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2009年广东省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年广东省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1, 0, 1}‎和N={x|x‎2‎+x=0}‎关系的韦恩‎(Venn)‎图是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 下列n的取值中,使in‎=1‎(i是虚数单位)的是( )‎ A.n=2‎ B.n=3‎ C.n=4‎ D.‎n=5‎ ‎3. 已知平面向量a‎→‎‎=(x, 1)‎,b‎→‎‎=(-x, x‎2‎)‎,则向量a‎→‎‎+b‎→‎(‎ ‎‎)‎ A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎4. 若函数y=f(x)‎是函数y=ax-a(a>0‎,且a≠1)‎的反函数,且f(‎1‎‎2‎)=1‎,则函数y=(‎ ‎‎)‎ A.log‎2‎x B.‎1‎‎2‎x C.log‎1‎‎2‎x D.‎‎2‎x-2‎ ‎5. 已知等比数列‎{an}‎的公比为正数,且a‎3‎‎⋅‎a‎9‎=‎2‎a‎5‎‎2‎,a‎2‎=‎1‎,则a‎1‎=( )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎6. 给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是(        )‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④‎ ‎7. 已知‎△ABC中,‎∠A,‎∠B,‎∠C的对边分别为a,b,c.若a=c=‎6‎+‎‎2‎,且‎∠A=‎‎75‎‎∘‎,则b=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎4+2‎‎3‎ C.‎4-2‎‎3‎ D.‎‎6‎‎-‎‎2‎ ‎8. 函数f(x)=(x-3)‎ex的单调递增区间是(        )‎ A.‎(-∞, 2)‎ B.‎(0, 3)‎ C.‎(1, 4)‎ D.‎‎(2, +∞)‎ ‎9. 函数y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1‎是( )‎ A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π‎2‎的奇函数 D.最小正周期为π‎2‎的偶函数 ‎10. 广州‎2010‎年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行,各城市之间的距离(单位:百公里)见表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是( )‎ A B C D E A ‎0‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ B ‎5‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎2‎ C ‎4‎ ‎7‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎8.6‎ D ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎5‎ E ‎6‎ ‎2‎ ‎8.6‎ ‎5‎ ‎0‎ A.‎20.6‎ B.‎21‎ C.‎22‎ D.‎‎23‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 二、填空题(共5小题,每小题5分,第14-15题,属选做题,满分25分)‎ ‎11. 某篮球队‎6‎名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 a‎1‎ a‎2‎ a‎3‎ a‎4‎ a‎5‎ a‎6‎ 如图是统计该‎6‎名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填________,输出的s=‎________.(注:框图中的赋值符号“‎=‎”也可以写成“‎←‎”或“:‎=‎”)‎ ‎12. 某单位‎200‎名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取‎40‎名职工作样本、用系统抽样法,将全体职工随机按‎1∼200‎编号,并按编号顺序平均分为‎40‎组(‎1∼5‎号,‎6∼10‎号,…,‎196∼200‎号).若第‎5‎组抽出的号码为‎22‎,则第‎8‎组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则‎40‎岁以下年龄段应抽取________人.‎ ‎13. 以点‎(2, -1)‎为圆心且与直线x+y=6‎相切的圆的方程是________.‎ ‎14. 选做题:若直线y=2+3t.x=1-2t,(t为参数)与直线‎4x+ky=1‎垂直,则常数k=‎________.‎ ‎15. 选做题:如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4‎,‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎,则圆O的面积等于________.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎16. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ,-2)‎与b‎→‎‎=(1,cosθ)‎互相垂直,其中θ∈(0,π‎2‎)‎.‎ ‎(1)求sinθ和cosθ的值;‎ ‎(2)若sin(θ-φ)=‎10‎‎10‎,0<φ<‎π‎2‎,求cosφ的值.