所以(a＋b)(a－b)2 ab ≥0，所以( a b ＋ b a )2≥( a＋ b)2.又因为 a b ＋ b a ＞0， a ＋ b＞0，所以 a b ＋ b a ≥ a＋ b，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 【例 3】解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为 a，b，同时增加的面 积为 m，根据问题的要求可知 a＜b 且a b ≥10%. 由于a＋m b＋m －a b ＝m(b－a) b(b＋m) ＞0， 于是a＋m b＋m ＞a b .又a b ≥10%， 因此a＋m b＋m ＞a b ≥10%. 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了． 【例 4】正解：∵－π 2 ＜α＜π 2 ，－π 2 ＜β＜π 2 ， ∴－π 2 ＜－β＜π 2 . ∴－π＜α－β＜π. 又∵β＜α，∴α－β＞0， ∴0＜α－β＜π， ∴－π 2 ＜2α－β＜3 2 π. 随堂练习·巩固 1．B ∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2. 2．D 可取特殊值，令 a＝－1，b＝－2 代入验证知选项 D 不正确． 3．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1＜b＜0，所以 0＜b2＜1.所以 a＜ab2 ＜0，且 ab＞0，易得答案 D.本题也可以根据 a，b 的取值范围取特殊值，比如令 a＝－1，b ＝－1 2 ，也容易得到正确答案． 4．正 ∵a＋b＋c＝0， ∴b＝－(a＋c)， ∴b2＝a2＋c2＋2ac. ∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2. ∵a＞c，∴(a－c)2＞0. ∴b2－4ac＞0，即 b2－4ac 的符号为正． 5．b＞d＞c＞a 由③可得，d－b＜c－a；由②可得，c－a＝b－d，于是有 d－b＜b－d， a－c＜c－a，∴d＜b，a＜c.再由①d＞c 可得：b＞d＞c＞a.