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- 2021-07-01 发布
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2009年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1, 0, 1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是( )
A. B.
C. D.
2. 下列n的取值中,使in=1(i是虚数单位)的是( )
A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5
3. 已知平面向量a→=(x, 1),b→=(-x, x2),则向量a→+b→( )
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
4. 若函数y=f(x)是函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的反函数,且f(12)=1,则函数y=( )
A.log2x B.12x C.log12x D.2x-2
5. 已知等比数列{an}的公比为正数,且a3⋅a9=2a52,a2=1,则a1=( )
A.12 B.22 C.2 D.2
6. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
7. 已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=c=6+2,且∠A=75∘,则b=( )
A.2 B.4+23 C.4-23 D.6-2
8. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞, 2) B.(0, 3) C.(1, 4) D.(2, +∞)
9. 函数y=2cos2(x-π4)-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数
10. 广州2010年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行,各城市之间的距离(单位:百公里)见表.若以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是( )
A
B
C
D
E
A
0
5
4
5
6
B
5
0
7
6
2
C
4
7
0
9
8.6
D
5
6
9
0
5
E
6
2
8.6
5
0
A.20.6 B.21 C.22 D.23
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
二、填空题(共5小题,每小题5分,第14-15题,属选做题,满分25分)
11. 某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填________,输出的s=________.(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)
12. 某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法,将全体职工随机按1∼200编号,并按编号顺序平均分为40组(1∼5号,6∼10号,…,196∼200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人.
13. 以点(2, -1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________.
14. 选做题:若直线y=2+3t.x=1-2t,(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.
15. 选做题:如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30∘,则圆O的面积等于________.
三、解答题(共6小题,满分80分)
16. 已知向量a→=(sinθ,-2)与b→=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π2).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-φ)=1010,0<φ<π2,求cosφ的值.
17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
(2)求该安全标识墩的体积;
(3)证明:直线BD⊥平面PEG.
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18. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
19. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程
(2)求△AkF1F2的面积
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.
20. 已知点(1, 12)是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{1bnbn+1}前n项和为Tn,问满足Tn>9992010的最小正整数n是多少?
21. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得极小值m-1(m≠0).设f(x)=g(x)x.
(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0, 2)的距离的最小值为2,求m的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
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参考答案与试题解析
2009年广东省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.B
【解释】
解:.由N={x|x2+x=0},
得N={-1, 0}.
∵ M={-1, 0, 1},
∴ N⊂M.
故选B.
2.C
【解释】
解:∵ 要使in;=1,
则n必须是4的整数倍,
在下列的选项中只有C符合题意,
故选C
3.C
【解释】
解:a→+b→=(0, 1+x2),1+x2≠0,
故a→+b→平行于y轴.
故选C
4.D
【解释】
解:∵ f(12)=1,
∴ f-1(1)=12,
由题意知a1-a=12,
∴ a=2,
y=ax-a(a>0,且a≠1)y=2x-2,
故选D.
5.B
【解释】
设公比为q,由已知得a1q2⋅a1q8=2(a1q4)2,
即q2=2,又因为等比数列{an}的公比为正数,
所以q=2,故a1=a2q=12=22.
6.D
【解释】
解:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;如果这两条直线平行,可能得到两个平面相交,所以不正确.
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;这是判定定理,正确.
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;可能是异面直线.不正确.
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.正确.
故选D.
7.A
【解释】
解:如图所示.在△ABC中,
由正弦定理得:bsin30∘=6+2sin75∘=6+2sin(45∘+30∘)=4,
∴ b=2.
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故选A
8.D
【解释】
解:f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)(ex)'=(x-2)ex,
求f(x)的单调递增区间,令f'(x)>0,
解得x>2,
故选D.
9.A
【解释】
解:由y=2cos2(x-π4)-1=cos(2x-π2)=sin2x,
∴ T=π,且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos2(x-π4)-1是奇函数.
故选A.
10.B
【解释】
解:∵ 以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,
那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33=6种结果,
列举出六种结果的路途长度选出最短的路途,
A→B→C→D→E,总长是26,
A→C→D→B→E,总长是21,
A→B→D→C→E,总长是28.6,
A→D→B→C→E,总长是26.6,
A→C→B→D→E,总长是22,
A→D→C→B→E,总长是23,
总上可知最短的路径是21.
故选B
二、填空题(共5小题,每小题5分,第14-15题,属选做题,满分25分)
11.i≤6,a1+a2+a3+a4+a5+a6
【解释】
解:∵ 统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图
∴ 要求a1+a2+a3+a4+a5+a6的和
由题意可知循环体要执行6次
所以图中判断框应填i≤6
故答案为:i≤6,a1+a2+a3+a4+a5+a6
12.37,20
【解释】
解:∵ 将全体职工随机按1∼200编号,并按编号顺序平均分为40组,
由分组可知,抽号的间隔为5,
∵ 第5组抽出的号码为22,
∴ 第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32,第8组抽出的号码为37.