‎ ‎17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图‎(1)‎所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图‎(2)‎、图‎(3)‎分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎(2)求该安全标识墩的体积;‎ ‎(3)证明:直线BD⊥‎平面PEG.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎18. 随机抽取某中学甲乙两班各‎10‎名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.‎ ‎(1)‎根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)‎计算甲班的样本方差;‎ ‎(3)‎现从乙班这‎10‎名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎19. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为‎3‎‎2‎,两个焦点分别为F‎1‎和F‎2‎,椭圆G上一点到F‎1‎和F‎2‎的距离之和为‎12‎.圆Ck‎:x‎2‎+y‎2‎+2kx-4y-21=0(k∈R)‎的圆心为点Ak.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求‎△‎AkF‎1‎F‎2‎的面积 ‎(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎20. 已知点‎(1, ‎1‎‎2‎)‎是函数f(x)=ax(a>0‎,且a≠1)‎的图象上一点,等比数列‎{an}‎的前n项和为f(n)-c,数列‎{bn}(bn>0)‎的首项为c,且前n项和Sn满足Sn‎-Sn-1‎=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎.‎ ‎(1)求数列‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式;‎ ‎(2)若数列‎{‎1‎bnbn+1‎}‎前n项和为Tn,问满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数n是多少?‎ ‎21. 已知二次函数y=g(x)‎的导函数的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)‎在x=-1‎处取得极小值m-1(m≠0)‎.设f(x)=‎g(x)‎x.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)‎上的点P到点Q(0, 2)‎的距离的最小值为‎2‎,求m的值;‎ ‎(2)k(k∈R)‎如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎2009年广东省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.B ‎【解释】‎ 解:.由N={x|x‎2‎+x=0}‎,‎ 得N={-1, 0}‎.‎ ‎∵ M={-1, 0, 1}‎,‎ ‎∴ N⊂M.‎ 故选B.‎ ‎2.C ‎【解释】‎ 解:∵ 要使in;‎=1‎,‎ 则n必须是‎4‎的整数倍,‎ 在下列的选项中只有C符合题意,‎ 故选C ‎3.C ‎【解释】‎ 解:a‎→‎‎+b‎→‎=(0, 1+x‎2‎)‎,‎1+x‎2‎≠0‎,‎ 故a‎→‎‎+‎b‎→‎平行于y轴.‎ 故选C ‎4.D ‎【解释】‎ 解:∵ f(‎1‎‎2‎)=1‎,‎ ‎∴ f‎-1‎‎(1)=‎‎1‎‎2‎,‎ 由题意知a‎1-a‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴ a=2‎,‎ y=ax-a(a>0‎‎,且a≠1)y=‎‎2‎x-2‎,‎ 故选D.‎ ‎5.B ‎【解释】‎ 设公比为q,由已知得a‎1‎q‎2‎‎⋅‎a‎1‎q‎8‎=‎2(‎a‎1‎q‎4‎‎)‎‎2‎,‎ 即q‎2‎=‎2‎,又因为等比数列‎{an}‎的公比为正数,‎ 所以q=‎‎2‎,故a‎1‎‎=a‎2‎q=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎6.D ‎【解释】‎ 解:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;如果这两条直线平行,可能得到两个平面相交,所以不正确.‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;这是判定定理,正确.‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;可能是异面直线.不正确.‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.正确.‎ 故选D.‎ ‎7.A ‎【解释】‎ 解:如图所示.在‎△ABC中,‎ 由正弦定理得:bsin‎30‎‎∘‎‎=‎6‎‎+‎‎2‎sin‎75‎‎∘‎=‎6‎‎+‎‎2‎sin(‎45‎‎∘‎+‎30‎‎∘‎)‎=4‎,‎ ‎∴ b=2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 故选A ‎8.D ‎【解释】‎ 解:f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)(ex)'=(x-2)‎ex,‎ 求f(x)‎的单调递增区间,令f'(x)>0‎,‎ 解得x>2‎,‎ 故选D.‎ ‎9.A ‎【解释】‎ 解:由y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1=cos(2x-π‎2‎)=sin2x,‎ ‎∴ T=π,且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1‎是奇函数.‎ 故选A.