2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8节曲线与方程教学案含解析新人教A版 13页

第8节　曲线与方程 考试要求　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.‎ 知 识 梳 理 ‎1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.求动点的轨迹方程的基本步骤 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.‎ ‎2.曲线的交点与方程组的关系：‎ ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.‎ 诊 断 自 测 - 13 -‎ ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)‎ ‎(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)‎ 解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(老教材选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)‎ A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.‎ 答案　C ‎3.(老教材选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.‎ 解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).‎ 答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)‎ ‎4.(2019·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)‎ A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线 解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.‎ 答案　D - 13 -‎ ‎5.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)‎ A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.‎ 答案　D ‎6.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是________________.‎ 解析　设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－.‎ 答案　y＝4x2－ 考点一　直接法求轨迹方程 ‎【例1】 (1)已知A(－1，0)，B(1，0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，则当λ<0时，动点M的轨迹为(　　)‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎(2)(2020·西安调研)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为________________.‎ 解析　(1)设M(x，y)，则N(x，0)，所以2＝y2，λ·＝λ(x＋1，0)·(1－x，0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1，所以当λ<0时，动点M的轨迹为双曲线.‎ ‎(2)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).‎ 设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1.)‎ - 13 -‎ 答案　(1)C　(2)x2＋3y2＝4(x≠±1)‎ 规律方法　利用直接法求轨迹方程 ‎(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.‎ ‎(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.‎ ‎【训练1】 与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.‎ 解析　若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，‎ 若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).‎ 答案　y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)‎ 考点二　定义法求轨迹方程　典例迁移 ‎【例2】 (经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.‎ 解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，‎ 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).‎ ‎【迁移1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________.‎ 解析　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).‎ 答案　y＝0(x<－2)‎ ‎【迁移2】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________.‎ - 13 -‎ 解析　由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.‎ 答案　y2＝4x 规律方法　定义法求曲线方程的两种策略 ‎(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.‎ ‎(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.‎ ‎【训练2】 (2020·豫北名校联盟联考)已知△ABC中，AB＝2，且sin A(1－2cos B)＋sin B(1－2cos A)＝0，以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则动点C的轨迹方程为________.‎ 解析　在△ABC中，由sin A(1－2cos B)＋sin B(1－2cos A)＝0得sin A＋sin B＝2sin(A＋B)＝2sin C，由正弦定理得＋＝2·(R为△ABC外接圆半径)，可得|CB|＋|CA|＝2|AB|＞|AB|.∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故点C的轨迹方程为＋＝1(x≠0).‎ 答案　＋＝1(x≠0)‎ 考点三　相关点(代入)法求轨迹方程 ‎【例3】 (1)(2020·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________.‎ ‎(2)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________.‎ 解析　(1)设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.‎ ‎(2)设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x.故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.‎ 答案　(1)(2x－3)2＋4y2＝1　(2)y2＝4x - 13 -‎ 规律方法　“相关点法”的基本步骤 ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.‎ ‎【训练3】 (2020·长沙月考)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，13).‎ 答案　－＝1(x>3)‎ ‎8.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________.‎ - 13 -‎ 解析　直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.‎ 答案　x＋y＝1(x≠0且x≠1)‎ 三、解答题 ‎9.已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.‎ 解　(1)由题意，得＝5，即＝5，‎ 化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，‎ 所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.‎ 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，‎ 此时所截得的线段长度为2＝8，‎ 所以l：x＝－2符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，‎ 由题意，得＋42＝52，解得k＝.‎ 所以直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点).‎ 求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型.‎ 解　＝(x，1)，＝(x，－2)，‎ ＝(x＋，y)，＝(x－，y).‎ 因为λ2·＝·，‎ 所以(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，‎ - 13 -‎ 整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)为点P的轨迹方程.‎ ‎(1)当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；‎ ‎(2)当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；‎ ‎(3)当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎(4)当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.‎ B级　能力提升 ‎11.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)‎ A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 解析　可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选C.‎ 答案　C ‎12.(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；‎ - 13 -‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是(　　)‎ A.① B.② C.①② D.①②③‎ 解析　曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<，满足条件的整数x可取－1，0，1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1，0)，(－1，1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0，1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1，0)，(1，1).故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴≤ ，当且仅当|x|＝y，即或时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确；顺次连接(－1，0)，(－1，1)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(0，－1)，(－1，0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确.故选C.‎ 答案　C ‎13.已知过点A(－3，0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为________.‎ 解析　设点M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，则直线CD的方程为(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，所以＝3，所以mn＝9，又直线AC与BD的交点为M，‎ 所以解得所以－＝9，‎ 所以点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0).‎ - 13 -‎ 答案　＋＝1(y≠0)‎ ‎14.如图，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)求动点M的轨迹方程.‎ 解　(1)由点A的横坐标为2及点A在第一象限，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.‎ ‎(2)设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，代入y2＝2x，‎ 得ky2－2y＋2y1－ky＝0，‎ 由Δ＝0解得k＝，‎ 所以l1的方程为y＝x＋，‎ 同理l2的方程为y＝x＋.‎ 联立，得解得 易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，‎ 其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2]，‎ 联立，得即x0y2＋2y0y－16＝0，‎ 则代入 - 13 -‎ 可得M(x，y)满足可得 代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，‎ 考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，‎ 所以动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2].‎ C级　创新猜想 ‎15.(多选题)曲线C是平面内与两个定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离的积等于常数a2(a2＞4)的点的轨迹，则下列结论正确的有(　　)‎ A.曲线C过坐标原点 B.曲线C关于x轴对称 C.曲线C关于坐标原点对称 D.若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2‎ 解析　设动点坐标为(x，y)，由已知得·＝a2，即[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]＝a4(a2＞4)，代入原点验证，方程不成立，故A错；把方程中的y被－y代换，方程不变，故B正确；把方程中的x被－x代换，y被－y代换，方程也不变，故C正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，故D正确.‎ 答案　BCD - 13 -‎