高中数学第二章平面解析几何2-8直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册 37页

2.8 　直线与圆锥曲线的位置关系 核心 素养 1 . 清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系 . ( 数学抽象 ) 2 . 会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题 . ( 数学运算 ) 3 . 加强数形结合思想的训练与应用 . ( 直观想象 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 廊桥 , 顾名思义 , 桥上建有廊屋的桥 , 以便过往的行人在桥上纳凉休息 , 躲避风雨日晒 . 江西省境内就保存着大量的古廊桥 , 这些古廊桥最早建于唐代 , 最晚建于清代末期 , 是我国重要的 文化 遗产 . 风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美 , 犹如一幅恬静的水墨丹青画卷 . 这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受 , 里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识 , 比如 , 桥洞的截面有的呈半圆形 , 有的是方形 , 还有的呈抛物线形 , 如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段 , 同学们能找出直线和抛物线的哪些关系 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 从几何角度看 , 可分为三类 : 无公共点 , 有且只有一个公共点及有两个相异的公共点 . (2) 从代数角度看 , 可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程 , 消元后所得方程解的情况来判断 . 设直线 l 的方程为 Ax+By+C= 0, 圆锥曲线方程为 f ( x , y ) = 0 . 如 消去 y 后得 ax 2 +bx+c= 0 . 激趣诱思 知识点拨 ① 若 a= 0, 当圆锥曲线是双曲线时 , 直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合 ; 当圆锥曲线是抛物线时 , 直线 l 与抛物线的对称轴平行 ( 或重合 ) . ② 若 a ≠0, 设 Δ=b 2 - 4 ac. Δ > 0 时 , 直线和圆锥曲线相交于不同两点 ; Δ = 0 时 , 直线和圆锥曲线相切于一点 ; Δ < 0 时 , 直线和圆锥曲线没有公共点 . 激趣诱思 知识点拨 微 判断 答案 : (1)× 　 (2) √ 　 (3)× 微思考 椭圆与圆类似 , 是封闭曲线 , 能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系 ? 提示 : 不能 . 椭圆虽然与圆类似 , 但中心到椭圆上各点的距离不完全相等 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1) 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ), 则所得 弦 (2) 当斜率 k 不存在时 , 可求出交点坐标 , 利用两点间距离公式直接运算 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 顶点在原点 , 焦点在 x 轴上且截直线 2 x-y+ 1 = 0 所得弦长 为 的 抛物线方程为 　　　　　 .   解析 : 设所求抛物线的方程为 y 2 =ax ( a ≠0) . ① 直线方程变形为 y= 2 x+ 1, ② 设抛物线截直线所得弦为 AB. 将 ② 代入 ① , 整理得 4 x 2 + (4 -a ) x+ 1 = 0 , 答案 : y 2 = 12 x 或 y 2 =- 4 x 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 点与椭圆位置关系的 判断 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 处理点与椭圆位置关系问题时 , 紧扣判定条件 , 然后转化为解不等式等问题 , 注意求解过程与结果的准确性 . 对于椭圆来说 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例中 P 点坐标改为 “ P (1, k )” 呢 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线与圆锥曲线的位置关系判断 例 2 已知直线 l : kx-y+ 2 -k= 0, 双曲线 C : x 2 - 4 y 2 = 4, 当 k 为何值时 , (1) l 与 C 无公共点 ; (2) l 与 C 有唯一公共点 ; (3) l 与 C 有两个不同的公共点 . 分析 直线与圆锥曲线的公共点的个数 , 就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数 . 因此本题可转化为方程组解的个数的判定 , 从而确定参数的取值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时 , 可将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程 , 消去 y ( 或 x ) 得一个关于变量 x ( 或 y ) 的一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0( 或 ay 2 +by+c= 0) . (1) 当 a ≠0 时 , 若 Δ> 0, 则直线 l 与曲线 C 相交 ; 若 Δ= 0, 则直线 l 与曲线 C 相切 ; 若 Δ< 0, 则直线 l 与曲线 C 相离 . (2) 当 a= 0 时 , 即得到一个一次方程 , 则直线 l 与曲线 C 相交 , 且只有一个交点 . 