‎ ‎10.B ‎【解释】‎ 解:∵ 以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,‎ 那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A‎3‎‎3‎‎=6‎种结果,‎ 列举出六种结果的路途长度选出最短的路途,‎ A→B→C→D→E‎,总长是‎26‎,‎ A→C→D→B→E‎,总长是‎21‎,‎ A→B→D→C→E‎,总长是‎28.6‎,‎ A→D→B→C→E‎,总长是‎26.6‎,‎ A→C→B→D→E‎,总长是‎22‎,‎ A→D→C→B→E‎,总长是‎23‎,‎ 总上可知最短的路径是‎21‎.‎ 故选B 二、填空题(共5小题,每小题5分,第14-15题,属选做题,满分25分)‎ ‎11.i≤6‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎ ‎【解释】‎ 解:∵ 统计该‎6‎名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图 ‎∴ 要求a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎的和 由题意可知循环体要执行‎6‎次 所以图中判断框应填i≤6‎ 故答案为:i≤6‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎ ‎12.‎37‎,‎‎20‎ ‎【解释】‎ 解:∵ 将全体职工随机按‎1∼200‎编号,并按编号顺序平均分为‎40‎组,‎ 由分组可知,抽号的间隔为‎5‎,‎ ‎∵ 第‎5‎组抽出的号码为‎22‎,‎ ‎∴ 第‎6‎组抽出的号码为‎27‎,第‎7‎组抽出的号码为‎32‎,第‎8‎组抽出的号码为‎37‎.‎ ‎40‎岁以下的年龄段的职工数为‎200×0.5=100‎,‎ 则应抽取的人数为‎40‎‎200‎‎×100=20‎(人).‎ 故答案为:‎37‎;‎‎20‎ ‎13.‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎ ‎【解释】‎ 解:将直线x+y=6‎化为x+y-6=0‎,‎ 圆的半径r=‎|2-1-6|‎‎1+1‎=‎‎5‎‎2‎,‎ 所以圆的方程为‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 答案:‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎ ‎14.‎‎-6‎ ‎【解释】‎ 解:直线y=2+3t.x=1-2t,(t为参数)‎ 消去参数t得:‎‎3x+2y-7=0‎ ‎∵ 直线‎3x+2y-7=0‎与直线‎4x+ky=1‎垂直 ‎∴ ‎(-‎3‎‎2‎)×(-‎4‎k)=-1‎解得:‎k=-6‎ 故答案为‎-6‎.‎ ‎15.‎‎16π ‎【解释】‎ 解:连接OA,OB,‎ ‎∵ ‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎,‎ ‎∴ ‎∠AoB=‎‎60‎‎∘‎,‎ ‎∴ ‎△AOB是一个等边三角形,‎ ‎∴ OA=AB=4‎,‎ ‎∴ ‎⊙O的面积是‎16π 故答案为‎16π 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎16.解:(1)∵ a‎→‎与b‎→‎互相垂直,则a‎→‎‎⋅b‎→‎=sinθ-2cosθ=0‎,‎ 即sinθ=2cosθ,代入sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=1‎得sinθ=±‎2‎‎5‎‎5‎,cosθ=±‎‎5‎‎5‎,又θ∈(0,π‎2‎)‎,‎ ‎∴ ‎sinθ=‎2‎‎5‎‎5‎,cosθ=‎‎5‎‎5‎ ‎(2)∵ ‎0<φ<‎π‎2‎,‎0<θ<‎π‎2‎,‎ ‎∴ ‎-π‎2‎<θ-φ<‎π‎2‎,则cos(θ-φ)=‎1-sin‎2‎(θ-φ)‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎,‎ ‎∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)∵ a‎→‎与b‎→‎互相垂直,则a‎→‎‎⋅b‎→‎=sinθ-2cosθ=0‎,‎ 即sinθ=2cosθ,代入sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=1‎得sinθ=±‎2‎‎5‎‎5‎,cosθ=±‎‎5‎‎5‎,又θ∈(0,π‎2‎)‎,‎ ‎∴ ‎sinθ=‎2‎‎5‎‎5‎,cosθ=‎‎5‎‎5‎ ‎(2)∵ ‎0<φ<‎π‎2‎,‎0<θ<‎π‎2‎,‎ ‎∴ ‎-π‎2‎<θ-φ<‎π‎2‎,则cos(θ-φ)=‎1-sin‎2‎(θ-φ)‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎,‎ ‎∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎17.解:(1)侧视图同正视图:‎ ‎(2)该安全标识墩的体积为V=‎VP-EFGH ‎+VABCD-EFGH=‎1‎‎3‎×‎40‎‎2‎×60+‎40‎‎2‎×20‎ ‎=32000+32000=64000(cm‎3‎)‎‎.‎ ‎(3)证明:如图,连接EG、HF及BD,EG与 HF相交于O点,连接PO,‎ 由正四棱锥的性质可知,PO⊥‎平面EFGH,‎ ‎∴ PO⊥HF.又∵ EG⊥HF,‎ ‎∴ HF⊥‎平面PEG.‎ 又∵ BD // HF,∴ BD⊥‎平面PEG.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎【解释】‎ 解:(1)侧视图同正视图:‎ ‎(2)该安全标识墩的体积为V=‎VP-EFGH ‎+VABCD-EFGH=‎1‎‎3‎×‎40‎‎2‎×60+‎40‎‎2‎×20‎ ‎=32000+32000=64000(cm‎3‎)‎‎.‎ ‎(3)证明:如图,连接EG、HF及BD,EG与 HF相交于O点,连接PO,‎ 由正四棱锥的性质可知,PO⊥‎平面EFGH,‎ ‎∴ PO⊥HF.