40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100,
则应抽取的人数为40200×100=20(人).
故答案为:37;20
13.(x-2)2+(y+1)2=252
【解释】
解:将直线x+y=6化为x+y-6=0,
圆的半径r=|2-1-6|1+1=52,
所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=252.
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答案:(x-2)2+(y+1)2=252
14.-6
【解释】
解:直线y=2+3t.x=1-2t,(t为参数)
消去参数t得:3x+2y-7=0
∵ 直线3x+2y-7=0与直线4x+ky=1垂直
∴ (-32)×(-4k)=-1解得:k=-6
故答案为-6.
15.16π
【解释】
解:连接OA,OB,
∵ ∠ACB=30∘,
∴ ∠AoB=60∘,
∴ △AOB是一个等边三角形,
∴ OA=AB=4,
∴ ⊙O的面积是16π
故答案为16π
三、解答题(共6小题,满分80分)
16.解:(1)∵ a→与b→互相垂直,则a→⋅b→=sinθ-2cosθ=0,
即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±255,cosθ=±55,又θ∈(0,π2),
∴ sinθ=255,cosθ=55
(2)∵ 0<φ<π2,0<θ<π2,
∴ -π2<θ-φ<π2,则cos(θ-φ)=1-sin2(θ-φ)=31010,
∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=22.
【解释】
解:(1)∵ a→与b→互相垂直,则a→⋅b→=sinθ-2cosθ=0,
即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±255,cosθ=±55,又θ∈(0,π2),
∴ sinθ=255,cosθ=55
(2)∵ 0<φ<π2,0<θ<π2,
∴ -π2<θ-φ<π2,则cos(θ-φ)=1-sin2(θ-φ)=31010,
∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=22.
17.解:(1)侧视图同正视图:
(2)该安全标识墩的体积为V=VP-EFGH
+VABCD-EFGH=13×402×60+402×20
=32000+32000=64000(cm3).
(3)证明:如图,连接EG、HF及BD,EG与
HF相交于O点,连接PO,
由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,
∴ PO⊥HF.又∵ EG⊥HF,
∴ HF⊥平面PEG.
又∵ BD // HF,∴ BD⊥平面PEG.
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【解释】
解:(1)侧视图同正视图:
(2)该安全标识墩的体积为V=VP-EFGH
+VABCD-EFGH=13×402×60+402×20
=32000+32000=64000(cm3).
(3)证明:如图,连接EG、HF及BD,EG与
HF相交于O点,连接PO,
由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,
∴ PO⊥HF.又∵ EG⊥HF,
∴ HF⊥平面PEG.
又∵ BD // HF,∴ BD⊥平面PEG.
18.解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160∼169之间,而乙班身高集中于170∼180之间.
因此乙班平均身高高于甲班
(2)x¯
=(158+162+163+168+168+170
+171+179+179+182)÷10
=170,
甲班的样本方差为
110[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2
+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2
+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.
(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A;
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181, 173)(181, 176)
(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)
(178, 176)(176, 173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件.
∴ P(A)=410=25.
【解释】
解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160∼169之间,而乙班身高集中于170∼180之间.
因此乙班平均身高高于甲班
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(2)x¯
=(158+162+163+168+168+170
+171+179+179+182)÷10
=170,
甲班的样本方差为
110[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2
+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2
+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.
(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A;
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有:(181, 173)(181, 176)
(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)
(178, 176)(176, 173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件.
∴ P(A)=410=25.
19.解:(1)设椭圆G的方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0),半焦距为c,
则2a=12ca=32,解得a=6c=33,
∴ b2=a2-c2=36-27=9
所以椭圆G的方程为:x236+y29=1.
(2)由圆Ck的方程知,圆心AK的坐标为(-k, 2),
∴ S△AKF1F2=12×F1F2×2=12×63×2=63.
(3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0可知点(6, 0)在圆Ck外,
若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0可知点(-6, 0)在圆Ck外;
∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
【解释】
解:(1)设椭圆G的方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0),半焦距为c,
则2a=12ca=32,解得a=6c=33,
∴ b2=a2-c2=36-27=9
所以椭圆G的方程为:x236+y29=1.
(2)由圆Ck的方程知,圆心AK的坐标为(-k, 2),
∴ S△AKF1F2=12×F1F2×2=12×63×2=63.