此时 , 若 C 为双曲线 , 则 l 平行于双曲线的渐近线 ; 若 C 为抛物线 , 则 l 平行于抛物线的对称轴 . (3) 当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时 , 直线与双曲线或抛物线可能相切 , 也可能相交 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知直线 l : y= 2 x+m , 椭圆 C : . 试问当 m 取何值时 , 直线 l 与椭圆 C : (1) 有两个不同的公共点 ; (2) 有且只有一个公共点 ; (3) 没有公共点 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 相交弦长问题 例 3 已知椭圆的中心在坐标原点 O , 焦点在坐标轴上 , 直线 y=x+ 1 与椭圆交于 P , Q 两点 , 且 OP ⊥ OQ , |PQ |= , 求椭圆的方程 . 分析 设出椭圆方程 , 将椭圆方程和直线方程联立消去 y , 转化为关于 x 的一元二次方程 , 利用根与系数的关系 , 根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 若直线 l 与圆锥曲线 F ( x , y ) = 0 相交于 A , B 两点 , 求弦 AB 的长可用下列两种方法 : (1) 把直线的方程与圆锥曲线的方程联立 , 解得点 A , B 的坐标 , 然后用两点间距离公式 , 便得到弦 AB 的长 , 一般来说 , 这种方法较为麻烦 . (2) 不求交点坐标 , 可用一元二次方程根与系数的关系求解 . 设直线方程为 y=kx+m , 与圆锥曲线 F ( x , y ) = 0 交于两点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 抛物线 y 2 = 12 x 截直线 y= 2 x+ 1 所得弦长等于 ( 　　 ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 中点弦 问题 (1) 以 P (2, - 1) 为中点的弦所在直线的方程 ; (2) 斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程 ; (3) 过 Q (8,2) 的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程 . 分析 可利用平方差法求解 , 在求轨迹方程时要注意变量的范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 设弦的两端点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), AB 中点为 R ( x , y ), 则 2 x=x 1 +x 2 ,2 y=y 1 +y 2 . 又 A , B 两点均在椭圆上 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 对中点弦问题 , 常用的解题方法 —— 平方差法 , 其解题步骤为 :(1) 设点 , 即设出弦的两端点坐标 ;(2) 代入 , 即代入圆锥曲线方程 ;(3) 作差 , 即两式相减 , 然后用平方差公式把上式展开 , 整理 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知椭圆 x 2 + 2 y 2 = 4, 则以 (1,1) 为中点的弦的长度为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 存在性问题之探究 案例 已知双曲线 2 x 2 -y 2 = 2, 过点 B (1,1) 能否作直线 l , 使 l 与所给双曲线交于点 Q 1 , Q 2 , 且点 B 是弦 Q 1 Q 2 的中点 , 若存在这样的直线 l , 求出它的方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 归纳提升 (1) 利用 “ 点差法 ” 解题 , 其过程是无法保证直线与双曲线相交的 , 因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证 . (2) 确定好运算方法 , 形成运算程序的完备性 , 有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 过点 (0,1) 作直线 , 使它与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点 , 这样的直线有 ( 　　 ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知直线 l : x-y+m= 0 与双曲线 x 2 - = 1 交于不同的两点 A , B , 若线段 AB 的中点在圆 x 2 +y 2 = 5 上 , 则 m 的值是 　　　　　 .   解析 : 设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ), ∴ x 0 =m , ∴ y 0 =x 0 +m= 2 m , ∵ 点 M ( x 0 , y 0 ) 在圆 x 2 +y 2 = 5 上 , ∴ m 2 + (2 m ) 2 = 5, ∴ m= ± 1, 检验可知判别式 Δ> 0 . 故 m= ± 1 . 答案 : ± 1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 抛物线 x 2 =-y 上的点到直线 4 x+ 3 y- 8 = 0 的距离的最小值为 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测