又∵ EG⊥HF,‎ ‎∴ HF⊥‎平面PEG.‎ 又∵ BD // HF,∴ BD⊥‎平面PEG.‎ ‎18.解:‎(1)‎由茎叶图可知:甲班身高集中于‎160∼169‎之间,而乙班身高集中于‎170∼180‎之间.‎ 因此乙班平均身高高于甲班 ‎(2)‎x‎¯‎ ‎=(158+162+163+168+168+170‎ ‎+171+179+179+182)÷10‎ ‎=170‎‎,‎ 甲班的样本方差为 ‎1‎‎10‎‎[(158-170‎)‎‎2‎+(162-170‎)‎‎2‎+(163-170‎)‎‎2‎+(168-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(168-170‎)‎‎2‎+(170-170‎)‎‎2‎+(171-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(179-170‎)‎‎2‎+(179-170‎)‎‎2‎+(182-170‎)‎‎2‎]=57.2‎‎.‎ ‎(3)‎设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A;‎ 从乙班‎10‎名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有:‎‎(181, 173)(181, 176)‎ ‎(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)‎ ‎(178, 176)(176, 173)‎共‎10‎个基本事件,而事件A含有‎4‎个基本事件.‎ ‎∴ P(A)=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎【解释】‎ 解:‎(1)‎由茎叶图可知:甲班身高集中于‎160∼169‎之间,而乙班身高集中于‎170∼180‎之间.‎ 因此乙班平均身高高于甲班 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)‎x‎¯‎ ‎=(158+162+163+168+168+170‎ ‎+171+179+179+182)÷10‎ ‎=170‎‎,‎ 甲班的样本方差为 ‎1‎‎10‎‎[(158-170‎)‎‎2‎+(162-170‎)‎‎2‎+(163-170‎)‎‎2‎+(168-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(168-170‎)‎‎2‎+(170-170‎)‎‎2‎+(171-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(179-170‎)‎‎2‎+(179-170‎)‎‎2‎+(182-170‎)‎‎2‎]=57.2‎‎.‎ ‎(3)‎设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A;‎ 从乙班‎10‎名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有:‎‎(181, 173)(181, 176)‎ ‎(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)‎ ‎(178, 176)(176, 173)‎共‎10‎个基本事件,而事件A含有‎4‎个基本事件.‎ ‎∴ P(A)=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎19.解:(1)设椭圆G的方程为:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎,半焦距为c,‎ 则‎2a=12‎ca‎=‎‎3‎‎2‎,解得a=6‎c=3‎‎3‎,‎ ‎∴ ‎b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=36-27=9‎ 所以椭圆G的方程为:x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎.‎ ‎(2)由圆Ck的方程知,圆心AK的坐标为‎(-k, 2)‎,‎ ‎∴ S‎△‎AKF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎×F‎1‎F‎2‎×2=‎1‎‎2‎×6‎3‎×2=6‎‎3‎.‎ ‎(3)若k≥0‎,由‎6‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎+12k-0-21=15+12k>0‎可知点‎(6, 0)‎在圆Ck外,‎ 若k<0‎,由‎(-6‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎-12k-0-21=15-12k>0‎可知点‎(-6, 0)‎在圆Ck外;‎ ‎∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)设椭圆G的方程为:x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎,半焦距为c,‎ 则‎2a=12‎ca‎=‎‎3‎‎2‎,解得a=6‎c=3‎‎3‎,‎ ‎∴ ‎b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=36-27=9‎ 所以椭圆G的方程为:x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎.‎ ‎(2)由圆Ck的方程知,圆心AK的坐标为‎(-k, 2)‎,‎ ‎∴ S‎△‎AKF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎×F‎1‎F‎2‎×2=‎1‎‎2‎×6‎3‎×2=6‎‎3‎.