(3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0可知点(6, 0)在圆Ck外,
若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0可知点(-6, 0)在圆Ck外;
∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
20.解:(1)∵ f(1)=a=12
∴ f(x)=(12)x,
∴ a1=f(1)-c=12-c,
∴ a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-14,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-18
又数列{an}成等比数列,
a1=a22a3=-12,
∵ a1=12-c
∴ -12=12-c,∴ c=1
又公比q=a2a1=12
所以an=-12(12)n-1=-(12)n,n∈N;
∵ Sn-Sn-1=(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1(n≥2)
又bn>0,Sn>0,∴ Sn-Sn-1=1;
∴ 数列{Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列,
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∴ Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2
当n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;
又b1=c=1适合上式,∴ bn=2n-1(n∈N);
(2)Tn=1b1b2+1b2b3+...+1bnbn+1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)×(2n+1)
=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+...+12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1
由Tn=n2n+1>9992010,得n>3334
满足Tn>9992010的最小正整数为84.
【解释】
解:(1)∵ f(1)=a=12
∴ f(x)=(12)x,
∴ a1=f(1)-c=12-c,
∴ a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-14,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-18
又数列{an}成等比数列,
a1=a22a3=-12,
∵ a1=12-c
∴ -12=12-c,∴ c=1
又公比q=a2a1=12
所以an=-12(12)n-1=-(12)n,n∈N;
∵ Sn-Sn-1=(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=Sn+Sn-1(n≥2)
又bn>0,Sn>0,∴ Sn-Sn-1=1;
∴ 数列{Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列,
∴ Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2
当n≥2,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;
又b1=c=1适合上式,∴ bn=2n-1(n∈N);
(2)Tn=1b1b2+1b2b3+...+1bnbn+1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)×(2n+1)
=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+...+12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1
由Tn=n2n+1>9992010,得n>3334
满足Tn>9992010的最小正整数为84.
21.解:(1)依题可设g(x)=a(x+1)2+m-1(a≠0),则g'(x)=2a(x+1)=2ax+2a;
又g'(x)的图象与直线y=2x平行∴ 2a=2∴ a=1
∴ g(x)=(x+1)2+m-1=x2+2x+m,f(x)=g(x)x=x+mx+2,
设P(xo, yo),则|PQ|2=x02+(y0-2)2=x02+(x0+mx0)2=2x02+m2x02+2m≥22m2+2m=22|m|+2m
当且仅当2x02=m2x02时,|PQ|2取得最小值,即|PQ|取得最小值2
当m>0时,(22+2)m=2解得m=2-1
当m<0时,(-22+2)m=2解得m=-2-1
(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0),得(1-k)x2+2x+m=0(*)
当k=1时,方程(*)有一解x=-m2,函数y=f(x)-kx有一零点x=-m2;
当k≠1时,方程(*)有二解⇔△=4-4m(1-k)>0,
若m>0,k>1-1m,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=-2±4-4m(1-k)2(1-k),即x=1±1-m(1-k)k-1;
若m<0,k<1-1m,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=-2±4-4m(1-k)2(1-k),即x=1±1-m(1-k)k-1;
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当k≠1时,方程(*)有一解⇔△=4-4m(1-k)=0,k=1-1m,
函数y=f(x)-kx有一零点x=1k-1=-m
综上,当k=1时,函数y=f(x)-kx有一零点x=-m2;
当k>1-1m(m>0),或k<1-1m(m<0)时,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=1±1-m(1-k)k-1;
当k=1-1m时,函数y=f(x)-kx有一零点x=1k-1=-m.
【解释】
解:(1)依题可设g(x)=a(x+1)2+m-1(a≠0),则g'(x)=2a(x+1)=2ax+2a;
又g'(x)的图象与直线y=2x平行∴ 2a=2∴ a=1
∴ g(x)=(x+1)2+m-1=x2+2x+m,f(x)=g(x)x=x+mx+2,
设P(xo, yo),则|PQ|2=x02+(y0-2)2=x02+(x0+mx0)2=2x02+m2x02+2m≥22m2+2m=22|m|+2m
当且仅当2x02=m2x02时,|PQ|2取得最小值,即|PQ|取得最小值2
当m>0时,(22+2)m=2解得m=2-1
当m<0时,(-22+2)m=2解得m=-2-1
(2)由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0),得(1-k)x2+2x+m=0(*)
当k=1时,方程(*)有一解x=-m2,函数y=f(x)-kx有一零点x=-m2;
当k≠1时,方程(*)有二解⇔△=4-4m(1-k)>0,
若m>0,k>1-1m,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=-2±4-4m(1-k)2(1-k),即x=1±1-m(1-k)k-1;
若m<0,k<1-1m,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=-2±4-4m(1-k)2(1-k),即x=1±1-m(1-k)k-1;
当k≠1时,方程(*)有一解⇔△=4-4m(1-k)=0,k=1-1m,
函数y=f(x)-kx有一零点x=1k-1=-m
综上,当k=1时,函数y=f(x)-kx有一零点x=-m2;
当k>1-1m(m>0),或k<1-1m(m<0)时,
函数y=f(x)-kx有两个零点x=1±1-m(1-k)k-1;
当k=1-1m时,函数y=f(x)-kx有一零点x=1k-1=-m.
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