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- 2021-07-01 发布
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第二节
函数的单调性与最值
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
增函数、减函数
定义：设函数
f(x)
的定义域为
I
：
①
增函数：如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的
_______________
的值
x
1
，
x
2
，当
x
1
f(x
2
)
2.
单调性、单调区间
若函数
y=f(x)
在区间
D
上是
_______
或
_______
，则称函数
y=f(x)
在这一区间具有
(
严格的
)
单调性，区间
D
叫做函数
y=f(x)
的单调区间
.
3.
函数的最值
设函数
y=f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：
①
对于任意的
x∈I
，都有
_________________
；
②
存在
x
0
∈I
，使得
_______.
那么，我们称
M
是函数
y=f(x)
的最大值或最小值
.
增函数
减函数
f(x)≤M
或
f(x)≥M
f(x
0
)=M
【常用结论】
函数单调性的常用结论
(1)
对
∀x
1
，
x
2
∈D(x
1
≠x
2
)
，
>0⇔f(x)
在
D
上是增函数，
<0⇔f(x)
在
D
上是减函数
.
(2)
对勾函数
y=x+ (a>0)
的增区间为
(-∞
，
- ]
和
[
，
+∞)
，减区间为
[-
，
0)
和
(0
，
].
(3)
在区间
D
上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数
.
(4)
函数
f(g(x))
的单调性与函数
y=f(u)
和
u=g(x)
的单调性的关系是“同增异
减”
.
【知识点辨析】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
若定义在
R
上的函数
y=f(x),
有
f(-1)f(x
2
),
而不是区间上的两个
特殊值
.
(2)×.
函数在
[1,+∞)
上是增函数
,
说明其增区间
D⊇[1,+∞),
而增区间不一定是
[1,+∞),
所以该说法错误
.
(3)×.
多个单调区间一般不能用“
∪”
符号连接
,
而应用“
,”
或“和”连接
,
而
本题用“
∪”
就不正确
,
如
.
(4)√.
由单调性的定义可知是正确的
.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
忽略函数的定义域
考点一、
T2
、
3
2
分式中分子、分母均含变量
,
不经变换直接求值域
考点二、
T1
3
忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式
考点三、角度
3
【教材
·
基础自测】
1.(
必修
1 P45
例
2
改编
)
下列函数中
,
在区间
(0,+∞)
内单调递减的是
(
)
A.y= -x B.y=x
2
-x
C.y=ln x-x D.y=e
x
【解析】
选
A.
对于选项
A,y=
在
(0,+
∞
)
内是减函数
,y=x
在
(0,+
∞
)
内是增函数
,
则
y= -x
在
(0,+
∞
)
内是减函数
;B,C
选项中的函数在
(0,+
∞
)
上均不单调
;
选项
D
中
,y=e
x
在
(0,+
∞
)
上是增函数
.
2.(
必修
1P46
练习
AT3
改编
)
函数
f(x)=x
2
-2x
的单调递增区间是
________.
【解析】
f(x)=x
2
-2x
是开口向上的二次函数
,
对称轴为
x=1,
增区间为
[1,+∞)(
或
(1,+∞)).
答案
:
[1,+∞)(
或
(1,+∞))
3.
(
必修
1P46
练习
AT2
改编
)
函数
y=
在
[2,3]
上的最大值是
________.
【解析】
该函数在
[2,3]
上单调递减
,
故当
x=2
时
,
函数取得最大值
,
最大值为
2.
答案
:
2
4.(
必修
1P79
自测与评估
T1(4)
改编
)
若函数
f(x)=x
2
-2mx+1
在
[2,+∞)
上是增函数
,
则实数
m
的取值范围是
________.
【解析】
由题意知
,[2,+∞)
⊆
[m,+∞),
所以
m≤2.
答案
:
(-∞,2]
解题新思维 最值和单调性的几个结论的应用
【结论】
1.
设
∀
x
1
,x
2
∈D(x
1
≠x
2
),
则
①x
1
-x
2
>0(<0),f(x
1
)-f(x
2
)>0(<0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递增
;x
1
-x
2
>0(<0),
f(x
1
)-f(x
2
)<0(>0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递减
;
② >0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]>0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递增
;
③ <0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递减
.
2.(1)
闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值
,
当函数在闭区间上单调
时最值一定在端点处取到
.
(2)
开区间上的“单峰”函数一定存在最大值
(
或最小值
).
3.
函数
y=f(x)(f(x)>0)
在公共定义域内与
y=-f(x),y=
的单调性相反
.
4.“
对勾函数”
y=x+ (a>0)
的增区间为
(-∞,- ]
和
[ ,+∞);
减区间
为
[- ,0)
和
(0, ],
且对勾函数为奇函数
.
典例
1.
函数
f(x)=-x+
在 上的最大值是
(
)
A.
B.-
C.-2
D.2
【解析】
选
A.
易知
f(x)
在 上是减函数
,
所以
f(x)
max
=f(-2)=2- = .
2.
已知
f(x)=
满足对任意
x
1
≠x
2
,
都有
>0
成立
,
那么
a
的取值范围是
________.
【解析】
因为对任意
x
1
≠x
2
都有
>0,
所以
y=f(x)
在
(-∞,+∞)
上是增函数
.
所以 解得
≤a<2.
故实数
a
的取值范围是
.
答案
:
【迁移应用】
1.(2020
·
广州模拟
)
下列函数
f(x)
中
,
满足“
∀
x
1
,x
2
∈(0,+∞)
且
x
1
≠x
2
,
(x
1
-x
2
)
·
[f(x
1
)-f(x
2
)]<0”
的是
(
)
A.f(x)=2
x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)= -x
D.f(x)=ln(x+1)
【解析】
选
C.
由
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0
可知
,f(x)
在
(0,+∞)
上是减函
数
,A,D
选项中
,f(x)
为增函数
;B
中
,f(x)=|x-1|
在
(0,+∞)
上不单调
,
对于
f(x)=
-x,
因为
y=
与
y=-x
在
(0,+∞)
上单调递减
,
因此
f(x)
在
(0,+∞)
上是减函
数
.
2.
已知函数
f(x)=
则
f(f(-3))=_______,f(x)
的最小值是
_____.
【解析】
因为
f(-3)=lg[(-3)
2
+1]=lg 10=1,
所以
f(f(-3))=f(1)=0,
当
x≥1
时
,f(x)=x+ -3≥2 -3,
当且仅当
x=
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=2 -3<0;
当
x<1
时
,f(x)=lg(x
2
+1)≥lg 1=0,
当且仅当
x=0
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=0.
所以
f(x)
的最小值为
2 -3.
答案
:
0
2 -3
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