‎ ‎(3)若k≥0‎,由‎6‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎+12k-0-21=15+12k>0‎可知点‎(6, 0)‎在圆Ck外,‎ 若k<0‎,由‎(-6‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎-12k-0-21=15-12k>0‎可知点‎(-6, 0)‎在圆Ck外;‎ ‎∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G.‎ ‎20.解:(1)∵ ‎f(1)=a=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ f(x)=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x,‎ ‎∴ a‎1‎‎=f(1)-c=‎1‎‎2‎-c,‎ ‎∴ a‎2‎‎=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-‎‎1‎‎4‎,‎a‎3‎‎=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-‎‎1‎‎8‎ 又数列‎{an}‎成等比数列,‎ a‎1‎‎=a‎2‎‎2‎a‎3‎=-‎‎1‎‎2‎‎,‎ ‎∵ ‎a‎1‎‎=‎1‎‎2‎-c ‎∴ ‎-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎-c,∴ ‎c=1‎ 又公比q=a‎2‎a‎1‎=‎‎1‎‎2‎ 所以an‎=-‎1‎‎2‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎=-(‎‎1‎‎2‎‎)‎n,n∈N;‎ ‎∵ ‎Sn‎-Sn-1‎=(Sn+Sn-1‎)(Sn-Sn-1‎)=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎ 又bn‎>0‎,Sn‎>0‎,∴ Sn‎-Sn-1‎=1‎;‎ ‎∴ 数列‎{Sn}‎构成一个首项为‎1‎公差为‎1‎的等差数列,‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∴ Sn‎=1+(n-1)×1=n,‎Sn‎=‎n‎2‎ 当n≥2‎,bn‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1‎;‎ 又b‎1‎‎=c=1‎适合上式,∴ bn‎=2n-1(n∈N)‎;‎ ‎(2)‎Tn‎=‎1‎b‎1‎b‎2‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+...+‎1‎bnbn+1‎=‎1‎‎1×3‎+‎1‎‎3×5‎+‎1‎‎5×7‎+…+‎‎1‎‎(2n-1)×(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎3‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+...+‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎n‎2n+1‎ 由Tn‎=n‎2n+1‎>‎‎999‎‎2010‎,得n>‎‎333‎‎4‎ 满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数为‎84‎.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)∵ ‎f(1)=a=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ f(x)=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x,‎ ‎∴ a‎1‎‎=f(1)-c=‎1‎‎2‎-c,‎ ‎∴ a‎2‎‎=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-‎‎1‎‎4‎,‎a‎3‎‎=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-‎‎1‎‎8‎ 又数列‎{an}‎成等比数列,‎ a‎1‎‎=a‎2‎‎2‎a‎3‎=-‎‎1‎‎2‎‎,‎ ‎∵ ‎a‎1‎‎=‎1‎‎2‎-c ‎∴ ‎-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎-c,∴ ‎c=1‎ 又公比q=a‎2‎a‎1‎=‎‎1‎‎2‎ 所以an‎=-‎1‎‎2‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎=-(‎‎1‎‎2‎‎)‎n,n∈N;‎ ‎∵ ‎Sn‎-Sn-1‎=(Sn+Sn-1‎)(Sn-Sn-1‎)=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎ 又bn‎>0‎,Sn‎>0‎,∴ Sn‎-Sn-1‎=1‎;‎ ‎∴ 数列‎{Sn}‎构成一个首项为‎1‎公差为‎1‎的等差数列,‎ ‎∴ Sn‎=1+(n-1)×1=n,‎Sn‎=‎n‎2‎ 当n≥2‎,bn‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1‎;‎ 又b‎1‎‎=c=1‎适合上式,∴ bn‎=2n-1(n∈N)‎;‎ ‎(2)‎Tn‎=‎1‎b‎1‎b‎2‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+...+‎1‎bnbn+1‎=‎1‎‎1×3‎+‎1‎‎3×5‎+‎1‎‎5×7‎+…+‎‎1‎‎(2n-1)×(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎3‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+...+‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎n‎2n+1‎ 由Tn‎=n‎2n+1‎>‎‎999‎‎2010‎,得n>‎‎333‎‎4‎ 满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数为‎84‎.