【数学】2019届一轮复习苏教版第1章集合与常用逻辑用语第3讲学案 11页

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考试要求　1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义(A级要求)；2.全称量词与存在量词的意义(A级要求)；3.对含有一个量词的命题否定(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(　　)‎ ‎(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(　　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(　　)‎ ‎(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.(　　)‎ 解析　(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.‎ ‎(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(课本习题改编)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝0对称.则p∧q为________(选填“真”或“假”)命题.‎ 解析　p是假命题，q是真命题，因此p∧q为假命题.‎ 答案　假 ‎3.(课本习题改编)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p为________.‎ 解析　含有存在量词的命题的否定， 需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.‎ 答案　∀x∈R，x2＋x－1≥0‎ ‎4.(2017·泰州模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).‎ ‎①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；‎ ‎②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；‎ ‎③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；‎ ‎④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.‎ 解析　①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误.‎ 对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确.‎ 对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误.‎ 对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，‎ ‎∴log32与log23不互为相反数，故④错误.‎ 答案　②‎ ‎5.(2018·扬州中 检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析　若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以qp.‎ ‎∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.‎ 答案　充分不必要 知 识 梳 理 ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)简单逻辑联结词有或(符号为∨)、且(符号为∧)、非(符号为綈).‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.‎ ‎(2)全称命题：含有全称量词的命题.‎ 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x).‎ ‎(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.‎ ‎(4)存在性命题：含有存在量词的命题.‎ 存在性命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0).‎ ‎3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ 考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题：‎ ‎①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∧(綈q).‎ 其中真命题是________(填序号).‎ ‎(2)(2018·盐城模拟)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则p________，q________(填“真”或“假”).‎ 解析　(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.‎ 又a，b，c是非零向量，‎ 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，‎ ‎∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.‎ 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.‎ 又∵綈p为真命题，綈q为假命题.‎ ‎∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.‎ ‎(2)∵綈p为真命题，∴p为假命题，‎ 又∵p∨q为真命题，∴q为真命题.‎ 答案　(1)①　(2)假　真 规律方法　(1)“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p，q的真假；③确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.‎ ‎(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·南通调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，‎ ‎＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0，1).在命题：①p∧q；②p∨q；‎ ‎③p∧(綈q)；④綈q中，真命题有________(填序号).‎ ‎(2)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________(填序号).‎ 解析　(1)由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴命题p是假命题.‎ 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<<1，‎ 所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题.‎ 所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题.‎ ‎(2)当x>y时，－x<－y，‎ 故命题p为真命题，从而綈p为假命题.‎ 当x>y时，x2>y2不一定成立，‎ 故命题q为假命题，从而綈q为真命题.‎ 由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；‎ ‎③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.‎ 答案　(1)②　(2)②③‎ 考点二　含有一个量词命题的否定及真假判定 ‎【例2】 (1)(2018·扬州中 质检)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p 是________________.‎ ‎(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)不等式组的解集为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；‎ p2：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≥2；‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；‎ p4：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≤－1.‎ 其中真命题是________.‎ 解析　(1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p：∀x∈R，ex－x－1>0的否定为綈p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.‎ ‎(2)画出可行域如图中阴影部分所示，‎ 由图可知，当目标函数 ＝x＋2y，经过可行域的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题.‎ 答案　(1)∃x0∈R，ex0－x0－1≤0　(2)p1，p2‎ 规律方法　(1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.‎ ‎(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·盐城模拟)命题 “∃x∈R，x2－2x>0”的否定是________.‎ ‎(2)下列命题的否定为假命题的是________(填序号).‎ ‎①∀x∈R，－x2＋x－1<0；‎ ‎②∀x∈R，|x|>x；‎ ‎③∀x，y∈ ，2x－5y≠12；‎ ‎④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.‎ 解析　(1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定.‎ ‎(2)命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题.‎ 答案　(1)∀x∈R，x2－2x≤0　(2)①‎ 考点三　由命题的真假求参数范围 ‎【例3】 (2018·赣榆高级中 月考)已知命题“∃x∈{x|－11时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a.‎ 当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a0)，q：实数x满足20，∴A＝{x|a5，解得－1，x＋x0－2 016>0”的否定是________.‎ 解析　命题“∃x0>－1，x＋x0－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.‎ 答案　∀x>－1，x2＋x－2 016≤0‎ ‎3.(2018·南通、扬州、泰州调研)给出下列四个命题：‎ ‎①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；‎ ‎②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；‎ ‎③命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；‎ ‎④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题.‎ 其中为真命题的是________(填序号).‎ 解析　显然①③正确.‎ ‎②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.‎ ‎∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确.‎ ‎④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.‎ 答案　①②③‎ ‎4.(2018·泰州调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题：‎ ‎①p∧(綈q)；②(綈p)∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∧q.‎ 其中真命题有________(填序号).‎ 解析　由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.‎ 答案　①‎ ‎5.(2018·泰州一模)若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　由题意知∀x∈R，ax2＋4x＋a>0恒成立，所以解得a>2.‎ 答案　(2，＋∞)‎ ‎6.(2017·南京师范大 附属中 期初调研)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2x＋a≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　由题意得x2＋2x＋a≤0有解，所以22－4a≥0，所以a≤1.‎ 答案　(－∞，1]‎ ‎7.(2018·淮安中 月考)已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________.‎ 解析　由已知得，∃x∈[1，2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min.而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x ‎)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.‎ 答案　[－8，＋∞)‎ ‎8.(2017·苏北四市联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.‎ 解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ ‎9.(2018·泰州中 第一 期质检)已知命题p：函数f(x)＝x3＋ax2＋x在R上是增函数；命题q：函数g(x)＝ex－x＋a在区间[0，＋∞)上没有零点.‎ ‎(1)如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋1≥0对x∈(－∞，＋∞)恒成立，‎ ‎∴Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.‎ ‎∴a的取值范围为[－，].‎ ‎(2)g′(x)＝ex－1≥0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，‎ ‎∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，则g(0)＝a＋1>0⇒a>－1.‎ 由p或q为真命题，p且q为假命题知p，q一真一假.‎ 若p真q假，则⇒a∈[－，－1]，‎ 若p假q真，则⇒a∈(，＋∞).‎ 综上所述，a的取值范围为[－，－1]∪(，＋∞).‎ ‎10.(2018·盐城第一 期期中)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；q：实数x满足<0.‎ ‎(1)若a＝1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)·(x－a)<0，‎ 因为a>0，所以a0}，B＝{x|20”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”；‎ ‎②命题“在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B”的逆命题为真命题；‎ ‎③“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处取得极值”的充分不必要条件；‎ ‎④直线y＝x＋b不能作为函数f(x)＝图象的切线.‎ 解析　①原命题的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≤0”，故错误；易知②正确；③导数等于零的点不一定是极值点，故错误；④f′(x)＝′＝－<0恒成立， 而直线y＝x＋b的斜率为>0，故y＝x＋b不能作为f(x)＝的切线.所以真命题的序号为②④.‎ 答案　②④‎ ‎12.(2017·扬州中 开 考试)已知p：关于实数x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：关于实数x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根.‎ ‎(1)若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若关于x的不等式(x－m)(x－m＋5)<0(m∈R)的解集为M；当q为真命题时，m的取值集合为N，则当M∪N＝M时，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则解得m>2.‎ 若关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1