‎ ‎21.解:(1)依题可设g(x)=a(x+1‎)‎‎2‎+m-1(a≠0)‎,则g‎'‎‎(x)=2a(x+1)=2ax+2a;‎ 又g‎'‎‎(x)‎的图象与直线y=2x平行∴ ‎2a=2‎∴ ‎a=1‎ ‎∴ g(x)=(x+1‎)‎‎2‎+m-1=x‎2‎+2x+m,f(x)=g(x)‎x=x+mx+2‎,‎ 设P(xo, yo)‎,则‎|PQ‎|‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(y‎0‎-2‎)‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(x‎0‎+mx‎0‎‎)‎‎2‎=2x‎0‎‎2‎+m‎2‎x‎0‎‎2‎+2m≥2‎2‎m‎2‎+2m=2‎2‎|m|+2m 当且仅当‎2x‎0‎‎2‎=‎m‎2‎x‎0‎‎2‎时,‎|PQ‎|‎‎2‎取得最小值,即‎|PQ|‎取得最小值‎2‎ 当m>0‎时,‎(2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=‎2‎-1‎ 当m<0‎时,‎(-2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=-‎2‎-1‎ ‎(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0)‎,得‎(1-k)x‎2‎+2x+m=0(*)‎ 当k=1‎时,方程‎(*)‎有一解x=-‎m‎2‎,函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎;‎ 当k≠1‎时,方程‎(*)‎有二解‎⇔△=4-4m(1-k)>0‎,‎ 若m>0‎,k>1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎,即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 若m<0‎,k<1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎,即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 当k≠1‎时,方程‎(*)‎有一解‎⇔△=4-4m(1-k)=0‎,k=1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m 综上,当k=1‎时,函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎;‎ 当k>1-‎1‎m(m>0)‎,或k<1-‎1‎m(m<0)‎时,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 当k=1-‎‎1‎m时,函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m.‎ ‎【解释】‎ 解:(1)依题可设g(x)=a(x+1‎)‎‎2‎+m-1(a≠0)‎,则g‎'‎‎(x)=2a(x+1)=2ax+2a;‎ 又g‎'‎‎(x)‎的图象与直线y=2x平行∴ ‎2a=2‎∴ ‎a=1‎ ‎∴ g(x)=(x+1‎)‎‎2‎+m-1=x‎2‎+2x+m,f(x)=g(x)‎x=x+mx+2‎,‎ 设P(xo, yo)‎,则‎|PQ‎|‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(y‎0‎-2‎)‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(x‎0‎+mx‎0‎‎)‎‎2‎=2x‎0‎‎2‎+m‎2‎x‎0‎‎2‎+2m≥2‎2‎m‎2‎+2m=2‎2‎|m|+2m 当且仅当‎2x‎0‎‎2‎=‎m‎2‎x‎0‎‎2‎时,‎|PQ‎|‎‎2‎取得最小值,即‎|PQ|‎取得最小值‎2‎ 当m>0‎时,‎(2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=‎2‎-1‎ 当m<0‎时,‎(-2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=-‎2‎-1‎ ‎(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0)‎,得‎(1-k)x‎2‎+2x+m=0(*)‎ 当k=1‎时,方程‎(*)‎有一解x=-‎m‎2‎,函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎;‎ 当k≠1‎时,方程‎(*)‎有二解‎⇔△=4-4m(1-k)>0‎,‎ 若m>0‎,k>1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎,即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 若m<0‎,k<1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎,即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 当k≠1‎时,方程‎(*)‎有一解‎⇔△=4-4m(1-k)=0‎,k=1-‎‎1‎m,‎ 函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m 综上,当k=1‎时,函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎;‎ 当k>1-‎1‎m(m>0)‎,或k<1-‎1‎m(m<0)‎时,‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎;‎ 当k=1-‎‎1‎m时,函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页